张量分析第一章 线性空间ppt课件

1、cba),(cba,;abFc F,;abFc Fcba),(a bc,;F实数空间关于加法和乘法法则有如下性质： （1） （2） （3） 存在唯一的元素,对每一个元素使得： （5） （6） （7） F中存在称为关于乘法的单位元素1，使得： xyyxFyx,zyxzyx)()(Fzyx,F中存在称为关于加法的单位元素0，使得： Fxxx0（4） FxFx )(0)(xx)()(xbaxba,abxFxbxaxba )(,abxFxbxayxa)(,abx yF（8） xx 1xF 1(,)nxxFxFxn,1),(),(11nnxxxx),(11nnxxxx1( ,), 1nniinEFFxx

2、xFxin 个nE(0,0),o),(1nxxx1,(,)nxxniFxxxxViin1 ,),(10 x0,;VFx y,z111( ,)( ,)(,)nnnxxxxxxx111(,)( ,)nnnxyxyzzxyz0,;VFx y,zF、V,0zyx（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） xyyx)()(zyxzyxV0中存在称为关于加法的单位元素o，使得： xox0V xV0中每一个元素x都存在唯一的(-x )，使得： oxx)()()(xxxxx)(yxyx)(xx 10VxF存在称为关于数乘的单位元素1 ，使得： 域上的矢量空间。且仍记为V0 。数域上的矢量空

3、间V0 具有如下性质：),(11nnyxyxyx),(11nnxyxyxyyxnnnzyxzyx)( ,)(111zyx),(111nnnzyxzyx)( ,),()(111nnnzyxzyxzyx),(111nnnzyxzyx()()x+ y+ z = x+ y + z = x+ y+ z0)0 , 0(Vo)0, 0(1nxxox),(1nxx xox1111()()( ,)() ,()(,)(),)nnnnxxxxxxxx x)()(xx)( ,)()(1nxxx11(,)nnxxxxxxx)(11()(,)nnxyxyxy11(,)nnxyxy()xyxyF1),( 111nxx xx

4、x 1yxztt)1 (1)01,ttttF xyzxy)()( ,),()(),(),(11111111nnnnnnnnxzxyxzxyxzxyxzxzxyxyuuFxyxyxyxynnnnxy)(,),(),(1111uxyuFtttt, 10)1 (yxzxyFtbabtatt,| )()(1 (sysxzababxyabxy)3 , 2(x) 1 , 6(y)5 . 1 , 1 (a) 1 , 2(bxyuabu( 4,0) sby(1)()()tatb abxsys( 2(1),3(1)(2 , )ttt tatb (42,32 )ttatb ) 1 , 2()23 , 24(bb)

5、5 . 1 , 1()23 , 24(aau abu xyS(b)(a)x 1x 2 246231u abu xyx 1x 2321654321图110V0VxV0VxV0110,(, ,)nnVxyxyV yx yxyxxVuFtttt,10)()1 (yxxyxx确定。而 矢量可由有向线段： 0VyFttttz,10)()1 (yooyo确定。容易验证 Ftttt,10)()()1 (xyxoyxx满足1.1-7式取 ）。 xsyyox, 1, 0 ba因此 ：yxx uy 则起点在x的矢量可由有向线段：0VyxVyxx uy nE0Vy(1)()() 01,ttttFx xyoxyxyx

6、x uy0V0V12345rrrrr、 、 、 、1r2r3r4r5r： ：Ftttt,10)2 , 1()0 , 2()1 (Ftttt,10)3 . 4 ,65. 0()3 , 0()1 (Ftttt,10)4 , 4()2 , 2()1 (Ftttt,10) 1 , 1 () 1, 1()1 (Ftttt,10) 1 , 4() 1 ,3( )1 (r 5b5a 5r4b 4a 4a 3r 3b2a 2r 2a 1b 1r 1-2-2-1-144332x 1211b 3x 2图12与 (取 )由此可得 ， 。显然由1.1-7式可知 ，但由1.2-1式可知 和 不等价由于 ）。 1r2r：

