有限元第7章等参数单元

1、第七章第七章 等参数单元等参数单元三节点三角形单元具有如下特点：三节点三角形单元具有如下特点：1. 位移插值函数为线性函数，因此称为三角形线性元。位移插值函数为线性函数，因此称为三角形线性元。2. 线性单元的位移在单元内呈线性变化，应力、应变在单元内是一个常量。线性单元的位移在单元内呈线性变化，应力、应变在单元内是一个常量。3. 应力和应变在求解区域内都不是连续的。应力和应变在求解区域内都不是连续的。为提高计算精度，实际分析时可以采取的方法：为提高计算精度，实际分析时可以采取的方法：1. 单元分细；单元分细；2. 构造高精度新单元。构造高精度新单元。 将单元分细可提高计算精度，因为有限元法的计

2、算基础就是当单元无限将单元分细可提高计算精度，因为有限元法的计算基础就是当单元无限分细时计算结果将收敛于精确解。但是单元分细会增加单元数目和节点数目分细时计算结果将收敛于精确解。但是单元分细会增加单元数目和节点数目，从而增加所要求解的方程组，占用和耗费大量的计算机资源。所以，用细，从而增加所要求解的方程组，占用和耗费大量的计算机资源。所以，用细分单元的方法来提高精度有时是不经济的。分单元的方法来提高精度有时是不经济的。 构造具有较高精度的单元也可以提高计算精度。单元节点数增多，则自构造具有较高精度的单元也可以提高计算精度。单元节点数增多，则自由度数目增多，允许采用较高阶次的位移插值函数，从而提

3、高计算精度。例由度数目增多，允许采用较高阶次的位移插值函数，从而提高计算精度。例如如6节点三角形单元其位移插值函数为完全二次多项式。节点三角形单元其位移插值函数为完全二次多项式。22123456dxyxxyy 单元内位移为二次函数变化，应变和应力呈线性变化。但这种单元的面单元内位移为二次函数变化，应变和应力呈线性变化。但这种单元的面积小，节点多，也会使方程数目激增，占用计算机资源多。目前较少使用。积小，节点多，也会使方程数目激增，占用计算机资源多。目前较少使用。 双线性插值函数的矩形单元，由于位移插值函数比三角形线性单元的位双线性插值函数的矩形单元，由于位移插值函数比三角形线性单元的位移插值函

4、数多了一项，单元内的应力和应变不再是常量，精度也会高些。移插值函数多了一项，单元内的应力和应变不再是常量，精度也会高些。但是，一般矩形单元只适用矩形规则区域的求解，对于任意形状的非规则但是，一般矩形单元只适用矩形规则区域的求解，对于任意形状的非规则区域，单元分割时不方便，在边界上的计算精度要降低。因此，在实际中区域，单元分割时不方便，在边界上的计算精度要降低。因此，在实际中也很少使用。也很少使用。如果把矩形单元改成任意四变形单元，用于求解不规则区域时单元分割如果把矩形单元改成任意四变形单元，用于求解不规则区域时单元分割就要方便得多，而且至少有就要方便得多，而且至少有4个节点个节点8个自由度，其

5、位移插值函数的阶次个自由度，其位移插值函数的阶次也比线性三角形单元高。因此，任意四边形单元是比较理想的单元形式也比线性三角形单元高。因此，任意四边形单元是比较理想的单元形式。但是，如果仍采用双线性的位移插值函数，任意四边形单元不能满足。但是，如果仍采用双线性的位移插值函数，任意四边形单元不能满足相邻单元间的位移协调，即相容性条件。相邻单元间的位移协调，即相容性条件。 31x24y1234dxyxy,(0)ykxb k2dAxBxC第二节第二节 四节点四边形等参数单元四节点四边形等参数单元 我们知道，矩形单元是满足解的收敛性条件的。如果通过一个坐标我们知道，矩形单元是满足解的收敛性条件的。如果通

6、过一个坐标变换将任意四边形单元变换成矩形单元，只要坐标变换中任意四边形单元变换将任意四边形单元变换成矩形单元，只要坐标变换中任意四边形单元与矩形单元之间的点是一一对应的与矩形单元之间的点是一一对应的(坐标变换的相容性坐标变换的相容性)，而变换后的位移，而变换后的位移插值函数又是满足解的收敛性条件的，这两条合在一起就能保证任意四边插值函数又是满足解的收敛性条件的，这两条合在一起就能保证任意四边形在原坐标系中满足收敛性条件。形在原坐标系中满足收敛性条件。 132(1,1)( 1,1)4( 1, 1) (1, 1)( , )p yx1 11 1( , )p x y1234注意到这一坐标变换不是针对整

