建平中学高三数学周四试题目

1、.建平中学高三数学周四试题（理科）2012219班级 姓名 成绩 考生注意： 1考试时间120分钟答题写在规定的区域 2本试卷共有23道试题，满分150分一、填空题：本大题有14小题，每小题4分，共56分请将答案填写在题中的横线上1若复数ii是实数i是虚数单位，则实数的值为 _1_ A B C D2. 以抛物线上的一点为圆心作圆，若该圆经过抛物线的顶点和焦点， 那么该圆的方程为 . 3已知函数是定义在上的偶函数，当时，则当时，的解析式为 4.在二项式的展开式中， 的一次项系数是，则实数的值为 4【解析】1；由二项式定理，当时，于是的系数为，从而5.已知ABC中，点A、B、C的坐标依次是A(2，

2、1)，B(3,2)，C(3，1)，BC边上的高为AD，则的坐标是：_ 5【解析】设D(x，y)，则， ，得，所以.答案：(1,2)6若，则 的值为 4开始 3kk1输出k ,n 结束是否 输入7阅读图1的程序框图. 若输入, 则输出的值为._3_8.为了了解某地居民月均用电的基本情况, 抽 取出该地区若干户居民的用电数据, 得到频 率分布直方图如图3所示, 若月均用电量在 区间上共有150户, 则月均用电 量在区间上的居民共有 户. 9设点的极坐标为，直线过点且与极轴所成的角为，则直线的极坐标方程为 或或或9某所学校计划招聘男教师名,女教师名, 和须满足约束条件 则该校招聘的教师最多是 10

3、名. 10.函数的部分图象如右图所示，设是xABPyO图象的最高点，是图象与轴的交点，则_811已知数列的通项公式为，那么满足的整数_（B）有2个_12设点，如果直线与线段有一个公共点，那么_最小值为 13将正整数12分解成两个正整数的乘积有，三种，其中是这三种分解中，两数差的绝对值最小的，我们称为12的最佳分解当是正整数的最佳分解时，我们规定函数，例如.关于函数有下列叙述：，.其中正确的序号为 1,3 （填入所有正确的序号）14.已知函数，且，则对于任意 的，函数总有两个不同的零点的概率是 14. 【解析】，因为该函数总有两个不同的零点，所以恒成立只需要所以15.函数的定义域为，其图像上任一

4、点满足。函数一定是偶函数；函数可能既不是偶函数，也不是奇函数；函数可以是奇函数；函数如果是偶函数，则值域是；函数值域是，则一定是奇函数。其中正确的命题的序号是_（填上所有正确的序号）二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分15已知函数，若函数图象上的一个对称中心到对称轴的距离的最小值为，则的值为 16 如图2所示,已知正方体的棱长为2, 长 为2的线段的一个端点在棱上运动, 另一端点 在正方形内运动, 则的中点的轨迹的面积为 ( D ) A B C D 17对任意实数，定义运算，其中是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算。已知，并且有一个非零常数，使得对任意实数， 都有，则的值是

5、（ ）A. B.C. D.18. 已知整数以按如下规律排成一列：、，则第个数对是（ C ）A B C D10.定义域为R的偶函数 满足对，有，且当时，若函数在上至少有三个零点，则的取值范围为（ A ）A. B. C。. D. 10【解析】由定义有对任意实数x恒成立，且m0,令5x-mx=x对任意实数x恒成立, m=4. 故选A。三、解答题（本大题满分74分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤19（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）某企业生产的一批产品中有一、二、三等品及次品共四个等级，1件不同等级产品的利润（单位：元）如表1，从这批产品中随机抽取出1件产品，该件产品为不同

6、等级的概率如表2. 若从这批产品中随机抽取出的1件产品的平均利润(即数学期望)为元.等级一等品二等品三等品次品 等级一等品二等品三等品次品利润 表1 表2 (1) 求的值； (2) 从这批产品中随机取出3件产品，求这3件产品的总利润不低于17元的概率.（1）解：设1件产品的利润为随机变量，依题意得的分布列为： ,即. , 即, 解得. . (2)解：为了使所取出的3件产品的总利润不低于17元，则这3件产品可以有两种取法：3件都是一等品或2件一等品，1件二等品. 故所求的概率C. 已知函数(R).(1) 当取什么值时,函数取得最大值,并求其最大值;若为锐角，且，求的值.(1) 解: 1分 2分

7、. 3分 当,即Z时,函数取得最大值,其值为. 5分(2)解法1:, . 6分 . 7分 为锐角，即, . . 8分 . 9分 . 10分 . . 或(不合题意,舍去) 11分 . 12分解法2: , . . 7分 . 8分 为锐角，即, . 9分 . 10分 . 12分解法3:, . . 7分 为锐角，即, . . 8分 9分 10分 20（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）立体如图，己知中，且 （1）求证：不论为何值，总有 （2）若求三棱锥的体积18(1）证明：因为AB平面BCD，所以ABCD，又在BCD中，BCD = 900，所以，BCCD，又ABBCB，所以，CD平面ABC，

