第一章函数极限和连续习题课ppt课件

1、)(xfy yxoD一、一、 函数函数1. 函数的概念函数的概念定义定义:Df :R)(DfDxxfyyDf, )()( 定义域定义域 值域值域图形图形:DxxfyyxC, )(),( 一般为曲线一般为曲线 )设设,RD函数为特殊的映射函数为特殊的映射:其中其中有界性有界性 , 单调性单调性 , 奇偶性奇偶性 , 周期性周期性3. 反函数反函数)(:DfDf设函数设函数为单射为单射, 反函数为其逆映射反函数为其逆映射DDff)(:14. 复合函数复合函数给定函数链给定函数链)(:11DfDf1)(:DDgDg则复合函数为则复合函数为 )(:DgfDgf5. 初等函数初等函数有限个常数及基本初等

2、函数有限个常数及基本初等函数经有限次四则运算与复经有限次四则运算与复复合而成的一个表达式的函数复合而成的一个表达式的函数.31,11( ), ( ).,1xxf xf f xxx 例例 设设函函数数求求)(xff1)(,1)(3xfxf1)(, )(xfxf0 x94 ,031, 01,1xxxxxx 1) 13(3x解解:12()( )11ff xxx即即12( )()2,0,1( ).xf xfxxxf xx 例例 设设其其中中，求求解：利用函数表示与变量字母的无关的特性解：利用函数表示与变量字母的无关的特性 .11,1xtxxt 令令即即代代入入方方程程得得12()( ),11ff tt

3、t 111,11uxxuu 令令即即代代入入上上式式得得112(1)()(),1uuffuuu 11( )1.1f xxxx 联联立立解解得得：112(1)()()1xxffxxx 即即1. 1. 下列各组函数是否相同下列各组函数是否相同 ? ? 为什么为什么? ? 2(1)( )cos(2arccos )( )21, 1,1f xxxxx 与与 2,1(2)( )( )(),2xxaf xxaxaxaxa 与与0,0(3)( )( ) ( ),0 xf xxff xxx 与与一样一样一样一样一样一样1(1)sin1yx (2)maxsin,cos,0,2yxxx 2(3)arcsin,2.y

4、uux 不是不是是是不是不是cos,04(2)sin,42xxyxx 提提示示：331,0(4)( )1,0 xxf xxx 0, 10, 1)()2(xxxf1,41,2)()3(xxxf2,0 xxxxyo4211, 11, 13xx1) 1(32xx61,Rxxoxy111x,0(1)( ),0 xxf xxx 2xxy1以上各函数都是初等函数以上各函数都是初等函数 . .24.( ), ( )1,( )0,( )xf xefxxxx 设设且且求求及其定义域及其定义域 . .3,85.( )(5). (5),8xxf xfff xx 已已知知，求求2216.(sin)csccos,( )

5、.sinfxxxf xx 设设求求2( )1xex ( )ln(1) ,(,0 xxx 22( )4( ),( ( ).xxf xefxe 解解：3,85.( )(5). (5),8xxf xfff xx 已已知知，求求(5) (10)(103)(7) (12)ff fffff 解解：(123)(9)6ff 2216.(sin)csccos,( ).sinfxxxf xx 设设求求2211(sin)sin1sinsinfxxxx 解解：21(sin)3sinxx2( )3.f xx 1. 函数连续的等价形式函数连续的等价形式000lim( )()lim0 xxxf xf xy )()(,000

6、 xfxxfyxxx000()()()f xf xf x 00,0,xx 当当时时0( )()f xf x 有有2. 函数间断点函数间断点第一类间断点第一类间断点第二类间断点第二类间断点可去间断点可去间断点跳跃间断点跳跃间断点无穷间断点无穷间断点振荡间断点振荡间断点有界定理；最值定理；零点定理；介值定理有界定理；最值定理；零点定理；介值定理 . .22(1cos ),03( )1,00, .ln(),0axxxf xxxa bbxx 例例 设设函函数数在在连连续续，求求20(1cos )(0 )limxaxfx 提提示示：2a211cos2xx 20(0 )lim ln()lnxfbxb 1l

7、n .2ab4.( )0,()(1)xebf xxxax 设设函函数数有有无无穷穷间间断断点点0 x 解解：为为无无穷穷间间断断点点，故故0lim()(1)xxebxax 0()(1)lim01xxxaxaebb 0,1ab 11lim.(1)xxebxx x 为为可可去去间间断断点点，存存在在1lim()0 xxeb ，1limxxbee 1, .xa b 有有可可去去间间断断点点求求5.( )(,),()( )( ).( )0( ).f xx yf xyf xf yf xxf x 设设的的定定义义域域为为，且且有有若若在在点点连连续续，则则在在其其定定义义域域内内连连续续提示提示: :00

