椭圆的定义与标准方程课件（文科）

1、 芳草湖中学 孙文静 2014.10.30椭圆定义： 在平面内 两定点距离之和等于常数（2a） 常数（2a）焦距（2c）21,FF 平面上到两个定点 的距离之和为常数（2a）(大于| |)的点的轨迹叫做椭圆.椭圆的定义要注意以下几点： 21FF 当2a2c时，图形表示一个椭圆。 当2a=2c时，图形表示线段。 当2a2c时，不存在任何图形。 当c=0是，表示一个圆。注意： 提出了问题就要试着解决问题.怎么推导椭圆的标准方程呢？ 求动点轨迹方程的一般步骤：求动点轨迹方程的一般步骤：1、建立适当的直角坐标系；、建立适当的直角坐标系；2、设椭圆上任意一点设椭圆上任意一点p（x,y）；）；3、列出关于

2、点、列出关于点p的的方程方程 ; 4、化方程为最简形式。、化方程为最简形式。 探讨建立平面直角坐标系的方案探讨建立平面直角坐标系的方案OxyMF1F2方案一方案一F1F2方案二方案二OxyM原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； ( (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴直线作为坐标轴.).)(对称、对称、“简简洁洁”)xF1F2( (x , y) )0y设P (x, y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距|F1F2|=2c(c0)，则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0) . P与F1和F

3、2的距离的和为固定值2a(2a2c) （问题：下面怎样（问题：下面怎样化简化简？）？）aPFPF2|21222221)(| ,)(|ycxPFycxPFaycxycx2)()(2222由椭圆的定义得，限制条件由椭圆的定义得，限制条件：由于由于得方程得方程222222bayaxb 22ba两边除以两边除以 得得).0(12222babyax设所以即,0,2222cacaca),0(222bbca由椭圆定义可知由椭圆定义可知整理得整理得2222222)()(44)(ycxycxaaycx 222)(ycxacxa 2222222222422yacacxaxaxccxaa 两边再平方，得两边再平方，

4、得)()(22222222caayaxca移项，再平方移项，再平方椭圆的标准方程刚才我们得到了焦点在x轴上的椭圆方程，如何推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程呢？（问题：下面怎样（问题：下面怎样化简化简？）？）aPFPF2|21222221)(| ,)(|cyxPFcyxPFacyxcyx2)()(2222由椭圆的定义得，限制条件由椭圆的定义得，限制条件：由于由于得方程得方程aycxycxx2)()(2222轴焦点在).0(12222babyaxOXYF1F2M(-c,0)(c,0)YOXF1F2M(0,-c)(0 , c)0(12222babyax)0(12222babxay 椭圆的标准方程的特

5、点：（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。（3）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上。22221.153xy ，则a ，b ， c ；22222.146xy ，则a ，b ，c ；5346口答：则a ，b ， c ；则a ，b ， c 。 37 169. 322yx6 147. 422yx210334例1.求下列椭圆的焦点坐标，a、b、c的值以及焦距。14) 1 (22 yx154)2(22yx1925)3(22yx解(1)椭圆方程具有形式12222byax其中1, 2ba因此31422

6、bac)0 , 3(),0 , 3( 焦距42 a两焦点坐标为22(4)110036xy322 c134)6(22 yx434)5(22 yx,10|21 PFPF如图:求满足下列条件的椭圆方程解：椭圆具有标准方程12222byax其中102 , 82ac因此91625222cab, 5, 4ac所求方程为192522yx例2. 求出刚才在实验中画出的椭圆的标准方程8|21FF例例3：已知椭圆的两个焦点坐标分别是（：已知椭圆的两个焦点坐标分别是（-2，0），（），（2，0），并且经过点（），并且经过点（ , - )，求它的标准方程。求它的标准方程。2523焦点在哪条坐标轴上？焦点在哪条坐标轴上

7、？解：因为椭圆的焦点在x轴，所以设它的标准方程为只要求出只要求出a、b则可求出椭圆的方程则可求出椭圆的方程0 12222babyax2222)23()225()23()225(2a由椭圆的定义知所以10a又因为c=2，所以b2 2= =a2 2- -c2 2= =10-4=6.因此，所求的椭圆的标准方程为: 161022yx你还能用其他的方法求它的方程吗？哪种方法简单？你有什么体会？102例例3：已知椭圆的两个焦点坐标分别是（：已知椭圆的两个焦点坐标分别是（-2，0），（），（2，0），并且经过点（），并且经过点（ , - )，求它的标准方程。求它的标准方程。2523解法二：因为椭圆的焦点在解

8、法二：因为椭圆的焦点在x轴，所以设它的标准方程为轴，所以设它的标准方程为0 12222babyax由已知得，由已知得，c=2422ba又由已知得，又由已知得， 1)23()25(2222ba联立、解方程组得联立、解方程组得6,1022ba因此，所求椭圆的标准方程为因此，所求椭圆的标准方程为 161022yx待定系数法待定系数法求椭圆标准方程的方法求椭圆标准方程的方法一种方法：一种方法：二类方程二类方程:三个意识：三个意识：求美意识，求美意识， 求简意识，前瞻意识求简意识，前瞻意识 12222byax0 12222babxay2222+=1 0 xyabab2222+=1 0 xyabba分母哪个大，焦点就在哪个轴上分母哪个大，焦点就在哪个轴上222=+abc平面内到两个定点平面内到两个定点F1，F2的距离的和等的距离的和等于常数（大于于常数（大于F1F2）的点的轨迹）的点的轨迹12- ,