7、个求解区域，而是针对每一个单元分别进行的。注意到这一坐标变换不是针对整个求解区域，而是针对每一个单元分别进行的。 132(1,1)( 1,1)4( 1, 1) (1, 1)( , )p yx1 11 1( , )p x y1234xOy平面为整体坐标系，它适用于所有单元，平面为整体坐标系，它适用于所有单元， O 坐标为局部坐标系，它只适用于每个要变换的单元。坐标为局部坐标系，它只适用于每个要变换的单元。 在每个单元上考察整体坐标在每个单元上考察整体坐标 ( , )x y到局部坐标到局部坐标 ( , ) 之间是否满足上述要求之间是否满足上述要求的变换的变换(相容性相容性)。首先看一下局部坐标系下

8、的位移插值函数、形状函数和收敛性条件，再讨首先看一下局部坐标系下的位移插值函数、形状函数和收敛性条件，再讨论具体的坐标变化。论具体的坐标变化。1234u 5678v 111( , )(1)(1)4NN 221( , )(1)(1)4NN 331( , )(1)(1)4NN 441( , )(1)(1)4NN 1( , )(1)(1)4iiiN 11( ,)( 1, 1) 22(,)(1, 1) 33(,)(1,1) 44(,)( 1,1) 这样可得到局部坐标系下正方形单元的位移插值函数这样可得到局部坐标系下正方形单元的位移插值函数(7-1)可以表示为可以表示为41( , )iiiuNu 41(

9、 , )iiivNv 从矩形单元位移插值函数的讨论中可以知道，局部坐标系下的正方形单从矩形单元位移插值函数的讨论中可以知道，局部坐标系下的正方形单元必然满足解的收敛性条件。下面就要看如何实现坐标变换来满足变换元必然满足解的收敛性条件。下面就要看如何实现坐标变换来满足变换相容性的要求。相容性的要求。采用位移插值函数相同形式的坐标变换式，能满足坐标变换相容性的采用位移插值函数相同形式的坐标变换式，能满足坐标变换相容性的要求，即要求，即41( , )iiixNx 41( , )iiiyNy ( , ),1,2,3,4iNi 是与形状函数完全一样的双线性函数是与形状函数完全一样的双线性函数 在正方形每

10、一条边上，在正方形每一条边上， ( , )iN 是一个坐标变量的线性函数，而线性变换是点点对应的，那么四边形是一个坐标变量的线性函数，而线性变换是点点对应的，那么四边形四条边上的变换是点点对应的。四条边上的变换是点点对应的。 132(1,1)( 1,1)4( 1, 1) (1, 1)( , )p yx1 11 1( , )p x y1234位移插值函数公式和坐标变换公式具有完全相同的形式，它们位移插值函数公式和坐标变换公式具有完全相同的形式，它们用同样数目的对应节点值作为参数，并且具有完全相同的形状用同样数目的对应节点值作为参数，并且具有完全相同的形状函数作为这些节点值前面的系数，我们称具有这

11、种特点的单元函数作为这些节点值前面的系数，我们称具有这种特点的单元为等参数单元。为等参数单元。 若由节点坐标插值构造单元几何形状所用的形函数比若由节点坐标插值构造单元几何形状所用的形函数比由节点位移插值构造单元位移场的形函数阶次低，并且所由节点位移插值构造单元位移场的形函数阶次低，并且所用节点参数个数少，则称为亚参元；用节点参数个数少，则称为亚参元；反之，若阶次高，节点个数多，则称为超参元。反之，若阶次高，节点个数多，则称为超参元。亚参元和超参元虽然也有应用，但是不如等参数元应用普遍。亚参元和超参元虽然也有应用，但是不如等参数元应用普遍。子单元的位移场和母单元的位移场是一样的，但是子单元的位移

