材料力学8(弯曲应力)

1、内容回顾内容回顾作弯曲内力图作弯曲内力图描点法描点法 微分关系法微分关系法 叠加法叠加法 第第8-28-2章章 弯弯 曲曲 应应 力力一、纯弯曲梁横截面上的正应力一、纯弯曲梁横截面上的正应力1、内力与应力FQMt ts s2、纯弯曲概念AC 、BD段： FQ0 M0CD段：FQ0 M0纯弯曲纯弯曲剪切弯曲（剪切弯曲（横力弯曲横力弯曲）3、实验观察与假设中性层单向受力假设：梁由无数根纵向纤维组成，之间无横向挤压， 只受轴向拉伸与压缩。平面假设：横截面在变形前为平面，变形后仍为平面，且仍平面假设：横截面在变形前为平面，变形后仍为平面，且仍 垂直于变形后梁的轴线，只是绕横截面上某个轴垂直于变形后梁的

2、轴线，只是绕横截面上某个轴 旋转了一个角度。旋转了一个角度。推论：中性层4、正应力计算公式梁纯弯曲时横截面正应力计算公式：梁纯弯曲时横截面正应力计算公式：IZ绕中性轴的惯性矩绕中性轴的惯性矩M所求截面的弯矩所求截面的弯矩y所求点距中性轴的距离所求点距中性轴的距离1 M、y 符号代入公式符号代入公式2 直接观察变形直接观察变形 5、正负号确定工程上关心的是极值应力：工程上关心的是极值应力： 只与截面形状、尺寸有关只与截面形状、尺寸有关抗弯截面模量抗弯截面模量 对剪切（横力）弯曲： 矩形：矩形： 圆形：圆形： D b z h 6、最大正应力空心圆截面：空心圆截面： 4344max132264DDd

3、DyIWZZDd外径为外径为D，内径为，内径为d,例题：图示一空心矩形截面悬臂梁受均布荷载作用。已知梁跨l=1.2m，均布荷载集度q=20kN/m，横截面尺寸为H=12cm，B=6cm，h=8cm，b=3cm。试求此梁外壁和内壁最大正应力。 解：（1）作弯矩图， 求最大弯矩mkNqlM4 .1422 . 120222max （2）计算截面的惯性矩4337361212cmbhBHIZ（3）计算应力MPaHIMZ4 .1172101210736104 .14246maxmax外sMPahIMZ3 .78210810736104 .14246maxmax内s例题：图示一受集中荷载F=5kN的简支的简

4、支梁，由18号槽钢制成，已知梁跨l=2m，试求此梁最大拉应力和最大压应力。 解：（1）作弯矩图，求最大弯矩mkNFlM5 . 24254max （2）由型钢表查截面的惯性矩及有关尺寸4111cmIZ 横截面上边缘及下端至中性轴的距离分别为：cmy84. 11cmy16. 584. 172（3）计算最大正应力 因危险截面的弯矩为正，故跨中截面下端受最大拉应力：MPayIMZT2 .1161016. 510111105 . 2462maxmaxs 同理，跨中截面上边缘受最大压应力：MPayIMZC4 .411084. 110111105 . 2461maxmaxs一、填空题（每空1分） 弯曲正应力

5、弯曲正应力计算计算11. 若梁的横截面上的内力只有弯矩作用，则称此梁为_梁，此时截面上只有_应力，而_应力为零。纯弯曲正切二、单项选择题（每小题1分） 11. 某一纯弯曲梁的截面上的正应力公式为 ，其中 ( ) A. 随E的变化而改变，y、为常数B. 随y的变化而改变，E、为常数C. 随的变化而改变，E、y为常数D. 随E,y,而改变，它们均为变量sEyB二、单项选择题（每小题1分） 弯曲正应力弯曲正应力计算计算11. 一圆截面简支梁，在L=3m的梁上作用了均布荷载为q=8kN/m，圆截面的直径d=10cm，此梁的最大弯矩及最大正应力为 ( )。A. Mmax=9kNm, max=45.8MP

6、a B. Mmax=4.5kNm, max=45.8MPaC. Mmax=9kNm, max=91.67MPa D. Mmax=18kNm, max=183.3MPaC三、计算题（每小题5分） 弯曲正应力弯曲正应力计算计算6、简支梁受集中力P=20kN作用，梁截面形状，尺寸如图，它 的轴惯性矩为IZ=7.6106mm4，试求此梁最大拉应力。解：（1）作弯矩图， 求最大弯矩mkNM5 . 7max（2）计算最大正应力 因危险截面的弯矩为正，故截面下端受 最大拉应力：MPaIMZT8 .8688106 . 7105 . 78866maxmaxs三、计算题（每小题5分） 弯曲正应力弯曲正应力计算计算