7、12bbsbtattbtattbtatt)23 . 2 ,35. 0() 3 . 22 ,65. 11()03 . 2 ,65. 12( )1 ()()( )1 (sbsaba1122当 时：当 时：) 3 . 4 ,65. 0()23 . 2 ,35. 0(tt)3 , 0()23 . 2 ,35. 0(ttbt ta35. 0a1b 1r2r1r2r0.350a 显然没有一组 ， 的解满足： 1r3r：21(,)sss与 (取 )btattbtasstsstbtatt)4 , 4()2 , 2)(1 ()2 ,1()0 ,2()1 ()()()1 (212111sbsaba331s42;4

8、120;222121ssss中第一组关于 的方程。即不存 在满足1.1-7式，因此 和 不平行。1s0Vs2r1r3r4r：12bbs与 (取 )btattbtattbtattbtatt)21,21() 1 , 1 () 1, 1)(1 ()34 , 34()23, 23()1 ()()()1 (33sbsaba44当 时：bt ta0a 1b 1r2r当 时：由此可得 ， 。显然 等 价。) 1 , 1 () 12 , 12(tt) 1, 1() 12 , 12(tt1r5r：51sbb与 (取当 时：bt ta0a 1b 1r5r当 时：由此可得 ， 。显然 等 价。btattbtattt

9、tbtattbtatt) 12 ,3(),4)(1,33() 12 , 51() 10 , 52()1 ()()()1 (11sbsaba55)1 ,4()12,3(tt) 1, 3() 12 ,3(tt由平行性及1.2-1式确定了自由矢量 集合在集合 中同样可以引入关于自由矢量的加法和数乘的运算，使得自由矢量集合 具有线性的空间结构。为此定义自由矢量集的元素自由矢量间的加法运算和实数域 上的数乘运算。设 ， ；与 、 等价的 中的矢量为V0VaFaVxxFbVyyXYV0V0V)中的加法和数乘分别定义为：、；。那么YXyxXxaa 0Vx图13b = b 1 + b 2yb 2b 1a 2a

10、 1x 2x 1654321123 a = a 1 + a 2o解： 1aos12(1)()() 01(1)(22,22)(22,32) 01(0, ) 01tttttttt oxasas1bos12(1)()() 01(1)(44,1 1)(64,2 1) 01(2 , ) 01ttttttt tt oybsbs)2 , 2() 1 , 2() 1 , 0(yxba)5 , 0() 1 , 0(555 xa)2 , 4() 1 , 2(222ybx 1 y 1 y x 2 y = 2 b 5 x = 5 a x + y = a + b图14结果如图1-4所示。 obaabcabo图15(a)

11、(b)10)1 (2121tttaaaa10)1 (2121tttbbbb1aosa1bosb10)(10)()1 (10)()()1 (121221ttttttttaaaaosasaoxaa12aax10)(10)()1 (10)()( )1 (121221ttttttttbbbbosbsboybb12bby2121abxyaabb将b矢量的起点平行移动至a矢量的终点。设b矢量平行移动后的终点由矢量b3 V0确定，那么： 12bas10)()( )1 (10)()1 (1221212132ttttttbabbabsbs(bba01223Vbabb（a）oz1aos10)()( )1 (10)

12、()( )1 (11221131ttttttababaasbsaoz1122ababz该式表明自由矢量的加法可在空间的任意点进行。图1-5给出了矢量a、b加法的几何示意图。（a图给出了a、bV ；（b图中将b平行移动使得b起点与a的终点相接。则按b式有： 由于z与c等价，由a式得： 2211cbabaxyab（b）obaabcabo图15(a)(b)bacababbaababcbaba与 a 的终点相接的 b 矢量终点确定的矢量。图 ( b ) 中该式也称为自由矢量加法的平行四边形法则。中还给出了与 a （或 b ）矢量等价的矢量（ 或）。容易验证，当 a （或 b ）与（或 ）等价，那么 b