12、子单元的位移场和母单元的位移场是一样的，但是子单元的位移是以斜坐标表达的。而母单元的位移场是以正则坐标表示的。因是以斜坐标表达的。而母单元的位移场是以正则坐标表示的。因此，子单元和母单元的位移分布在节点坐标相同时也不同。此，子单元和母单元的位移分布在节点坐标相同时也不同。根据上述理论，可总结出参数元的基本思想：根据上述理论，可总结出参数元的基本思想：首先建立规整形状单元首先建立规整形状单元(母单元母单元)的形函数，然后利用它做两件事的形函数，然后利用它做两件事1. 根据坐标影射用母单元形函数和实际单元的节点坐标确定所划分根据坐标影射用母单元形函数和实际单元的节点坐标确定所划分单元的几何形状，这

13、个实际划分单元称为子单元。单元的几何形状，这个实际划分单元称为子单元。2. 利用母单元形函数和单元节点位移建立子单元的位移场。利用母单元形函数和单元节点位移建立子单元的位移场。母单元的正交坐标轴母单元的正交坐标轴 ( , ) 影射到子单元上，得到一个斜角坐标轴，仍记为影射到子单元上，得到一个斜角坐标轴，仍记为 ( , ) 现在子单元有两种坐标，一个是整体坐标现在子单元有两种坐标，一个是整体坐标 ( , )x y令一个是固定于单元的局部坐标令一个是固定于单元的局部坐标 ( , ) 当母单元函数确定后，再由各种具体问题实际单元划分所确定的子单当母单元函数确定后，再由各种具体问题实际单元划分所确定的

14、子单元节点坐标，由坐标变换，可影射得到所有实际单元。因此，关键是建元节点坐标，由坐标变换，可影射得到所有实际单元。因此，关键是建立母单元的形状函数。立母单元的形状函数。第三节第三节 等参数单元平面问题的有限元格式等参数单元平面问题的有限元格式前三步的主要目的是求出以节点位移表示的单元位移插值函数，或求出前三步的主要目的是求出以节点位移表示的单元位移插值函数，或求出单元形状函数，第四到六步主要目的是求出单元刚度矩阵单元形状函数，第四到六步主要目的是求出单元刚度矩阵.对于等参数对于等参数单元，我们已经得到了四节点四边形等参数单元的形状函数，下面讨论单元，我们已经得到了四节点四边形等参数单元的形状函

15、数，下面讨论单元刚度矩阵的形成。单元刚度矩阵的形成。一、等参数单元刚度矩阵一、等参数单元刚度矩阵第四步第四步 单元应变单元应变-单元位移单元位移-节点位移之间的关系节点位移之间的关系41414411( , ) ( , )( , )( , )( , )iiixyiiixyiiiiiiuNuxxvx yNvyyuvNuNvyxyx 31241234312412343312412412341234NNNNuuuuxxxxNNNNvvvvyyyyNNNNNNNNuuuuvvvvyyyyxxxx11312422312433331122444400000000uvNNNNuxxxxvNNNNuyyyyvN

16、NNNNNNNyxyxyxyxuv12123434 eeeeeddBBBBB ddd第五步第五步 单元应力单元应力-应变应变-节点位移之间的关系节点位移之间的关系 ( , ) ( , ) ex yDx yD B d第六步第六步 单元力单元力-节点位移之间的关系节点位移之间的关系由虚位移原理，利用以前所推导的方法，可得到节点力与节点位移之间的由虚位移原理，利用以前所推导的方法，可得到节点力与节点位移之间的关系式关系式 eTeFBD B dV d eTeeeFBD B tdxdy dKd eTKBD B tdxdy B矩阵由式矩阵由式(7-5)给出，积分区域为任意四边形单元内区域。给出，积分区域为

17、任意四边形单元内区域。11312422312433331122444400000000uvNNNNuxxxxvNNNNuyyyyvNNNNNNNNyxyxyxyxuv12123434 eeeeeddBBBBB ddd二、等参数坐标变换二、等参数坐标变换4141( , )( , )iiiiiixNxyNy 根据复合函数求导法则，有根据复合函数求导法则，有xyxyxyxy ( , ) ( , )xyx yJxy 为写成矩阵形式，记变换矩阵为写成矩阵形式，记变换矩阵(雅可比矩阵雅可比矩阵)为为 xyxxJxyyx11 |yyxJxxJy1 J为雅可比矩阵的逆阵。为雅可比矩阵的逆阵。 |J为雅可比矩阵

