2015年高考理科数学全国一卷真题

1、第1页共 19 页2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国I卷)注意事项：1本试卷分第 I卷(选择题)和第 U卷(非选择题)两部分.第 I卷 1 至 3 页, 第 U卷 3 至 5 页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的1设复数 z 满足1 =i，则|z|=()1 z(A) 1(B)2(C)3(D) 22.sin20cos10cos160osin 10o

2、=:()(A)(B)1(C)丄(D)-22223 .设命题 p :n N,n22n，则P为()(A)n N,n22n(B)nN, n22n(C)n N,n22n(D)nN,n2=2n4.投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试。已知某同学每 次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测 试的概率为()(A) 0.648(B) 0.432(C) 0.36(D) 0.31225已知M( x0,y0)是双曲线C: y21上的一点，F1, F2是 C 上的两个第2页共 19 页2第3页共 19 页ujun ujur焦点，若 Mh?MF20，则yo的取值范围是（

3、）（B）V，彳）有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问：积及为米几何？”其意思为：“在 屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥 的四分之一），米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3, 估算出堆放斛的米约有（）(A) 14 斛(B) 22 斛(C) 36 斛(D) 66 斛7.设 D 为ABC 所在平面内一点 BCuuu3CD，则（)UULT1uuu4 uuuruuur 1 uurr 4 uuur(A)AD AC(B)AD-AB AC3333uuuuuuuuuuuurUU

4、LT 4 uuu1uuur4 uuu1(C)AD-AB1AC(D)AD-AB1AC33338.函数f（x）=cos（ x ）的部分图像如图所示，则f（x）的单调递减区间为(D) ( 6.九章算2 3）3书中有如下问题：“今10.(x2y）* 5的展开式中，x5y2的系数为（(A)(B)(2 k(kZ4沐Z)(A) 5(B) 6(C) 7(D) 8(第4页共 19 页(A) 10(B) 20(C) 30(D) 6011 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示 若该几何体的表面积为 16 + 20f化)匚 0,则a的取值范围是()二、

5、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13若函数 f (x) =xln(x 飞x2)为偶函数，贝 U a=_2 214. 一个圆经过椭圆 忆1的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半轴上，则164该圆的标准方程为x 1015 .若 x,y 满足约束条件 x y 0 ，则上的最大值为xx y 4 016 .在平面四边形 ABCD 中/ A=Z B=Z C=75，BC=2 贝 U AB 的取值范围，则 r=()匕正优圏(A) 1(B) 2a,其中 a1，若存在唯一的整数X。，使得333(A) - - , 1)(B)-,-)2e2e4(C)2e，3)3(D) -，1)2e12设函数f(x

6、)=ex(2x 1) ax第5页共 19 页、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。17.(本小题满分 12 分)Sn为数列an的前n项和.已知an0,a：a*=4Sn3.(I)求an的通项公式；1(U)设bn,求数列bn的前n项和.anan 118.如图，四边形 ABC 助菱形，/ ABC=120 , E, F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BEX平面 ABCD DF 丄平面 ABCD BE=2DF AE! EC.(I)证明：平面 AECX 平面 AFQ(U)求直线 AE

7、与直线 CF 所成角的余弦值.第6页共 19 页19某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量 y （单位：t ）和年利润 z （单位：千元）的影响，对 近 8 年的年宣传费x和年销售量yi（i=1,2 , , 8）数据作了初步处理, 得到下面的散点图及一些统计量的值.&20 .WX -*sso r*sbO r*S40 -*500 r *碱丄也5D厶心盂玄主 X列列awi/1r xu yu w8一一2(Xix)i 18一一2(Wiw)i 18(Xix)(yiy)i 18(Wiw)( yiy)i 146.56.6.8289.81.61469108

8、.863ur _ 18,w =wi8i i（I）根据散点图判断，y=a+bx 与 y=c+d、x哪一个适宜作为年销售量 y 关 于年宣传费 x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（U）根据（I）的判断结果及表中数据，建立y 关于 x 的回归方程；（川）已知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x.根据（U）的结 果回答下列问题：（i）年宣传费 x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii） 年宣传费 x 为何值时，年利率的预报值最大？附:对于一组数据（Ui,Vj,（U2,V2），（Un,Vn）,其回归线VU的斜率和截距的最小二乘估计分别为：表中 wi第7页