13、 或(a ) 与与。 a 、b 、（或）等价。即 a ， b 均成平行四边形，且：、DCBAbacaba(b)(a)图16例4： 解： bacVF1n1nonnrr11（1.3-1） 那么 r1，rnV 称为线性相关的 n 个自由矢量。若只有当 = = = 0时1.3-1式满足，则称r1，rn是线性无关的。 n例5： 试确定自由矢量 ) 1 , 1 , 3()7 , 2 , 5(1r)3 , 4 , 4(2r)4 , 2 , 7(3r； ； 的相关性。 解： 1这是关于 ， ， 的齐次线性代数方程，其系数行列式的值为：那么 ：假设： 332211rrr)0 , 0 , 0()436 ,24,7

14、42()4 ,2 ,7()3 ,4 ,4()6 ,2(321321321333222111043602407423213213211112(166)4(4 12)7(324)0因此方程无非零解。即只有当 321orrr332211时： 123,rrr线性无关。 1n,rr1n,F n+1个矢量都是线性相关的。那么 V 称为 n 维自由矢量空间 ，n 维自由矢量空间V中的任意 n 个线必玩关的自由矢量称为 n 维自由矢量空间 V 中的一组基底。是 V 中 n 个线性无关的自由矢量，且 V 中任意1 1n,F 1n,rr1n,rrFxxxxnnn,111rrx（1.3-2） ； 是V 的基底表明V

15、 是 n 维矢量空间。由基底的定义可知 ， ， x 这 n+1个矢量必然线性相关。 1,nVrrx1n,rr1n,rr 01 12 2n nxrrro上式中 （假设 ， 线性无关。若要求上式成 00001n,rroxr 1xA(a)Aor 1r 2xr 2r 1(b)图17那么 线性无关，这与定义相矛盾。）且： 1n01n, x rrxo1n,)(1110nnrrxnnxx0101,令 那么： nnxxrrx11这表明每一个 Vx都可由基底线性表示。 设x有另一表示：nnxxrrx11 oxxorrnnnxxxx)()(111由于 线性无关，所以得： 1n,rr0, 011nnxxxxnnxx

16、xx,11因此1.3-2的表示是唯一地。 证毕。 当 时， 不全为零。因此有：对自由矢量空间V中的矢量在给定基底 r1，rn 上按（1.3-2） 表示时，必须明确在 En空间的每一点上都空间的每一点上都有一组与 r1，rn 恣意 分别等价的基底。Vx都可以在x矢量的起点的 r1，rn 示。且两种表示是等价的相同的）。 基底上表例6：如图1-7所示二维矢量空间 V，在 o 点给定V 的基底 r1，r2 及自由矢量 x（ x 起点在 A 点 ）。试求 x 在基底r1， r2上的表示。上的表示。( 见前页见前页 ) 解：如图 1-7a所示。将 A 点的 x 矢量起点平行移动至 o点，得等价矢量 x

17、。再将 o 点的 x 矢量在 o 点的基底 r1，r2上表示为：121.51.5 xrr如图1-7b所示。在 A 点作与 o 点 r1，r2等价的基底 r1，r2。再将。再将A点的矢量点的矢量x在在A点的基底点的基底 r1，r2上表示为：上表示为： 121.51.5 xrr显然两种表示是等价的相同的）。 当n维矢量空间V的基底给定为r1，rn，对每个 Vx有： nnxxrrx11其中x1，xn称为 矢量关于基底 r1，rn 的坐标Vx。记为x1，xn ）。坐标为0，0所标定的点 o及及o点处的点处的n个基底矢量个基底矢量 r1，rn共同构成一个坐标系。共同构成一个坐标系。 记为 1; ,no