18、的行列式为雅可比矩阵的行列式 |xyxyxyJxy444111( , )( , )( , )1|iiiiiiiiiNuNuNuyyxJ 41( , )iiiNyy 41( , )iiiNyy 此外，整体坐标系与局部坐标的面积微分之间有关系式此外，整体坐标系与局部坐标的面积微分之间有关系式|dxdyJ d d 五、面积微元的坐标变换五、面积微元的坐标变换ddJddjdyixjdyixdddxdydet)()(obdadyx0baddjyi xrdadb 从而计算单元刚度矩阵表达式的积分，可以从整体坐标系任意从而计算单元刚度矩阵表达式的积分，可以从整体坐标系任意四边形区域的积分转换到局部坐标系正方

19、形区域的积分：四边形区域的积分转换到局部坐标系正方形区域的积分：1111 |eTKBD B t J d d 这样积分区域就变简单了，所有计算都转换到局部坐标系下的正方形单这样积分区域就变简单了，所有计算都转换到局部坐标系下的正方形单元进行。但是由于坐标变换，使被积函数具有非常复杂的形式。一般来元进行。但是由于坐标变换，使被积函数具有非常复杂的形式。一般来讲，这一积分无法解析进行，需要采用数值积分来求解。讲，这一积分无法解析进行，需要采用数值积分来求解。31243124331122440000 0000NNNNxxxxNNNNByyyyNNNNNNNNyxyxyxyx三、能进行等参数变换的条件三

20、、能进行等参数变换的条件4141( , )( , )iiiiiixNxyNy 只要给定整体坐标系内四个节点的坐标只要给定整体坐标系内四个节点的坐标 ( ,)iix y1,2,3,4i 就可以写出坐标变换式。就可以写出坐标变换式。 为保证此变换式在单元上能确定整体坐标与局部坐标间的一一为保证此变换式在单元上能确定整体坐标与局部坐标间的一一对应关系，使等参数变换能真正进行，必须使变换行列式对应关系，使等参数变换能真正进行，必须使变换行列式(雅可比行雅可比行列式列式)在整个单元上均不等于零。因为在整个单元上均不等于零。因为微分变换式微分变换式 |dxdyJ d d |J不能为零。不能为零。 | 0J

21、 是雅可比矩阵的逆矩阵存在的必要条件；是雅可比矩阵的逆矩阵存在的必要条件； 44114411( , )( , ) ( , )( , )iiiiiiiiiiiiNNxyxyJxyNNxy 44114411(1)(1)44(1)(1)44iiiiiiiiiiiiiiiixyxy4411441144444444iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiixxyyxxyy1( , )(1)(1)4iiiN 4114iiiiAx4411441144444444iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiixxyyxxyy4114iiiiBy41114iiiax42114iiiay43114iiia

22、x44114iiiay1234 aAaBJaAaB4411441144444444iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiixxyyxxyy令上式中常数4114iiiiAx4114iiiiBy41114iiiax42114iiiay43114iiiax44114iiiay1234 aAaBJaAaB14231243| ()()()Ja aa aBaAaAaBa是 , 的线性函数。 | 0J 要使要使 只需要求只需要求 |J在四个节点处的值具有同一符号即可。在四个节点处的值具有同一符号即可。 以节点1为例，将局部坐标 ( , )( 1, 1) 1234 aAaBJaAaB代入 121, 1

23、34 aAaBJaAaB 4114iiiiAx4114iiiiBy41114iiiax42114iiiay43114iiiax44114iiiay计算出计算出 1a2a3a4aAB2121( 1, 1)14141 12 14sinxxyyJxxyy 2121( 1, 1)14141 12 14sinxxyyJxxyy x132y41234同理，在节点2，3，4， (1, 1)2 21 23sinJ(1,1)3 32 34sinJ( 1,1)4 41 43sinJ123420i1,2,3,4i 条件下才会使四个 J符号一致，且一定为正。 确定的等参数变换是可行的，在整体坐标系下所划分的任意四边形

24、单元必须是凸的四边形，而不能有一个内角等于或大于 也就是说对求解区域进行任意四边形分割时，不能太任意，其任意性有也就是说对求解区域进行任意四边形分割时，不能太任意，其任意性有一个限度。这个限度还可表述为：四边形单元的任意两条边不能通过适一个限度。这个限度还可表述为：四边形单元的任意两条边不能通过适当的延伸在单元上出现交点。通常为保证计算精度起见，在划分单元时当的延伸在单元上出现交点。通常为保证计算精度起见，在划分单元时应尽量使四边形单元的形状与正方形相差不远。应尽量使四边形单元的形状与正方形相差不远。431228四、节点等效载荷的形成四、节点等效载荷的形成 单元上可能受到的外载荷一般有体积力单