7、6.矩形截面外伸梁ABC受移动荷载作用，荷载P从A移动到C过程中，梁横截面上的最大正应力。解：（1） 求最大弯矩mkNM1max当P移至C截面时：（2）计算梁横截面上最大正应力MPaWMZ2010030101626maxmaxs一、单项选择题（每小题2分）弯曲正应力弯曲正应力计算计算14矩形截面受纯弯曲作用的梁，横截面上的正应力分布 规律是（）D弯曲正应力弯曲正应力中性层与横截面的交线中性层与横截面的交线,平面弯曲时中性轴过形心且与对称轴垂直。平面弯曲时中性轴过形心且与对称轴垂直。1. 基本假设：基本假设：(1)平面假设：变形前为平面的横截面，变形后仍为平面，但转动了一角度。平面假设：变形前为

8、平面的横截面，变形后仍为平面，但转动了一角度。(2)单向受力假设：杆件的纵截面（与杆轴平行的截面）上无正应力。单向受力假设：杆件的纵截面（与杆轴平行的截面）上无正应力。中性层3.正应力计算公式：正应力计算公式： 4.正应力分布规律：沿截面高度呈线性分布。正应力分布规律：沿截面高度呈线性分布。 内内 容容 回回 顾顾2.中性轴中性轴Z：二、弯曲切应力二、弯曲切应力 横力弯曲，横力弯曲，FQ、M同时存在，同时存在，s s、 t t 同时存在。由于同时存在。由于分布复杂，与截面形状有关，故对不同截面分别研究。分布复杂，与截面形状有关，故对不同截面分别研究。 横截面上各点的切应力方向均平行于截面侧边，

9、 即t方向与FQ相同 切应力沿截面宽度均匀分布，即距中性轴等远 的各点处t大小相同FQt tZZQbISF*tFQ所求截面的剪力所求截面的剪力b所求应力处截面宽度所求应力处截面宽度IZ绕中性轴的惯性矩绕中性轴的惯性矩弯曲切应力计算公式：弯曲切应力计算公式：SZ所求点一侧部分所求点一侧部分A对中性轴的静矩对中性轴的静矩FQt tt tt tmax（3）切应力分布规律AFbhFQQ2323maxtbhFQt2max3434RFAFQQtAFQ2maxt11.矩形截面梁受集中力P作用，在图示各点中，最大拉应力在_点，最大压应力在_点，最大切应力在_点。弯曲应力弯曲应力问题问题一、填空题（每空1分）

10、421弯曲应力弯曲应力问题问题二、单项选择题（每小题1分） 11. 等截面悬臂梁荷载如图示，在C截面左，右1-1与2-2截面的最大正应力与最大切应力比较的结果是( )。A. 1=2，1=2B. 12，12C. 1=2，12D. 12，12C弯曲应力弯曲应力问题问题二、单项选择题（每小题1分） 11.梁发生平面弯曲时其横截面绕（ ）旋转。A.梁的轴线B.横截面上的纵向对称轴C.中性层与纵向对称面的交线D.中性轴D弯曲应力弯曲应力问题问题二、单项选择题（每小题1分） bmaxamaxtt11.(a)、(b)两根悬臂梁的荷载，长度都一样，而截面直径不一样，求它们的最大弯曲切应力之比A. 4 1B.

11、12 1C. 8 1D. 2 1A三、弯曲梁的强度计算三、弯曲梁的强度计算1、弯曲梁的正应力强度计算（1）正应力强度条件b h 对于脆性材料对于脆性材料 s s+ s s- ，为节约材料，以达到充分，为节约材料，以达到充分利用，常设计成上下不对称截面利用，常设计成上下不对称截面强度条件：三方面三方面强度计算强度计算 校核强度校核强度 设计截面设计截面 确定许可荷载确定许可荷载（2）正应力强度计算ZWMmaxmaxs s安全安全 s不安全不安全 smaxMWZ sZWMmax例题：矩形截面的简支木梁，梁上作用有均布荷载。已知例题：矩形截面的简支木梁，梁上作用有均布荷载。已知l=4m，b=140m

