重要的不等式

1、数数学学E E 单元单元不等式不等式E1不等式的概念与性质5 ，2014山东卷 已知实数 x，y 满足 axay(0ay3Bsin xsin yCln(x21)ln(y21)D.1x211y215A52014四川卷 若 ab0，cd0，则一定有()A.adbcB.adbcC.acbdD.acbd5BE2绝对值不等式的解法9 、2014安徽卷 若函数 f(x)|x1|2xa|的最小值为 3，则实数 a 的值为()A5 或 8B1 或 5C1 或4D4 或 89D102014辽宁卷 已知 f(x)为偶函数，当 x0 时，f(x)cos x，x0，12 ，2x1，x12，则不等式f(x1)12的解集

2、为()A.14，23 43，74B.34，13 14，23C.13，34 43，74D.34，13 13，3410A3 、2014全国卷 不等式组x（x2）0，|x|1的解集为()Ax|2x1Bx|1x0Cx|0 x1Dx|x13CE3一元二次不等式的解法3 、2014全国卷 不等式组x（x2）0，|x|1的解集为()Ax|2x1Bx|1x0Cx|0 x1Dx|x13CE4简单的一元高次不等式的解法E5简单的线性规划问题132014安徽卷 不等式组xy20，x2y40，x3y20表示的平面区域的面积为_134132014北京卷 若 x，y 满足y1，xy10，xy10，则 z 3xy 的最小值

3、为_13111 ，2014福建卷 已知圆 C：(xa)2(yb)21，平面区域：xy70，xy30，y0.若圆心 C，且圆 C 与 x 轴相切，则 a2b2的最大值为()A5B29C37D4911C4 2014广东卷 若变量 x， y 满足约束条件x2y8，0 x4，0y3，则 z2xy 的最大值等于()A7B8C10D114D42014湖北卷 若变量 x，y 满足约束条件xy4，xy2，x0，y0，则 2xy 的最大值是()A2B4C7D84C132014湖南卷 若变量 x，y 满足约束条件yx，xy4，y1，则 z2xy 的最大值为_137142014辽宁卷 已知 x，y 满足约束条件2x

4、y20，x2y40，3xy30，则目标函数 z3x4y 的最大值为_1418152014全国卷 设 x，y 满足约束条件xy0，x2y3，x2y1，则 zx4y 的最大值为_15592014新课标全国卷 设 x，y 满足约束条件xy10，xy10，x3y30，则 zx2y 的最大值为()A8B7C2D19B112014全国新课标卷 设 x，y 满足约束条件xya，xy1，且 zxay 的最小值为7，则 a()A5B3C5 或 3D5 或311B10 2014山东卷 已知 x， y 满足约束条件xy10，2xy30，当目标函数 zaxby(a0，b0)在该约束条件下取到最小值 25时，a2b2的

5、最小值为()A5B4C. 5D210B6 、2014四川卷 执行如图 12 的程序框图，如果输入的 x，yR，那么输出的 S 的最大值为()图 12A0B1C2D36C22014天津卷 设变量 x，y 满足约束条件xy20，xy20，y1，则目标函数 zx2y 的最小值为()A2B3C4D52B122014浙江卷 若实数 x，y 满足x2y40，xy10，x1，则 xy 的取值范围是_121，3E6基本不等式2abab9 、2014重庆卷 若 log4(3a4b)log2ab，则 ab 的最小值是()A623B723C643D7439D162014湖北卷 某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，

6、某路段车流量 F(单位时间内经过测量点的车辆数， 单位： 辆/小时)与车流速度 v(假设车辆以相同速度 v 行驶， 单位：米/秒)、平均车长 l(单位：米)的值有关，其公式为 F76 000vv218v20l.(1)如果不限定车型，l6.05，则最大车流量为_辆/小时；(2)如果限定车型，l5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加_辆/小时16(1)1900(2)100解析 (1)依题意知，l0，v0，所以当 l6.05 时，F76 000vv218v12176 000v121v1876 0002v121v181900， 当且仅当 v11 时， 取等号(2)当 l5 时，F76 000vv2

7、18v10076 000v100v182000，当且仅当 v10 时，取等号，此时比(1)中的最大车流量增加 100 辆/小时14 、2014江苏卷 若ABC 的内角满足 sin A 2sin B2sin C，则 cos C 的最小值是_14.6 24162014辽宁卷 对于 c0，当非零实数 a，b 满足 4a22abb2c0 且使|2ab|最大时，1a2b4c的最小值为_16121 ， ，2014山东卷 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为32，直线 yx 被椭圆 C 截得的线段长为4 105.(1)求椭圆 C 的方程(2)过原点的直线与椭圆 C

8、交于 A， B 两点(A， B 不是椭圆 C 的顶点) 点 D 在椭圆 C 上，且 ADAB，直线 BD 与 x 轴、y 轴分别交于 M，N 两点(i)设直线 BD，AM 的斜率分别为 k1，k2，证明存在常数使得 k1k2，并求出的值；(ii)求OMN 面积的最大值21解：(1)由题意知，a2b2a32，可得 a24b2.椭圆 C 的方程可简化为 x24y2a2.将 yx 代入可得 x5a5.因此 22 5a54 105，即 a2，所以 b1，所以椭圆 C 的方程为x24y21.(2)(i)设 A(x1，y1)(x1y10)，D(x2，y2)，则 B(x1，y1)因为直线 AB 的斜率 kA