18、rr或记为 ;io r 。每一个基底矢量由起点指向终点的方向称为坐标正方向， 反之称为坐标负向。 基底矢 量起点与终点的连线延长线称为坐标轴。 例7：如图1-8所示二维矢量空间。其坐标系为 12; ,o r r。试 求自由矢量 a起点由 Vx终点由 标定的坐标。 Vy解：oyaxr 1r 2图18x、y的坐标为的坐标为x1，x2），（），（y1，y2） 。由平行四边形法则得： yax22211122112211)()()()()(rrrrrrxyaxyxyxxyy a的坐标为 ),(),(221121xyxyaa由此得结论：自由矢量在给定坐标系 中;io r的坐标是终点位置矢量坐标与起点位置矢

19、量坐标之差。的坐标是终点位置矢量坐标与起点位置矢量坐标之差。 前面的讨论是在仿射空间内E n 进行的。在 E n 空间的讨论中建立了点的集合与实数集合的对应关系。并由此定义了位置矢量。并引了平行性、等价矢量等概念，进而给出了自由矢量和自由矢量空间、基底和坐标。为了使矢量空间V具有更丰富的内容，本节将在仿射空间中引进一个新的运算矢量的标量积。设 V xyz、 、， 并且在标量积作用下具有下列性质： xyz、 、i）ii）iii正定性： xyyxzxyxzyx)(0, 02xxxx（1.4-1） （1.4-2） （1.4-3） 若仿射空间 E n 带有标量积或称为点乘、点积运算 ，则称这样的仿射空

20、间为Euclid空间。记为R n 。 对称性：对称性：线性性：线性性：矢量长度：对任意矢量长度：对任意Vx，定义：2xxxx（1.4-4） 为矢量 Vx的长度。 两矢量夹角：假设两矢量夹角：假设 V、yx，定义： ( , )() ();0( , )180cosx yx yxyx y（1.4-5） ()x y为 V、yx两矢量的夹角。 是非o的矢量，且： ()0 x y（1.4-6） 则称 V、yx正交或垂直）。正交或垂直）。 两矢量的距离：假设两矢量的距离：假设 ，定义：V、yxyx yxd（1.4-7） 为 x 矢量到 y 矢量的距离。 假设 V、yx定理定理1.2 设设 iv） V、yx,

21、F 。那么： i） ii） iii） xx0 x时： 0 xx yxyxyxy（1.4-8） 证： xxxxx2)()(i） xii） 2xx 由1.4-3式可知 02x，所以 02xx)()(0yxxyxxyyiii） 22222yxyxyxxy 22xyyxyx)0, 0(0,0yxxyyxyx yxyx)0, 0, 0(yxyxyxyx或或iv） )()(2yxyxyx222yyxx由iii的结果得： 222222)(22yxyyxxyyxxyx yxyx证毕。 定理定理1.3 距离具有性质：距离具有性质： 0yxdxy 0yxdxyyxddzyzyxxdddi） ii） iii） （

22、时 ) 证： i） ii） iii） 假设 xy ，那么： 000)(0 xxxxyxd假设 xy ，令 xyz ，那么： 0zyxyxd（1.4-8式ii） )(1(xyyxyxdxyxyxyd)()() 1(由1.4-8式iv可得 ()()xyyzxzdddxyyzxyyzxz证毕。 Euclid 矢量空间虽然引入了标量积的运算，但标量积是以抽象的形式所定义。为了使抽象的标量积表现为能够具体操作形式，则必须引入标准正交基底。为此有如下 假设 i1，in 是 V 的一组基底，且满足： i） ii） 1;(1, )iini0;()iiijii （1.4-10） 则称 i1，in 是 V 中的一