25、元上可能受到的外载荷一般有体积力(例如重力、离心力等例如重力、离心力等)、表面力、表面力(分分布载荷布载荷)和集中力。依据前几章节点等效的方法，可将等参数单元的等效节点载和集中力。依据前几章节点等效的方法，可将等参数单元的等效节点载荷表述如下。荷表述如下。 1. 体积力等效节点载荷体积力等效节点载荷 设单位体积所受到的体积力，即体积力密度对二维问题为设单位体积所受到的体积力，即体积力密度对二维问题为 vxvvyFFF则单元上外载荷所做的外力虚功为则单元上外载荷所做的外力虚功为* TeTTevvssWdF tdxdydNF tdxdy*edNd1111 |eTTvvvsFNF tdxdyNF t

26、 J d d 2. 表面力等效节点载荷表面力等效节点载荷 设单位表面积所受到的表面密度(二维情况下时单位长度上的力)为 xyqQq则单元上外载荷所做的外力虚功为* TeTTellWdQ dldNQ dl22()()dldxdy22xxyydddd如图7-5所示，在单元的 12340d132(1,1)( 1,1)4( 1, 1) (1, 1)22xydld eTslFNQ dl 14230d132(1,1)( 1,1)4( 1, 1) (1, 1)22xydld3. 集中力等效节点载荷 集中力可直接作用于节点上，其向量记为 erF从而单元的负荷向量由体积力向量、表面力向量和集中力向量合并而成，即

27、 eeeevsrFFFF得到了单元刚度矩阵和单元负荷向量，就可以按节点号叠加总体刚度矩阵和总负荷向量。最后得方程组 eKdF eTslFNQ dl 五、结果处理五、结果处理可知母单元中 ( , ) 点在子单元中为 ( , )x y但是一般无法从方程求出 ( , )f x y( , )g x y4141( , )( , )iiiiiixNxyNy x132y( 1,1)4( 1, 1) (1, 1)00(,)xy11( ,)( 1, 1)x y 例题例题7-1 ：22(,)(1, 1)xy3300(,)(,)xyxy44(,)( 1,1)xy 求该四变形单元的雅可比矩阵， 并求 00,xy取什么

28、值时， |J在单元内不变号？ 4123041( , )( 1)1( 1)iiixNxNNN xN 4123041( , )( 1)( 1)1iiiyNyNNNyN 000000000111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)44441(111)411( 3)(1)(1)4xxxxxxxxxx 000000000111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)44441(111)411(1)(1)(1)4yyyyyyyyyy 0000111(1)(1)(1)(1)44 11(1)(1)1(1)(1)44xyxyJxyxy 001|4(1)(1)(1)(1)4Jxy1,1|10J

29、 1,1001|()2Jxy00,1xy |J不变号。1,101|1(1)2Jy 1,101|1(1)2Jx 以及用以及用 x132(2,1)y( 1,1)4( 1, 1) (1, 1)例题例题7-2：如图四节点四边形单元，各节点的坐标为，求坐标变换公式 ( , )kNx y雅可比矩阵， , 表示 1Nx1Ny(1)求坐标变换公式 由等参数元的坐标变换公式(7-4)，可得 412341( , )( 1)12( 1)iiixNxNNNN 412341( , )( 1)( 1)11iiiyNyNNNN 1111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)44241 (51)41111(1)(1

30、)(1)(1)(1)(1)(1)(1)4444 xy 415xyyy4(1)15xy(2)求求 2(32)15xyy( , )kNx y11(32)(1)( , )(1)(1)42(5)xyyN x yy21(1)(1)( , )(1)(1)45xyNx yy31(1)(1)( , )(1)(1)45xyNx yy11(32)(1)( , )(1)(1)42(5)xyyN x yy (3)求雅可比矩阵 1(5)04 1(1)14xyJxy 1|(5)4J(4)求 1Nx1Ny可以由第一步和第二步所得到的结果直接求出，可以由第一步和第二步所得到的结果直接求出， 也可以通过雅可比矩阵求解也可以通过