12、m，h=210mm，q=2kN/m，木材的容许应力，木材的容许应力s s=10MPa。试校核梁的强度。试校核梁的强度。 解：（1）作弯矩图，求最大弯矩mkNqlM4812max（2）校核梁的强度MPabhMWMZ9 . 321014010466262maxmaxmaxs MPa10s 安全安全例题：图示某单梁桥式吊车，跨度例题：图示某单梁桥式吊车，跨度l=10m，起重量（包括电，起重量（包括电动葫芦自重）为动葫芦自重）为G=30kN，梁由，梁由28a号工字钢制成，材料的许号工字钢制成，材料的许用应力用应力s s=160MPa，试校核梁的正应力强度。，试校核梁的正应力强度。 解：（1）绘计算简图

13、型钢表查得：28a号工字钢mkNmkgq/4262. 0/492.43（2）作弯矩图当吊重移动到梁跨中时，跨中截面弯矩最大。mkNGlqlM33.80410308104262. 048122max（3）校核弯曲正应力强度型钢表查得：28a号工字钢，3508cmWZMPaWMZ1 .158105081033.8036maxmaxs MPa160maxss 安全安全弯曲正应力弯曲正应力强度计算强度计算三、计算题（每小题5分） 6、圆截面简支梁跨中截面的下边缘，用标距S=20mm的应变仪测得纵向伸长S=0.01mm,梁长l =2m,梁截面直径D=80mm,弹性模量E=2.0105MPa,求均布荷载q

14、的大小。解：（1）作弯矩图mNqqlM21812max（2）求q的大小4105SSPaE846510110510100 . 2s（2）求q的大小33maxmax10008032213221sqDqWMZPa8max101ssmkNmNq/10/10048弯曲正应力弯曲正应力强度计算强度计算三、计算题（每小题5分） 6. 图示工字型简支梁，作用了二个集中力P 。已知工字型梁的I=712cm4,W=102cm3,梁长l=5m,工字钢的许用应力=140MPa,试求梁的最大荷载Pmax。解：（1）作弯矩图mkNPlPM5max（2）求Pmax的大小 ssZWMmaxmax 361010214010ZW

15、PskNP28.14 kNP28.14弯曲正应力弯曲正应力强度计算强度计算三、计算题（每小题5分） 21Dd6、两端铰支座的圆管简支梁，它的内径与外径之比为,许用应力为=140MPa，受均布荷载作用，试用正应力强度条件计算管内、外直径d、D。解：（1）求最大弯矩mkNqlM40812max（2）确定管内、外直径d、D ssZWMmaxmax smaxMWZ（2）确定管内、外直径d、D21Dd smax43132MDWZmmD9 .145取 D=146mm，则 d =73mm。弯曲正应力弯曲正应力强度计算强度计算三、计算题（每小题5分） 40、图示悬臂梁，受均布载荷作用，已知：10kNm， a=

16、m，=160MPa，试校核该梁的强度。解：（1）作弯矩图mkNqaM80212max（2）校核梁的强度MPabhMWMZ12062maxmaxmaxs MPa160maxss 安全安全弯曲正应力弯曲正应力强度计算强度计算六、综合计算题（每题12分） 23、矩形截面外伸梁受力如图所示，已知材料的容许应力=28MPa， P=38kN，M=10kN m，试校核梁强度。解：（1）作内力图mkNM14max（2）校核梁的强度 ssMPabhMWMZ3162maxmaxmax 不不安全安全弯曲正应力弯曲正应力强度计算强度计算六、综合计算题（每题12分） 23、一圆形截面木梁受力如图所示，木材的容许应力 =

17、10MPa，试选择圆木的直径d。解：（1）作弯矩图mkNM 3max（2）求直径d ss3maxmaxmax32dMWMZ mmMd145323maxs取 d =145mm。弯曲正应力弯曲正应力强度计算强度计算六、综合计算题（每题12分） 23矩形截面外伸梁如题23图所示。已知材料的容许应力 =30MPa， P=58kN，10kNm ，试校核梁 的正应力强度。解：（1）作内力图mkNM 58max（2）校核梁的强度 ssMPabhMWMZ4062maxmaxmax 不不安全安全正应力强度计算正应力强度计算 1.最大正应力：最大正应力： 2.弯曲正应力强度条件：弯曲正应力强度条件： 3.强度计算

18、：强度计算：三方面三方面校核强度校核强度 设计截面设计截面 许可荷载许可荷载 内力图内力图找危险截面找危险截面确定危险点确定危险点最大应力最大应力新的问题新的问题切应力强度计算切应力强度计算 内内 容容 回回 顾顾4.步骤：步骤： 2、弯曲梁的切应力强度计算三、弯曲梁的强度计算三、弯曲梁的强度计算（1）切应力强度条件 ttZZQbISF*maxAFQ23maxt*几种常见截面梁的切应力强度条件：矩形截面：矩形截面： 圆形截面：圆形截面： 圆环截面：圆环截面： tt*maxZZQSIdFAFQ2maxtAFQ34maxt工字钢截面：工字钢截面： 熟记* （2）弯曲梁的强度计算梁需满足 ssmax