23、组基底。 定理定理 1.4nm 1)线性无关。 V中任意一组非零正交矢量r1，rm( 证：假设 orrmm11，且 10m，那么 r1，rm 线性无关。分别用 r1，rm 点乘上式两边得： 011122111rorrrrrrmm 0111111kkmmkkkkkkkkkkrorrrrrrrrrr定义： 01111mmmmmmmmrorrrrrr 0()ijijr r ;0(1,)iiimr r 0111rr 0kkkrr0mmmrr 必然有： 01m因此r1，rm线性无关。 证毕。定理定理1.5设 r1，rn 是V的一组一般为非正交基底，那么一定有 V 中的一组标准正交基底 i1，in ，且：

24、/;(1)iiiiniaa 11();(1)iiiikkkinarr ii （1.4-11） 证：令 111/ rri 1|1i ，显然 。11222)(iirra令 111122rrrrrr r1、r2 线性无关，线性无关，a2 用用 r1 ，r2 线性表示的系数为：线性表示的系数为： 21212211;0rrr 02又 212121112121()0air ir ii ir ir i 2a 1i取 222aai ，显然 12i。依次可求至 1ii。 令 kikkiiirrrra11)(111)()(iiiiiiirirr式中i 1，i i-1都可由r 1，r i-1表示。 ，r i 线性表

25、示。且 r 1，r i 线性无关，而 r i 前面系 a i 可由可由r 1，01i，所以 iao。用i 1，i i-1点乘 a i表达式两边得： ia 1i1iaia， 取 iiiaia，显然 1ii 这一过程一直进行到i = n。最后确定了一组n个两两正交的单位矢量r 1，r n 。 证毕。一但Euclid矢量空间的标准正交基底确定为i 1，i n， 则可建立标准正交坐标系 ;io i。在 ;io i空间V中的矢量 x 可表示为： 坐标系中，矢量1 11 1221() ();,n nn nnxxxxxxVxx xiiiix y)()(1111nnnnxyxxyiiiyx11nnx yx y

26、;,Vx y Vyxyxyxyxyxyxdnnnnnnnnyxiiiiyxyxyxyx,;)()()()()()()(2211111111（1.4-12） 例9：知 ：123( 1 , 1 , 0 ) ;( 0 , 1 , 2 ) ;( 0 , 0 , 3 ) ;rrr123,rrr试证明 是三维矢量空间的一组基底。并由 确定一组标准正交基底。 123,rrr解： orrr332211111222333123123123(0)(02)(003)= (000023)= (0 0 0) , , , , , , , , , , 032000000321321321这是关于 123,行列式： 的齐次线

27、性代数方程，其系数3320011001因此 123,无非零解。 123,rrr线性无关。 是三维矢量空间的一组基底。 123,rrr取 )0 , 1 , 1 (0111222111rri)0 ,21,21(22211()11111111 1(0,1,2)(012 0)(,0)(0,1,2)(,0)(,2)2 22222222arr ii 222222221 1114(,2)(,)2 21118181818()( )222aaia 33311322()()1111(0,0,3)(003 0)(,0)2222114114( 003)(,)18181818181822 1(,)33 3 arr ii

28、r ii31|a3322 1()33 3,ia所以最后得一组标准正交基底为： )0 ,21,21(1i2114()181818, i)31,32,32(3i在数学分析的函数理论中， 所谓的函数是指不同的实数域中元素间的对应关系。如： 2)(xxf是将实数域 ),(中的每一个实数与另一个实数域 , 0 中的实数建立了对应的关系。前 一个实数域称为定义域，后 一个实数域称为值域。对二元函数， 其每一个变元都在一个实 数域内取值。因此其定义域是两个实数域。通常将二元函数的定义域形式上记为FF二元函数的值域仍然是实数域。为了与定义域表示形式一致记为 F 。这样以来二元函数可 以描述为一确定的法则 f