9、共 19 页Y（旳一址XE一巧-、a=V -Pu2-疔220. (本小题满分 12 分)在直角坐标系xoy中，曲线 C: y=与直线y kx a4(a 0)交与 M,N 两点，(I)当 k=0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程；(n) y 轴上是否存在点 P,使得当 k 变动时，总有/ OPMMOPN 说明理由.第8页共 19 页21. (本小题满分 12 分)已知函数 f (x) =x3ax - , g(x) In x.(I)当 a 为何值时，x 轴为曲线y f (x)的切线；(U)用minm, n 表示 m,n 中的最小值，设函数h(x) min f (x), g(x) (x

10、 0)，讨论 h (x)零点的个数.22. (本题满分 10 分)选修 4-1 :几何证明选讲如图，AB 是的直径，AC 是的切线，BC 交于 E.(I)若 D 为 AC 的中点，证明：DE 是|6|的切线;(U)若OA3CE，求/ ACB 的大小.第9页共 19 页23. (本小题满分 10 分)选修 4-4 :坐标系与参数方程2 2在直角坐标系xOy中，直线 G：x= 2,圆C2:x 1 y 21,以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(I)求Ci,C2的极坐标方程；(n)若直线C3的极坐标方程为R，设C2与C3的交点为M, N ,4求C2MN的面积.24. (本小题满分 10

11、 分)选修 4 5:不等式选讲已知函数讥:閱=|x+1|-2|x-a|, a0.(I)当 a=1 时，求不等式 f (x) 1 的解集；(n)若 f(x)的图像与 x 轴围成的三角形面积大于6,求 a 的取值范围.故选 A.第 9 页共 19 页2015年普通高等学校招生全国统一考试（全国I卷）理科数学试卷参考答案第I卷一、选择题：1答案:A解：由-zi得，z丄丄=t =i，故|z|=1 ,故选 A.1 z1 i （1i）（1 i）2答案:D1解:原式=sin 20cos10cos20sin 100=sin300=，故选 D.23答案:C解：p:n N,n22n，故选 C.4.答案:A解:根据

12、独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为C0.620.4 0.63=0.648，故选 A.5 答案:A故选 A.6 答案:B116解:设圆锥底面半径为 r，则-2 3r 8=r一，所以米堆的体积为431 13芦)25=320，故堆放的米约为320- 1.6222,故选 B.433997 答案:A2解:由题知R（、.3,o）, F2（3,o）,X02y。1，所以ujun uuuu(3 X0, y)?( 3 x0, y) =x0y0 3 3y0 1 0，解得Fy0于，因为g(x) ex(2x1)，所以当x 1时，g (x)V0,当x 1时，g (x)0,第11页共 19 页uuur解：由题知AD

13、uuur uuur uur 1 uuu uuurAC CD AC - BC AC31 uuur uuur1 uuu 4 uuur严AB)= SAB严，第12页共 19 页=0.25,n=1,S=0.5 t=0.01,是，循环，执行第 2 次，S=S-m=0.25,m=0.125,n=2,S=0.25 t=0.01,是，循环，执行第 3 次，S=S-m=0.125,m -2=0.0625,n=3,S=0.125 t=0.01,是，循环，执行第 4 次，S=S-m=0.0625,m -2=0.03125,n=4,S=0.0625 t=0.01,是，循环，执行第 5 次，S=S-m=0.03125,

14、m -=0.015625,n=5,S=0.03125 t=0.01,是，循环，执行第 6 次，2S=S-m=0.015625,mm=0.0078125,n=6,S=0.015625 t=0.01,是，循环，执2行第 7 次，S=S-m=0.0078125,mm=0.00390625,n=7,S=0.0078125 t=0.01,2否，输出 n=7,故选 C.10 答案:C 解:在(x2x y)5的 5 个因式中，2个取因式中x2剩余的 3 个因式中 1 个取x，其余因式取 y,故x5y2的系数为C；C3C；=30,故选 C.11.答案:B解:由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体

15、，圆柱的半径与球的半径都为 r，圆柱的高为 2r，其表面积为12 2 2 224 r r 2r r 2r 2r=5 r 4r=16 + 20 ，解得 r=2，故选 B.12 .答案:D解：设g(x)=ex(2x 1)，y ax a，由题知存在唯一的整数x，使得g(x)在直线 y ax a 的下方.1 1所以当x时，g(x)max=-2e2,28答案:D解:由五点作图知，；4，所以f(x) cos(4令2k x 2k41减区间为(2k -，2k49 答案:C,k1Z，解得2k匸V-)，k Z4,故选 D.解：执行第 1 次，t=0.01,S=1,n=O,m=xV2k34故单调丄=0.5,S=S-