8、 3分又在ACD，E、F分别是AC、AD上的动点，且 所以，不论为何值，EF/CD,总有EF平面ABC： 7分（2）解：在BCD中，BCD = 900，BCCD1，所以，BD,又AB平面BCD，所以，ABBD，又在RtABD中，AB=BDtan。 10分 由（1）知EF平面ABE，所以，三棱锥ABCD的体积是 14分如图，四棱锥的底面是直角梯形，和是两个边长为的正三角形，为的中点，为的中点 ()求证：平面； ()求证：平面； ()求直线与平面所成角的正弦值（）证明：设为的中点，连接，则F，四边形为正方形，为的中点，为的交点， ， .2分，在三角形中，4分，平面； 5分()方法1：连接，为的中点

9、，为中点，平面，平面，平面. 9分F方法2：由()知平面，又，所以过分别做的平行线，以它们做轴，以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，由已知得：，则，.平面，平面，平面； 9分() 设平面的法向量为，直线与平面所成角，则，即，解得，令，则平面的一个法向量为，又则，直线与平面所成角的正弦值为. 14分21（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 数列已知数列的前项和，且（1）求数列an的通项公式；（2）令，是否存在（），使得、成等比数列若存在，求出所有符合条件的值；若不存在，请说明理由（1）解法1：当时，2分即4分所以数列是首项为的常数列5分所以，即 所以数列的通项公式为7分解法2：当时，2

10、分即4分所以 5分因为，符合的表达式6分所以数列的通项公式为 7分（2）假设存在，使得、成等比数列， 则8分因为（n2），所以 11分13分这与矛盾故不存在（），使得、成等比数列14分已知函数的图象经过点和，记（1）求数列的通项公式；（2）设，若，求的最小值；（3）求使不等式对一切均成立的最大实数.21解：（1）由题意得，解得， 2分 4分（2）由（1）得， -得 . ， 7分设，则由得随的增大而减小，随的增大而增大。时， 又恒成立， 10分 （3）由题意得恒成立 记，则 12分是随的增大而增大 的最小值为，即. 14分22（本题满分16分，第1小题满分4分，第1小题满分6分，第2小题满分6分

11、） 解析已知双曲线：和圆：（其中原点为圆心），过双曲线上一点引圆的两条切线，切点分别为、 （1）若双曲线上存在点，使得，求双曲线离心率的取值范围；（2）求直线的方程；（3）求三角形面积的最大值解：（1）因为，所以，所以1分由及圆的性质，可知四边形是正方形，所以因为，所以，所以3分故双曲线离心率的取值范围为4分（2）方法1：因为，所以以点为圆心，为半径的圆的方程为5分因为圆与圆两圆的公共弦所在的直线即为直线，6分所以联立方程组7分消去，即得直线的方程为8分方法2：设，已知点，则，因为，所以，即5分整理得因为，所以6分因为，根据平面几何知识可知，因为，所以7分所以直线方程为即所以直线的方程为8分方

12、法3：设，已知点，则，因为，所以，即5分xyOPAB整理得因为，所以6分这说明点在直线上 7分同理点也在直线上所以就是直线的方程 8分（3）由（2）知，直线的方程为，所以点到直线的距离为因为，所以三角形的面积10分以下给出求三角形的面积的三种方法：方法1：因为点在双曲线上，所以，即设，所以11分因为，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减12分当，即时，13分当，即时，综上可知，当时，；当时，14分方法2：设，则11分因为点在双曲线上，即，即所以令，则所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增12分当，即时，13分当，即时，综上可知，当时，；当时，14分方法3：设，则11分因为点在

13、双曲线上，即，即所以令，所以在上单调递增，在上单调递减12分因为，所以，当，即时，此时 13分当，即时，此时综上可知，当时，；当时，14分已知直线上有一个动点,过点作直线垂直于轴,动点在上,且满足 (为坐标原点),记点的轨迹为.(1) 求曲线的方程；(2) 若直线是曲线的一条切线, 当点到直线的距离最短时,求直线的方程. (3) 解:设点的坐标为,则点的坐标为. , . 当时,得,化简得. 2分当时, 、三点共线，不符合题意，故.曲线的方程为. 4分(2) 解法1: 直线与曲线相切,直线的斜率存在. 设直线的方程为, 5分 由 得. 直线与曲线相切, ,即. 6分点到直线的距离 7分 8分 9

14、分 . 10分 当且仅当，即时，等号成立.此时. 12分直线的方程为或. 14分 解法2：由，得， 5分 直线与曲线相切, 设切点的坐标为，其中，则直线的方程为：，化简得. 6分点到直线的距离 7分 8分 9分 . 10分 当且仅当，即时，等号成立. 12分直线的方程为或. 14分 解法3：由，得， 5分 直线与曲线相切, 设切点的坐标为，其中，则直线的方程为：，化简得. 6分点到直线的距离 7分 8分 9分 . 10分 当且仅当，即时，等号成立,此时. 12分直线的方程为或. 14分23（本题满分18分）第1小题满分4分，第1小题满分6分，第2小题满分8分函数已知函数满足,对于任意R都有,且 ,令.(1) 求函数的表达式；(2) 求函数的单调区间；研究函数在区间上的零点个数.(1) 解：，. 1分 对于任意R都有, 函数的对称轴为，即，得. 2分 又，即对于任意R都成立， ,且， 4分 (2) 解： 5分 当时，函数的对称轴为，若，即，函数在上单调递增； 6分若，即，函数在上单调递增，在上单调递减 7分 当时，函数的对称轴为，则函数在