29、将FF中的元素二元数对对应到 F 中的一个元素一个实数）。或表示为： :;( , )fFFFf x yz对 n 元函数则有：1:;( ,)nnfFFFf xxz 对于矢量空间。不同的矢量空间中的元素间同样可以建立对应关系。矢量空间之间元素间的对应法则称矢量函数（ 自变量为矢量的矢量值函数 ）。 当然这种法则是各种各样的，但最 重要最基本的是所谓线性函数或称为线性映射）。这一节就给出矢量空间的线性映射的讨 论，并由此引入张量空间的概念。 设 V 1， ，V m ，W 是m1个矢量空间， V 1， ，V m的维数分别为： m1， ，mm 是一个 V 1， ，V m 中取值到W的一个法则，且 对每一

30、个 (1)iiV imv满足： 1mVVW111111111()()()iiiimiiimiiim,vvvv vvvvv vvvvv vv(1);imF （1.5-1） 多重线性映射：多重线性映射：那么 称为多m重线性映射。 首先来看两个 FFF的函数 ：:( , )fx yzyxyxf),(, ,x y zF：:( , )fx yz：( , )f x yxy, ,x y zF), 0()0 ,()0 ,()0 ,(),(),()()()()(),(yfxfyfxfyxfyxfyxyxyyxxyyxxf),(),(),(),(),(),(),(),()()()()()()(),(yxfyxfy

31、xfyxfyxfyxfyxfyxfyxyxyxxyyyxxyyxxfff 是二元线性函数， 当然不是线性函数。但可以看出 也具有某种线性叠加的性质，并 f且称 f所具有的这种线性叠加的性质为二重线性。对 f义。对 n 元函数： 容易验证满足1.5-1的定nnxxxxf11),(nnxxxxxf211),(称为n元线性函数； ff称为 n重线性函数。由 f和 f以看出 n元线性函数是实数加 还可法法则所确定的；而 n 重线性函数是实数的乘法法则所确定的。将 n 元线性函数和 n重线 性函数的概念应用到Euclid矢量空间上就得到了矢量 空间的线性映射不再称为函数和 多重线性映射的概念。而更一般意

32、义上的多重线性映射正是1.5-1式所定义的多重线性映射。 设V是三维Euclid空间，由1.5-1式可得 WVV的二重线性映射 满足： ),(),(),(),(),(),(),(212121212212212211vvvvvvvvvvvvvvvvvv11VvvV22vv并且 Ovoov),(),(21作为例子。图1-10给出了坐标系为 123; , ,o i i i的Euclid矢量空 间。设 是一个二重线性映射。且 将第一个矢量空间的 i 1，第二个矢量空间的，第二个矢量空间的 i 2 映射为映射为 （ i 1， i 2） ；将第一个矢量空间的i 1，第二个矢量i 3空间的映射为 （i 1，

33、i 3）；将第一个矢量空间的 i 2 ，第二个矢量空间的 i 2 的映 射为 （ i 2， i 2 ） 将第一个矢量空间的 i 2 ，第二个矢量空间的 i 3映射为 （ i 2， i 3 ）。那么第一个矢量空间的 x1 x2 面内的任意矢量面内的任意矢量v1和第二个矢量空间和第二个矢量空间x2 x3 面内 的 任意矢量 v2 被 映射为： 1211 112 222 223 311 122 223 312 222 223 311 122 211 123 312 222 212 223 311 121211 2313122212122323( ,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)( ,)

34、( , )( ,)( , )vvvvvvvvvvvvvvvvvvv vv vv vv vv viiiiiiiiiiiiiiiiiii ii ii ii i 1vo2vo11122223,vvvv不全为零。 令： 11 121211 2313122222122323;v vv vv vv v那么： 121212131322222323( ,)( ,)( , )( ,)( , ) v vi ii ii ii i这表明 ),(21vv可以看作是 12132223( ,),( , ),( ,),( , )i ii ii ii i的线性表示。或者说二重线性映射 将第一个矢量空间 x1 x2 平面内的矢量