8、lim()lim ( )()xxf xxf xfx ( )(0)f xf (0)f x ( )f x lim( ),0,0,xf xAXxX 证证明明：令令当当时时，6.( )lim( )( )xf xRf xf x 若若在在 上上连连续续，且且存存在在，则则必必有有界界。)(xfXXA1Myox( ).Af xA 有有1( ),0f xCX XM 因因为为据据有有界界性性定定理理，1( ),.f xMxXX 使使 1max,MAAM取取，( ),(,).f xMx 01.xx极极限限定定义义的的等等价价形形式式 考考虑虑情情况况00lim( )lim ( )0 xxxxf xAf xA (

9、)f xA 为为无无穷穷小小 00(),nnnnxxxxx lim()nnf xA 有有 00()()f xf xA 2. 极限存在准则及极限运算法则极限存在准则及极限运算法则无穷小的性质无穷小的性质 ;无穷小的比较无穷小的比较 ;常用等价无穷小常用等价无穷小: 4. 两个重要极限两个重要极限 6. 判断极限不存在的方法判断极限不存在的方法 21sin;tan;1cos;2arctan; arcsin;ln(1) ;1;1ln ; (1)1;xxxxxxxxxxxxxxexaxaxx 5. 求极限的基本方法求极限的基本方法 (1) lim(sin1sin)xxx 211(2)limsinxxx

10、 cot01(3)lim1xxxx (1) sin1sinxx 提提示示：112sincos22xxxx 112sincos022(1)xxxx无穷小有界1xt 令令0(2)limsin(1)tt tt 0(2)limsintt tt 0(2)limtt tt 2. 211(2)limsinxxx cos2sin10lim()xxxxxe 2211ln(1) xxxx 2e则有)()(1lim0 xvxxxu提示提示: 假假设设,0)(lim0 xuxx,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxx1 cotcot0012(3)limlim(1)

11、11xxxxxxxx 337,lim( 1)0.xa bxa xb 例例 确确定定常常数数，使使331lim10 xbxaxx 解解：原原式式10,1,aa 故故所所以以由由此此33lim( 1)xbxx 3323231lim0(1)1xxxxx 331xyxy331lim10.xbaxx 328.0 xxxx确确定定当当时时，为为 的的几几阶阶无无穷穷小小. .xk解解：设设其其为为 的的 阶阶无无穷穷小小3223300limlimkkxxxxxxxx 因因为为3122330lim(1)kxxx 16k320lim0kxxxCx (1)sin1.( )(1)(1)xxf xx xx 求求的的

12、间间断断点点并并判判断断其其类类型型。1(1)sinlim(1)(1)xxxx xx 解解：1sin1.2 x = 1 为第一类可去间断点为第一类可去间断点1lim( ).xf x x = 1 为第二类无穷间断点为第二类无穷间断点00lim( )1, lim( )1.xxf xf x x = 0 为第一类跳跃间断点为第一类跳跃间断点1402sin2.lim.1xxxexxe 计计算算解解: :1402sinlim1xxxexxe 34402sinlim1xxxxeexxe 11402sinlim1xxxexxe 1402sinlim1xxxexxe 1原式原式 = 1 = 1 机动 目录 上页

13、 下页 返回 完毕 13.lim(123 ) .xxxx 计计算算1( )(123 )xxxf x 解解：令令 112333 ( )( )1xxx 13( )3 3xf x利用夹逼准则可知利用夹逼准则可知lim( )3.xf x tan241.limtan.xxx 求求tan(2()424limtan()44xxx 解解：原原式式1tan2()441tan()4lim1tan()4xxxx 4ux 令令 tan1tan2tan10tan1tanlim1tanuuuuuuu 1221.ee 212202.lim12.xxxx 求求21220lim 1121xxxx 解解：原原式式 2222211

14、 21221 210lim 1121xxxxxxxx 2.e 20ln()ln()2ln3.lim.xaxaxax 求求222022ln(1)lim()xxaxaa 21.a 22220lnlimxaxax 解解：原原式式0lncos4.lim(0).lncosxaxabbx 求求02lncoslim2lncosxaxbx 解解：原原式式22.ab 220ln(1sin)limln(1sin)xaxbx 5.lim ln(1)ln(1),(1).xxbaax求求1,lim, lim0.xxxxaaa 解解：lim ln(1)ln(1)xxxbaax 原原式式limln ln(1)ln(1)ln