16、m=0.5,m2因为g(x) ex(2x1)，所以当x 1时，g (x)V0,当x 1时，g (x)0,第13页共 19 页当 x 0 时，g(0)=-1 ,g(1) 3e 0,直线 y ax a 恒过(1,0)斜率且a,3故a g(0)1，且g( 1) 3e1a a，解得 一 0,第15页共 19 页试题解析：（I）当 n 1 时，a：2a14$ 3 4印+3，因为a.0,所以 6=3,当 n 2 时，a；ana：1a. 1=4Sn3 4Sn 13=4an，即所以数列an是首项为 3,公差为 2 的等差数列, 所以an=2n 1 ;(U)由(I)知，bn=1(二1),(2n 1)(2n 3)

17、2 2n 1 2n 3所以数列bn前 n 项和为b b2L bn=11111 1 1 1 1( )( )L( )=.2 3 5572n 1 2n 36 4n 618答案：(I)见解析(U)3解：试题分析：(I)连接 BD 设 BDA AC=G 连接 EG FG EF,在菱形 ABCD 中，不妨设 GB=1 易证 EGL AC 通过计算可证 EGL FQ 根据线面垂直判定定理可 知EGL 平面 AFC 由面面垂直判定定理知平面 AFCL 平面 AEC (U)以 G 为 坐标原点,分别以GJB,GC的方向为x轴,y 轴正方向，|GB|为单位长度,建 立空间直角坐标系G-xyz ,利用向量法可求出异

18、面直线 AE 与 CF 所成角的余 弦值解析：(I)连接 BD 设 BDA AC=G 连接 EG FG EF,在菱形 ABCD 中 ,不妨设 GB=1 由/ABC=120 ,可得 AG=GC=3.由 BE!平面 ABCD AB=BC 可知 , AE=EC又 AE1 EC,二 EG=3, EGLAC,J2在 Rt EBG ,可得 BE= 2 ,故 DF=，.2厂在 Rt FDG ,可得 FG 丄6.2在直角梯形 BDFE 中 ,由 BD=2 BE= 2 , DF可得 EF 旦上,2 2二EG2FG2EF2,EGL FQ ACH FG=G 二 EGL 平面 AFC EG 面 AEC 二平面 AFC

19、L 平面 AEC.第16页共 19 页（U）如图，以 G 为坐标原点，分别以GB,GC的方向为X轴，y 轴正方向,uuu|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系 G-xyz，由（I）可得 A（ 0,3,0)，E (1,0,2 )，F ( 1,0，），C（o，V3， o），uuu- AE = (1,3，22 )，uuuCF =：（-1，-3，迈）2.10 分ujm uuu故cosuuu uuuAE CFAE, CF-uu utun| AE|CF |3所以直线 AE 与 CF 所成的角的余弦值为 .319答案：（I）y c dE适合作为年销售 y 关于年宣传费用x的回归方程类型；（U） $ 100.

20、6 68、X （m） 46.24解：试题分析：（I）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（U）令w . x，先求出建立y关于w的线性回归方程，即可y关于x的回归方程；（m） （i）利用 y 关于x的回归方程先求出年销售量 y 的预报值，再根据年 利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x 即可年利润 z 的预报值； （ii）根据（U）的结果知，年利润 z 的预报值，列出关于x的方程，利用二次函数求最值的 方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用试题解析：（I）由散点图可以判断，y c d,x适合作为年销售 y 关于年宣传费用x的 回归方程类型8第17页共 19 页（U）令w

21、 . x，先建立y关于w的线性回归方程，由于8第18页共 19 页-$ y dw =563-68X 6.8=100.6. y 关于w的线性回归方程为$ 100.6 68w , y 关于x的回归方程为$ 100.6 68&.（E）（门由（n）知，当x=49 时，年销售量 y 的预报值$ 100.6 68 49=576.6，$ 576.6 0.2 4966.32.（ii）根据（n）的结果知，年利润 z 的预报值$ 0.2（100.6 68 =） x x 13.6.X 20.12，.当,x=6.8，即 x 46.24 时，$取得最大值.2故宣传费用为 46.24 千元时，年利润的预报值最大.