35、 v1和第二个矢量空间x2 x3平面内的矢量 v2 映射到了W矢量空间的 （ v 1， v 2 ）。且（ v 1， v 2 ） 可以用W中的 12132223( , ),( , ),( , ),( , )i ii ii ii i线性表示。若另取第一个矢量空间x2 x3平面内的矢量 22vv，则可得另一个二重线映射 值： ),(),(),(),(),(322322223113211221iiiiiiiivv显然 将 21,vv21,vv和 映射到了W中的两个不同元素。同时这 两个W中的元素都能够用 12132223( , ),( , ),( , ),( , )i ii ii ii i线性表示。

36、但如果在第一个矢量空间x1 x2 平面内取一矢量 1v，在第 二个矢量空间x1 x2 平面内取一矢量 2v。容易验证 ),(21vv将不能用 12132223( , ),( , ),( , ),( , )i ii ii ii i线性表示。问题产生的原因在于当确定 12132223( , ),( , ),( , ),( , )i ii ii ii i时只考虑了第一个矢 量空间x1 x2 面内的矢量和第二个矢量空间x2 x3 矢量。 面内的 如果在两个矢量空间中取的矢量都是张开到矢量空间中取的矢量都是张开到矢量空间中最大维数 的矢量在 图1-10中最大维数为 3 ），这时将不会产生以上的情况 。就

37、是说两个矢量空间的矢量取为： 111 112 213 3111213221 122 223 3111213;,0;,0vvvvvvvvvvvvviiiviii此时有：),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(),(33332332133132232222122131132112111133231323221313211332231222221212211231231121221111211132322212131321211121iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiivvvvv

38、vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv即 ),(21vv可用： 111213212223313233( , );( ,);( , );( , );( ,);( , );( , );( ,);( , );i ii ii ii ii ii ii ii ii i线性表示。由于这9个W中的元素相互之间不能相互表示，且对任意 21,vv( 可以不是张开到最大维数的三维矢量）， 21,vv显然W是九维矢量空间。 都可由a线性表示。因此a是W的一组基底。 ),(21vv （a） 上面的例子给出了 WVV的二重线性映射 。假设 是张开到最大的二重线性映射，则称为张映射。张映射习惯上使用 表示。即： :VV

39、WVV对m重张映射有：:mmmVVWVVP （1.5-4） （1.5-3） 带有张映射的线性空间 mPVV称为 m 阶张量空间。假设V是三维Euclid空间，容易推知 是 3m 维空间。mPVVm 阶张量空间的元素称为m 阶张量。 若V是三维Euclid矢量空间，前面例子中通过张映射 了二阶张量空间 给出VVP2。且a式中的 用 由1.5-5式得 表示，并的基底为： VVP2332313322212312111,iiiiiiiiiiiiiiiiii（1.5-6） 在张量分析中大量涉及诸多乘积数量的乘积、张映射 的乘积项的求和。为表示简明，采用Einstein求和约定： 在每一个乘积项中下标重复

40、一次且仅重复一次表示从在每一个乘积项中下标重复一次且仅重复一次表示从1到到 n对三维对三维Euclid空间空间n=3求和。对于二阶张量空间，由求和。对于二阶张量空间，由于其基底是1.5-6所示的九个量。因此二阶张量空间中的元素一二阶张量都可由1.5-6的基底线性表示。假设二阶张量用大写粗体字母表示有时二阶张量也用小写粗体表示。如习惯上应力张量、应变张量用希腊字母的粗体 、 表示）。那么：表示）。那么： 11 1112 1213 1321 2122 2223 2331 3132 3233 33;( ,1,2,3)ij ijijAAAAAAAAAAAFi jAiiiiiiiiiiiiiiiiiiii设V是具有坐标系 123; , ,o i i i的Euclid矢量空间。 nPVVW，W中的加法和数乘运算定义为： 1111111()nnnnnnniiiiiiiiiiiiiiABABABiiiiii111,;,;( ,1,2,3)nniiiinWABFiiA B（1.