31、雅可比矩阵求解 11111111 |NNyyNxJNNxxNJy110(1)141111(1)(5)(5)(1)444421544(5)例题例题7-6： 求如图四节点等参数元在重力载荷作用下节点等效外载荷。重求如图四节点等参数元在重力载荷作用下节点等效外载荷。重力载荷集度为力载荷集度为 2132(2,1)y( 1,1)4( 1, 1) (1, 1)1(51)4xy 1(5)04 1(1)14xyJxy 1|(5)4Jyp由题意可知：由题意可知： 0 xp 各节点等效载荷为各节点等效载荷为1111111|eyypN p t J d d 1111114(1)(1)1(1443d d 1121111

32、|eyypN p t J d d 1111114(1)(1)1(1443d d 1133111|eyypN p t J d d 1111117(1)(1)1(1446d d 1144111|eyypN p t J d d 1111117(1)(1)1(1446d d 已知图中单元已知图中单元2-3边受到线性分布载荷的作用，求节点等效外载荷。边受到线性分布载荷的作用，求节点等效外载荷。解：由例题解：由例题7-2可得到坐标变换关系如下：可得到坐标变换关系如下：x132(2,1)y( 1,1)4( 1, 1) (1, 1)0p1(51)4xy 由图可知线性分布载荷表示为由图可知线性分布载荷表示为01

33、( )(1)2xpypy01( )(1)2xpp( )0yp11|2x1|1y52dld只需要考虑节点只需要考虑节点2，3的等效载荷，的等效载荷， 21|(1)/2N31|(1)/2N11200201155115(1)(1)122286sxtptpPtpdd11200301155115(1)(1)122283sxtptpPtpdd第四节第四节 试凑法来确定形函数试凑法来确定形函数一、四节点正方形单元的形函数一、四节点正方形单元的形函数, 坐标系下，单元的四条边界线的方程分别为坐标系下，单元的四条边界线的方程分别为 1010 1010 根据形函数应该具有的性质，即根据形函数应该具有的性质，即本点

34、为本点为1，它点为，它点为0。1( , )(1)(1)N 2( , )(1)(1)N 3( , )(1)(1)N 4( , )(1)(1)N 132( 1,1)4(1, 1)5( 1, 1) (1,1)(0, 1)二、五节点正方形单元的形函数二、五节点正方形单元的形函数五节点正方形单元，单元内任意一点的位移可表示为五节点正方形单元，单元内任意一点的位移可表示为51( , )( , )kkkd x yNd 满足本点为满足本点为1，它点为，它点为0的特性。的特性。 ( , )kN 从四节点矩形单元的形函数出发，为了避免混淆。用以下记号表示从四节点矩形单元的形函数出发，为了避免混淆。用以下记号表示1

35、( , )(1)(1)4iiiN 在节点在节点5 1(0, 1)1/2N2(0, 1)1/2N3(0, 1)0N4(0, 1)0N3( , )N 在在1，2，4，5都为零，在点都为零，在点3为为1，因此它满足条件，有，因此它满足条件，有33( , )( , )NN 44( , )( , )NN 我们设法构造我们设法构造 它在它在1，2，3，4点处为零，以下的表达式能满足上述要求点处为零，以下的表达式能满足上述要求. 5( , )N 25( , )(1)(1)Na 又需要满足在点又需要满足在点5处为处为1。代入。代入5点的坐标点的坐标1/2a 1 5N是二次曲线，而该边上有三个节点，故能满足连续

36、性要求。是二次曲线，而该边上有三个节点，故能满足连续性要求。 151/2NN在节点在节点1为为1，在点，在点2，3，4为为0，在点，在点5 151/2,1/2NN1151/2NNN2251/2NNN 对图对图7-6所示的五节点正方形单元，我们可得到其形函数表达式：所示的五节点正方形单元，我们可得到其形函数表达式： 111( , )(1)(1)4NN 221( , )(1)(1)4NN 331( , )(1)(1)4NN 441( , )(1)(1)4NN 251( , )(1)(1)2N 三、八节点等参数单元的形状函数三、八节点等参数单元的形状函数对照四节点的情况，八节点正方形单元在局部坐标系

37、下的位移插值函数对照四节点的情况，八节点正方形单元在局部坐标系下的位移插值函数81( , )iiidNd 利用形状函数的性质，八节点等参数单元的形状函数可由下述两个条件所利用形状函数的性质，八节点等参数单元的形状函数可由下述两个条件所唯一确定：唯一确定：( , )iN 1 是形如位移插值函数的双二次函数。是形如位移插值函数的双二次函数。2. 在节点在节点i其值为其值为1，其余节点值为，其余节点值为0。 由于形状函数是唯一的，则我们可以采用任意方法来求形状函数。由于形状函数是唯一的，则我们可以采用任意方法来求形状函数。1( , )N 在节点在节点2-8其值为零。其值为零。 10 10 10 (