19、 ttmax梁的强度涉及到正应力和切应力两个强度问题，梁的强度涉及到正应力和切应力两个强度问题，一般按正应力强度设计，再用切应力强度校核。一般按正应力强度设计，再用切应力强度校核。 （设计）（校核）需要校核切应力的三种情况：需要校核切应力的三种情况：小跨度梁，或支座处附近作用大荷载；小跨度梁，或支座处附近作用大荷载； 挑梁挑梁Fq焊接或铆接的组合截面梁，腹板宽高比小于型钢；焊接或铆接的组合截面梁，腹板宽高比小于型钢；木梁木梁需要校核切应力的三种情况：需要校核切应力的三种情况：例题：如图所示工字型截面外伸梁，截面选用例题：如图所示工字型截面外伸梁，截面选用NO22aNO22a号工字钢，号工字钢，

20、已知已知P=30kNP=30kN，q=6kN/m,q=6kN/m,材料材料s s=170MPa，t t=100MPa，试校核试校核梁的强度。梁的强度。 解：（1）作内力图mkNM 39maxkNFQ17max（2）校核梁的强度查型钢表： NO22a号工字钢号工字钢3309cmWZcmSIZZ9 .18:*mmdb5 . 7MPaWMZ12610309103936maxmaxs 安全安全校核梁的正应力强度校核梁的切应力强度 MPa170maxssMPaSIdFZZQ12109 .185 . 710173*maxmaxt MPa100maxtt2:3:bh解：（1）作内力图mkNM10maxkNF

21、Q50max（2）由正应力强度条 件确定截面尺寸261bhWZ2:3:bh391hWZ ssZWMmaxmax mmMh20893maxs取 h=210mm，则 b =140mm。（3）校核切应力强度MPabhFQ6 . 2210140210503233maxmaxt MPa3maxtt 矩形截面尺寸为：矩形截面尺寸为： h=210mm 、b =140mm。弯曲梁的弯曲梁的强度计算强度计算一、单项选择题（每小题1分） 11.矩形截面梁当横截面的高度增加一倍，宽度减小一半时，从正应力强度条件考虑，该梁的承载能力的变化将有四种答案，正确答案是( )。.原来的1/4 .增大一倍.减小一半 .增大三倍

22、B四、提高梁的弯曲强度的措施四、提高梁的弯曲强度的措施弯曲正应力是控制梁的主要因素弯曲正应力是控制梁的主要因素 s s 1、更换材料：2、合理安排梁的受力情况：可提高可提高4 4倍倍 (1)合理布置支座合理布置支座(1)合理布置支座合理布置支座(2)合理布置荷载合理布置荷载承载能力提高一倍承载能力提高一倍 A相同，相同， WZ 越大越好越大越好（1）矩形与方形）矩形与方形矩形尽量竖放矩形尽量竖放尽量用矩形不用方形尽量用矩形不用方形3、梁的合理截面：WZ（2）方形与圆形）方形与圆形尽量用方不用圆尽量用方不用圆（4）脆性材料宜采用中性轴靠近受拉一侧的截面形状）脆性材料宜采用中性轴靠近受拉一侧的截面

23、形状（3 3） 面积面积A A相同，改善截面形状，使相同，改善截面形状，使 WZ 越大越好越大越好取最大弯矩设计截面尺寸，弯矩小处材料未能充分利用。取最大弯矩设计截面尺寸，弯矩小处材料未能充分利用。4、等强度梁 ssxWxMmax（1）变截面梁变截面梁：截面大小沿轴线变化的梁：截面大小沿轴线变化的梁（2）等强度梁等强度梁：变截面梁各横截面上的最：变截面梁各横截面上的最 大正应力都相等，且都等大正应力都相等，且都等 于许用应力。于许用应力。（3）等强度梁等强度梁在工程实践中的具体应用在工程实践中的具体应用阳台阳台挑梁挑梁汽车汽车叠板弹簧叠板弹簧大跨度车间大跨度车间鱼腹梁鱼腹梁机械中的机械中的阶梯轴阶梯轴鱼腹梁鱼腹梁强度计算强度计算 弯曲应力小结ZIyM s s最大正应力：最大正应力： zWMmaxmax s s（沿截面高度呈线性分布）（沿截面高度呈线性分布） 最大切应力：最大切应力： ZZQIb