39角动量的Schwingers振子模型

1、13.9角动量的Schwingers振子模型n回顾回顾:对Euler角表征的转动，n可见只要求出 ，则可得到n例如对j=1/2,n对j=1，利用Jy=(J+-J-)/2i及J的矩阵元得：n由于 ，用级数展开,可知n最终得：n类似方法可给出d(j1)(),但过程复杂.下面介绍简便获得d(j)的方法。 2cos2sin2sin2cosm21em21d2i21mmy2角动量的Schwingers振子模型 一、无耦合振子n将无耦合的两类谐振子分别标记为“+”和“-”,有相应产生与湮灭算符n对易关系为n对N的共同本征态|n+,n-，有 N|n+,n-= n|n+,n-n类比单振子态可写出 aaNaa和数

2、算符,1,1,1, 1, 11nnnnnannnnnannnnnannnnna3二、角动量和无耦合振子n定义n则有 (满足角动量対易关系)n对n可有关系n把“+”振子看成自旋向上1/2粒子，而“-”振子为自旋向下1/2粒子，则J+产生一自旋向上粒子同时消灭一自旋向下粒子，从而角动量的z分量加 。类似地，J-使总自旋z分量-n在上述操作中，总粒子数(n+n-)均不变(), 2zJNNJa aJa a, , ,2zzJJJJJJ aaaaNNN222_1()(1)222zN NJJJ JJ J_11,111,1(),2zJn na an nnnnnJn nnnnnJn nnnn n4n将n+与j+

3、m对应，n-与j-m对应，则上式与熟知的算符J、Jz及J2作用形式相同. 故可用 n将角动量为j的体系看为(j+m)个自旋向上和(j-m)个自旋向下的粒子组成，这种等价至少对转动下的变换性质适用(具有相同的代数关系式)。但这种对应有特殊性。由于 (j+m)自旋向上粒子和(j-m)自旋向下粒子可导致总角动量为J=j,j-1,j-2,。这种对应相当于向上自旋与向下自旋态以完全对称形式叠加的特殊情形。2z J J 22nnnnjm和表示和的共同本征态:这里：|0=|0,0_11,111,1(),2zJn na an nnnnnJn nnnnnJn nnnn n5三、任意角动量体系的转动矩阵表达式 n

4、由于 ，对n有n由 ，利用Baker-Hausdorff引理：n可得_122yJJJa aa aii0( )()|exp(/ )yD RDiJ 11( )( )0()!()!( )( )( )( )( )0()!()!j mj mj mj maaD RjmD RjmjmD R a DRD R a DRD Rjmjm00 ( ) 00JD R知 /122( )( )/ ,/ ,/ ,.2!yyiJiJyyyD R a DRea eiaiJaJJa11,; 221,24yyyyJaa a aaiiJJJaaai11cossin; 22cossin22Da DaaDa Daa及及6n可推得n对照 n

5、相比 项系数n得n此即 的Wigner公式，适用于任意j。n利用Schwinger振子模型的推导比以前的推导方式简洁很多()!()!(0,0)()! !()! !(cos)(sin)22sincos022()!()!klj m kkj m lljmjmDjmjmkkjml laaaajmjm( )( )(0,0)( )()()( )0()!()!jm mmj mj mjm mmDjmjm daadjmjm()() 即jmkjmljmljkm)()(jmmd73.10 自旋关联测量和Bell不等式 一、经典与量子物理图像的差别一、经典与量子物理图像的差别n经典：清晰、确定和容易理解n量子：两可的

6、、概率的、测不准的和难以深究的（按直观经验几乎是不可思议的 真是这样吗？）n例：1）黑体辐射、光电效应、康普顿散射；2）电子的衍射实验波粒二象性、路径？3）SG实验：磁场方向决定了电子自旋方向电子自旋方向在测量前无定义(没有确定的客观实在)？测量影响客观实在？8对量子力学描述微观现象的主要不同看法 n1）哥本哈根诠释(Bohr, Heisenberg, Pauli)：测不准原理、互补性原理n互补性原理：波动与粒子描述是两个理想的经典概念，每一个概念都有一个有限的适用范围。在特定的物理现象的实验探讨中，辐射和实物均可展现其波动性或粒子性。但这两种理论描绘中的任何单独一个，都不能对所涉及的现象给出

7、完整的说明。n(早期海森堡：波动力学只不过是一个有用的数学工具nBohr等：坚持Born的波函数统计诠释，即把微观粒子呈现的波动性理解为“概率波”n深层次的哲学思想？哥本哈根解释：nothing is real until measured no elemental phenomenon is a real phenomenon until it is a measured phenomenon （不猜想无法观测验证的“真实过程”）92）Schrodinger、de Broglien把物质归结为纯粹波动现象，不赞同把物质归结为纯粹波动现象，不赞同Born的诠释的诠释n薛定谔猫态3）爱因斯坦：坚