9、By1x1，且 ABAD，所以直线 AD 的斜率 kx1y1.设直线 AD 的方程为 ykxm，由题意知 k0，m0.由ykxm，x24y21，消去 y，得(14k2)x28mkx4m240，所以 x1x28mk14k2，因此 y1y2k(x1x2)2m2m14k2.由题意知 x1x2，所以 k1y1y2x1x214ky14x1.所以直线 BD 的方程为 yy1y14x1(xx1)令 y0，得 x3x1，即 M(3x1，0)可得 k2y12x1.所以 k112k2，即12.因此，存在常数12使得结论成立(ii)直线 BD 的方程 yy1y14x1(xx1)，令 x0，得 y34y1，即 N0，

10、34y1.由(i)知 M(3x1，0)，所以OMN 的面积 S123|x1|34|y1|98|x1|y1|.因为|x1|y1|x214y211，当且仅当|x1|2|y1|22时，等号成立，此时 S 取得最大值98，所以OMN 面积的最大值为98.E7不等式的证明方法20 、 、 2014天津卷 已知 q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数， 设集合 M0， 1， 2， ，q1，集合 Ax|xx1x2qxnqn1，xiM，i1，2，n(1)当 q2，n3 时，用列举法表示集合 A.(2)设 s，tA，sa1a2qanqn1，tb1b2qbnqn1，其中 ai，biM，i1，2，n.证明：若 a

11、nbn，则 st.20解：(1)当 q2，n3 时，M0，1，Ax|xx1x22x322，xiM，i1，2，3，可得 A0，1，2，3，4，5，6，7(2)证明：由 s，tA，sa1a2qanqn1，tb1b2qbnqn1，ai，biM，i1，2，n 及 anbn，可得st(a1b1)(a2b2)q(an1bn1)qn2(anbn)qn1(q1)(q1)q(q1)qn2qn1（q1） （1qn1）1qqn110，所以 s1） ，xa1a2x1，3xa1xa2 .由图可知，当 xa2时，fmin(x)fa2 a213，可得 a8.当 aa2 ，xa11xa2 ，3xa1（x1）.由图可知，当 x

12、a2时，fmin(x)fa2 a213，可得 a4.综上可知，a 的值为4 或 8.92014福建卷 要制作一个容积为 4 m3，高为 1 m 的无盖长方体容器已知该容器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是()A80 元B120 元C160 元D240 元9C19 、 、 、2014江苏卷 已知函数 f(x)exex，其中 e 是自然对数的底数(1)证明：f(x)是 R 上的偶函数(2)若关于 x 的不等式 mf(x)exm1 在(0，)上恒成立，求实数 m 的取值范围(3)已知正数 a 满足：存在 x01，)，使得 f(x0)0)，则 t1，所

13、以 mt1t2t11t11t1 1对任意 t1 成立因为 t11t1 12（t1）1t 113, 所以 1t11t1 113，当且仅当 t2, 即 x ln 2 时等号成立因此实数 m 的取值范围是，13 .(3)令函数 g(x)ex1ex a(x33x)，则 g (x) ex1ex3a(x21)当 x1 时，ex1ex0，x210.又 a0，故 g(x)0，所以 g(x)是1，)上的单调递增函数， 因此 g(x)在1，)上的最小值是 g(1) ee12a.由于存在x01， )， 使ex0ex0a(x30 3x0)0 成立，当且仅当最小值g(1)0，故 ee12aee12.令函数 h(x) x

14、 (e1)ln x1，则 h(x)1e1x. 令 h(x)0, 得 xe1.当 x(0，e1)时，h(x)0，故 h(x)是(e1，)上的单调递增函数所以 h(x)在(0，)上的最小值是 h(e1)注意到 h(1)h(e)0，所以当 x(1，e1)(0，e1)时，h(e1)h(x)h(1)0；当 x(e1，e)(e1，)时，h(x)h(e)0.所以 h(x)0 对任意的 x(1，e)成立故当 aee12，e(1，e)时， h(a)0，即 a1(e1)ln a，从而 ea1h(e)0，即 a1(e1)ln a，故 ea1ae1.综上所述，当 aee12，e时，ea1ae1.12 、2014辽宁卷

15、 当 x2，1时，不等式 ax3x24x30 恒成立，则实数 a 的取值范围是()A5，3B.6，98C6，2D4，312C21 、 、2014陕西卷 设函数 f(x)ln xmx，mR.(1)当 me(e 为自然对数的底数)时，求 f(x)的极小值；(2)讨论函数 g(x)f(x)x3零点的个数；(3)若对任意 ba0，f（b）f（a）ba1 恒成立，求 m 的取值范围21解：(1)由题设，当 me 时，f(x)ln xex，则 f(x)xex2，当 x(0，e)时，f(x)0，f(x)在(e，)上单调递增xe 时，f(x)取得极小值 f(e)ln eee2，f(x)的极小值为 2.(2)由题设 g(x)f(x)x31xmx2x3(x0)，令 g(x)0，得 m13x3x(x0)，设(x)13x3x(x0)，则(x)x21(x1)(x1)，当 x(0，1)时，(x)0，(x)在(0，1)上单调递