22、12 分20.答案：（I）-.fax y a 0或ax y a 0（n）存在解：试题分析：（I）先求出 M,N 的坐标，再利用导数求出 M,N. （n）先作出判 定，再利用设而不求思想即将y kx a代入曲线 C 的方程整理成关于x的一 元二次方程，设出 M,N 的坐标和 P 点坐标，利用设而不求思想，将直线PMPN 的斜率之和用a表示出来，利用直线 PM PN 的斜率为 0,即可求出a,b关 系，从而找出适合条件的 P 点坐标.解析：（I）由题设可得M（2、a,a），N（ 2 2, a），或M（ 22,a），N（2、.a,a）.Ty x，故y在x= 2. 2a 处的到数值为a，C 在（2 .

23、 2a, a）处的切线24方程为y aa（x 2、a），即，ax y a 0.(Wiw)(yiy)i 182(wiw)i 1=108.816=68,8第19页共 19 页2 _ _ _故y在x=- 2 2a 处的到数值为-.a，C 在（2-.2a,a）处的切线方程为4y aja(x 2.a), 即x ax y a 0.第20页共 19 页故所求切线方程为、ax y a 0或ax(U)存在符合题意的点，证明如下:设 P (0，b)为复合题意得点，M(xi,yi)，别为k1,k2.a 时，有kik2=0,则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补,故/ OPMH OPN 所以P(0, a)符

24、合题意.考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力335321 .答案：(I)a一；(U)当a一或a-时，h(x)由一个零点；当a-4444-3或a一时，h(x)有两个零点；当-a-时，h(x)有三个零点.444解：试题分析：(I)先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的a值；(U)根据对数函数的图像与性质将x分为x 1,x 1,0 x 1研究h(x)的零点个数，若零点不容易求解，则对讨论. h(x)在(1，+x)无零点.55当x=1 时，若a，则f(1) a 0，h(1) min f (1),g(1)g(1) 0,44N(X2,y2)，直线 PM

25、 PN 的斜率分kxa代入 C 得方程整理得x24kx4a 0.X24k, X!X24a.k2y1b y b_2kx1X2(a b)(x1x?) =k(a b)XX2X1X2a再分类试题解析：(I)设曲线f(X)与X轴相切于点(Xo,O)，则f(Xo)f (Xo)0，3X0axc23x0a， 解得X0因此，当a4时，x轴是曲线y f (x)的切线.(1,)时，g(x)In x 0,从而h(x) min f (x), g(x)g(X)0，第21页共 19 页故x=1 是h(x)的零点；若a-，则fa - 0,44h(1) min f(1),g(1) f (1) 0,故x=1 不是h(x)的零点.

26、当x (0,1)时，g(x) lnx 0,所以只需考虑f(x)在(0,1 )的零点个数.(i)若 a 3 或 a 0，则f (x) 3x2a在(0,1 )无零点，故f(x)在(0,1)1-单调，而f (0)-，f (1) a ，所以当 a 3 时，f(x)在(0，1)有一个44零点；当a0 时，f(x)在(0，1)无零点.第22页共 19 页AE2CE BE，列出关于x的方程，解出x，即可求出/ ACB 的大小.试题解析：(I)连结 AE 由已知得，AEL BC AC1AB,在 Rt AEC 中，由已知得 DE=DC / DECM DCE连结 OE M OBEM OEBvZ ACB-M ABC

27、=90DECM OEB=90，M OED=90，二 DE 是圆 O 的切线.(U)设 CE=1, AE=x,由已知得 AB=2药，BE Jl2 x2，(ii)若 3 a0,则f(x)在(0,f (x)取的最小值，最小值为3vaV0,f (x)在(0,1 )无零点.43,则f(x)在(0,1 )有唯一零点;431，由于f (0),f (1) a，所以当4443a时，f(x)在(叩)有两个零点；当3 a有一个零点10 分综上，当a-或a4-时，h(x)由一个零点；当a43a-时，h(x)有三个零点.4-时，f(x)在(0,1 )4-或a-时，h(x)4422.答案：(I)见解析(U)60解：试题分析：(I)由圆的切线性质及圆周角定理知， AELBC, ACLAB,由直 角三角形中线性质知 DE=DC OE=OB 利用等量代换可证/ DEC/ OEB=90