38、, )(1)(1)(1)N 1( 1, 1)(1)(1)(1)1( , )(1)(1)(1)(1)(1)(1)4N 31( , )(1)(1)(1)4N 51( , )(1)(1)(1)4N 71( , )(1)(1)(1)4N 2( , ).N 它在节点它在节点1和和3-8应为应为0，注意到直线，注意到直线17、35、57通过这些点，而这三条通过这些点，而这三条直线的方程分别是直线的方程分别是10 10 10 2( , )(1)(1)N 2222(0, 1)(1)(1)1( , )(1)(1)(1)(1)2N 241( , )(1)(1)2N 261( , )(1)(1)2N 281( ,

39、)(1)(1)2N 第五节第五节 八节点曲边四边形等参数单元八节点曲边四边形等参数单元 任意四边形的四节点等参数单元可以较方便地对求解区域进行分割，任意四边形的四节点等参数单元可以较方便地对求解区域进行分割，但许多情况下仍嫌净度不够理想。一方面是因为位移插值函数是双线形函但许多情况下仍嫌净度不够理想。一方面是因为位移插值函数是双线形函数，次数仍较低；另一方面因为整体坐标系下的任意四边形是直边四边形数，次数仍较低；另一方面因为整体坐标系下的任意四边形是直边四边形，对于具有曲线边界的求解区域的模拟仍有一定误差。，对于具有曲线边界的求解区域的模拟仍有一定误差。132(1,1)( 1,1)4( 1,

40、1) (1, 1)5678 为进步提高精度，在四节点等参数单元的基础上增加节点数目，提高位为进步提高精度，在四节点等参数单元的基础上增加节点数目，提高位移插值函数的阶次。使用中采用得最多的是八节点曲边四边形等参数单元。移插值函数的阶次。使用中采用得最多的是八节点曲边四边形等参数单元。一、平面八节点等参数单元位移插值函数一、平面八节点等参数单元位移插值函数 局部坐标下，八节点等参数单元仍然是局部坐标下，八节点等参数单元仍然是边长为边长为2的正方形。除了原来四节点单元的的正方形。除了原来四节点单元的4个角节点外，又将各边中间点取为节点。节个角节点外，又将各边中间点取为节点。节点排列和单元形状如图点

41、排列和单元形状如图7-7所示。所示。8个节点的个节点的局部坐标局部坐标 ( ,)ii 222212345678d 因此这样的位移插值函数是双二次函数，相应的插值称为双二次插值。显因此这样的位移插值函数是双二次函数，相应的插值称为双二次插值。显然，它比双线性的位移插值函数阶次提高了，计算精度必然也会提高。然，它比双线性的位移插值函数阶次提高了，计算精度必然也会提高。 那么这一双二次的位移插值函数是否在单元边界上满足变形协调条件呢？那么这一双二次的位移插值函数是否在单元边界上满足变形协调条件呢？ 132(1,1)( 1,1)4( 1, 1) (1, 1)5678 二次函数，完全可以由该边上三个节点

42、二次函数，完全可以由该边上三个节点处的函数值所唯一确定，相邻单元的公共边处的函数值所唯一确定，相邻单元的公共边上，三个节点位两相邻单元所共有。所以插上，三个节点位两相邻单元所共有。所以插值函数在此边上的连续性可以得到保证。值函数在此边上的连续性可以得到保证。 在此局部坐标系下单元变形的协调性在此局部坐标系下单元变形的协调性条件被满足，再加上等参数坐标变换的相条件被满足，再加上等参数坐标变换的相容性，则整体坐标下的变性协调性也将得容性，则整体坐标下的变性协调性也将得到满足。到满足。二、八节点等参数单元的形状函数二、八节点等参数单元的形状函数三、等参数变换极其实现条件三、等参数变换极其实现条件由形

43、状函数以及等参数变换的思想，局部坐标到整体坐标的坐标变换式为由形状函数以及等参数变换的思想，局部坐标到整体坐标的坐标变换式为8181( , )( , )iiiiiixNxyNy 88118811( , )( , )( , ) ( , )( , )( , )iiiiiiiiiiiiNNxyx yJNNxy 通过坐标变换式可以了解整体坐标下单元的形状。以局部通过坐标变换式可以了解整体坐标下单元的形状。以局部坐标下单元的坐标下单元的345边为例，过这几个节点的直线方程为边为例，过这几个节点的直线方程为 1x132y4567822xabcydef132(1,1)( 1,1)4( 1, 1) (1, 1