8、持经典力学中的决定性论（基于其坚定的客观实在哲学信念）n量子力学是: i）（几率解释）不完备的；ii）（测量导致的波函数塌缩）不自洽的n早期的争论是思辨性和哲理性的早期的争论是思辨性和哲理性的10二、自旋单态的关联n考虑自旋单态的双电子体系：n测电子1的自旋，其向上或下的几率各为50%。但若该自旋向上(过滤)，则电子2的自旋必向下(态的要求)n若电子对分开过程不受作用，该关联在它们远离时仍成立：A测量粒子1的自旋后可预言B的测量结果；但A若不做测量，则B的结果则是50%Sz或Szn该关联可进一步表示为：n若A测Sz，B得50% Sx或SxnA测Sx,则B的Sx结果与A的结果有100%关联。nA

9、不测，则B有Sx和Sx各50%几率n即B的测量结果依赖于A的测量 1002zzzz 11三、Einstein定域性原理（EPR佯谬） Einstein等反对以上关于自旋关联测量的解释,认为：nLocality Principle: The real factual situation of the system S2 is independent of what is done with the system S1, which is spatially separated from the former. 量子力学理论是不自洽的（+波函数塌缩）(上述自旋测量就违反了定域性要求)n“If, w

10、ithout in any way disturbing a system, we can predict with certainty the value of a physical quantity, then there exists an element of physical reality corresponding to this physical quantity. 量子力学对于物理实在的描述是不完备的 量子力学的几率解释是导致上述怪异结果的原因，在找出隐参数后或加入其它考虑后可将量子理论完善。 12四、Bell不等式不等式 nBell指出，基于Einstein的定域性原理可推

11、出与量子力学预言所矛盾的关于自旋关联测量的不等式，从而可在实验上验证之。有人认为Bell不等式是二十世纪六十年代至今最重要的量子力学理论发展。na) 基本模型：尽管Sx和Sz不能同时测量，但对大量的自旋1/2粒子，其中一部分具有如下特性：若测Sz，必有Sz+，若测Sx,必有Sx-（客观实在）。我们称这种粒子类型为（z+,x-）。自旋单态有各25% 的4种粒子对粒子1，粒子2：(z+,x-), (z-,x+); (z+,x+), (z-,x-); (z-,x+); (z+,x-); (z-,x-), (z+,x+)n这种分析隐含有一重要假定，即A的测量结果与B测量无关。因此此模型已将Einste

12、in局域性原理（及隐参数）考虑在内。13b）三分量模型n对三非平行单位矢量，a, b, c，用(a-,b+,c+)表示测Sa结果为“-”、测Sb结果为“+”、测Sc结果为“+”的粒子。由于总自旋为0，其配对粒子必为(a+,b-,c-)。因此，任一粒子必为下表中的八种粒子对立之一。这八种粒子组合相互排斥无交叠。 N3+N4(N2+N4)+(N3+N7)Bell不等式：P(a+,b+)P(a+,c+)+P(c+,b+)P(a+,b+)表示测得粒子1为a+、同时粒子2为b+的几率14C）Bell不等式与量子力学的矛盾n对自旋单态,若粒子1为a+(1/2几率),则粒子2为a-,故 .nBell不等式（

13、P(a+,b+)P(a+,c+)+P(c+,b+)）变为：n上式常不成立，即量子力学与Bell不等式相冲突。n各种几率可测，可用实验验证。n实验证明量子力学是正确的！22()11(,)( )cos ( )sin ()2222ababP ab 15五、贝尔定理不成立的几种可能n1）测量并不真正独立（已可排除）n2）瞬时作用（波恩量子势理论：但不符合相对论）n3）波尔正确n三层理论？1)隐参数，2)量子(波粒二象性)，3)宏观（粒子、波）n贝尔不等式有误区？定域性原理= Bell不等式？n实验有漏洞：探测效率不够？16六、 Element of physical reality？ n电子自旋：SG

14、实验自相矛盾的爱因斯坦客观实在.nSG实验很好地显示了狄拉克所阐述的量子力学观点：A measurement always causes the system to jump into an eigenstate of the dynamical variable that is being measured.17七、波场统一？n双缝干涉: (R. P. Feynman) A phenomenon which is impossible, absolutely impossible, to explain in any classical way, and which has in the h

15、eart of quantum mechanics. We can not make the mystery go away by “explaining” how it works, we will just tell you how it works.n狄拉克：粒子波只与自身干涉；符合薛定谔的纯粹波动现象观点；互补性原理也很有帮助。n如何发生？电子不是点粒子，而是场量子。n微观粒子是波场的元激发（量子场论/粒子物理理论）：粒子作为波的量子 n将世界看做由多场而非多点粒子作用组成使所有物理得到统一18八、复合体系的子体系：约化密度矩阵n采用非耦合表象，(A+B)体系的任一纯量子态可表示为n对QA的测量值n约化密度矩阵：2, 1iiABABiiaia*ABijABABABABija aij ()(Q )ABABABABABABABABijABAAABABijijAAAAAijQtrQQ