44、)567831( , )(1)(1)(1)4N 51( , )(1)(1)(1)4N 知道这是一个抛物线方程，单元的其知道这是一个抛物线方程，单元的其他边也是一样的。可见八节点等参数元在他边也是一样的。可见八节点等参数元在整体坐标系下是以抛物线为边线的曲边四整体坐标系下是以抛物线为边线的曲边四边形单元，如图所示。边形单元，如图所示。 241( , )(1)(1)2N 为保证等参数坐标变换顺利进行，仍需要为保证等参数坐标变换顺利进行，仍需要 | 0J 类似四节点等参数元，整体坐标下八节点的位置配置和单元形状需类似四节点等参数元，整体坐标下八节点的位置配置和单元形状需要做一定的限制。要做一定的限制

45、。1. 不能使单元太歪斜。单元划分时整体坐标下曲四边形的任意两条对边不能使单元太歪斜。单元划分时整体坐标下曲四边形的任意两条对边即使通过适当的延长也不能在单元上出现交点。也就是不能有图即使通过适当的延长也不能在单元上出现交点。也就是不能有图7-9所示所示单元形式出现，否则无法计算。单元形式出现，否则无法计算。13245678132456782. 中间节点尽量位于两节点的中间，若位于中间节点尽量位于两节点的中间，若位于1/3处分点，则会出现较大的偏处分点，则会出现较大的偏差，若位于差，若位于1/4分点，则计算结果会完全不正确，甚至出现奇异性，计算无分点，则计算结果会完全不正确，甚至出现奇异性，计

46、算无法进行。因此划分时应尽量作到：单元划分尽量接近四边形；中间节点尽量法进行。因此划分时应尽量作到：单元划分尽量接近四边形；中间节点尽量位于每边的位于每边的1/2分点出。分点出。四、等参数元的特点四、等参数元的特点1. 等参数元的计算精度高，可以较好地模拟曲线边界的求解区域，从而等参数元的计算精度高，可以较好地模拟曲线边界的求解区域，从而使等参数单元在有限元计算中得到广泛应用。使等参数单元在有限元计算中得到广泛应用。2等参数元另一个重要优点就是它所需要输入的数据量少。等参数元另一个重要优点就是它所需要输入的数据量少。 有资料表明，对一个平面应力分析问题，分别采用三节点三角形线性单有资料表明，对

47、一个平面应力分析问题，分别采用三节点三角形线性单元和八节点等参数元求解，采用同样多的节点元和八节点等参数元求解，采用同样多的节点(200个节点个节点)及完全相同的及完全相同的节点分布形式。三角形单元用了节点分布形式。三角形单元用了300个左右单元，输入数据量多，而计算个左右单元，输入数据量多，而计算精度在应力集中处却不理想。八节点等参数单元只用了精度在应力集中处却不理想。八节点等参数单元只用了50个单元，输入数个单元，输入数据大大减少，而计算精度高，应力集中处于实际情况基本相同。因此，现据大大减少，而计算精度高，应力集中处于实际情况基本相同。因此，现在的有限元分析大多数采用等参数单元计算。在的

48、有限元分析大多数采用等参数单元计算。 等参数单元的主要缺点是由于要进行等参数变换，使程序编制变得等参数单元的主要缺点是由于要进行等参数变换，使程序编制变得复杂。另外由于要进行数值积分，使得形成刚度矩阵的计算时间加长，复杂。另外由于要进行数值积分，使得形成刚度矩阵的计算时间加长，占用较多的计算机资源。尽管如此，在已有程序和计算机速度不断提高占用较多的计算机资源。尽管如此，在已有程序和计算机速度不断提高的情况下，上述缺点都不再成为使用中的主要障碍。的情况下，上述缺点都不再成为使用中的主要障碍。 如果认为八节点等参数单元的计算精度还不够高，还可以在单如果认为八节点等参数单元的计算精度还不够高，还可以在单元每边加节点以提高位移插值函数的阶次。例如元每边加节点以提高位移插值函数的阶次。例如7-10所示的十二所示的十二节点单元。依据试凑法可以得到它的形状函数。实