15、(1)xxbbxaaxx lim ln0 xba xx ln .ba 22216.limln.1xxxxxx求求22222limln 1(1)(11)xxxxxx解解：原原式式22222lim(1)(11)xxxxxx 1.2 117.lim,0.1xxRx 求求ln11lim1xxex 解解：原原式式1lnlim1xxx 1ln1(1)lim1xxx . 8.lim,0,1.xaxaxaaaxa 求求limxxxaxaxaaaxaxa解解：原原式式ln11limxxx aaxaxaeaaaxaxa lnln(1)1limlnlnxxaaxaxaxeaaaxxaxaaa (1ln ).aaa1

16、09.lim.3xxxxxabc求求103lim 13xxxxxabc 解解：原原式式333303lim 13xxxxxxabcxxxxabcxabc 1(lnlnln )3abce 3.abc 000010.lim( ), lim( ),( )max ( ), ( ),( )min ( ), ( ),lim( )lim( ).xxxxxxxxf xAg xBM xf xg xm xf xg xM xm x设设记记求求与与( )( )( )( ),M xm xf xg x解解：由由 及及0( )( )( )( )M xm xf xg x , ,解解得得1( )( )( )( )( ) ,2M

17、xf xg xf xg x1( )( )( )( )( ) .2m xf xg xf xg x 001lim( )lim( )( )( )( )2xxxxM xf xg xf xg x 1()2ABABmax ,.A B 0lim( )min ,.xxm xA B 同同理理 30sin11.lim.xxxx 已已知知存存在在，求求其其极极限限30sinlimxxxAx 解解：设设30(cos)2cos(sin)22 22limxxx xxxxx 32001cossin222lim2lim82xxxxxxx 11.84A1.6A22422252712.lim arctanarctan.12xxx

18、xxx 求求222233.(1)(2)(25)(27)5xxxx 原原式式22222527arctanarctan12xxxx 解解：由由22222527tan arctanarctan12xxxx 2222222225271225 27112xxxxxxxx 0( )11sin13.lim,( ).(1)kxxf xxAckf xcxx e 已已知知求求 及及 使使0( )11sinlim(1)xxf xxAx e 解解：20( )11sinlimxf xxx 20( )11( ),lim( )0.sinxf xAxxxx 其其中中224( )2( )( )sinf xAx xAxxx 22

19、4( )2( )sin( )sinf xAx xxAxxx2 ,3.cA k1arccos14.lim.1xxx 求求arccos,cosxy xy解解：令令lim1cosyyy 原原式式1coslimsinyyyyy 2limsin()2yyy 2.2 113115.0,0,(3),lim.4nnnnnaaxxxxx 设设= =求求131()4nnnnnaxxxxx 解解：443.nnnnax x xax1411(3)(3)1.44nnnxaaxxa 431lim,(3).4nnaxAAAAaA 设设则则111(1).mnnmnaxmxamx 一一般般地地，= =11116.2,2,lim.

20、nnnnnxxxxx 设设数数列列满满足足求求111111222.1122nnnnnxxxxx 解解：31212123.0,0.nnnxxxxx 显显然然，易易得得设设212123212121221212nnnnnnxxxxxx212121210.(12)(12)nnnnxxxx 422220,0.nnxxxx 同同理理 设设222222222221212nnnnnnxxxxxx 2222220.(12)(12)nnnnxxxx 212lim,lim,nnnnxAxB 设设212221112,2,nnnnxxxx 取取极极限限得得112,2,ABBA 12.AB lim12.nnx故故 112

21、17.0,(1,2, ),lim() .nnnninnainaaa 设设求求12max,naa aa 解解：记记则则1112().nnnnnnnaaaaa 11112()().nnnnnnnnaaanaan 1lim,nnana 112lim().nnnnnnaaaa 118lim1.nnn 例例证证明明，1limln0.nnn 证证明明：即即证证112341lnlnlnlnln.123nnnnn 11limln0,0,ln.nnnN nNnn 时时，112341lnlnlnlnln123NnnnN 121lnln1NnnNn 111ln()ln2.NnNNnnn1limln20,0,nNMn

22、Mn 时时，11ln2.ln2 .Nnnn1max,ln2 .NN MnNnn 取取当当时时，11limln0.lim1.nnnnnn 212219.( )lim,1nnnxaxbxf xa bx 设设，确确定定之之值值，11lim( )lim( ).xxf xf x 使使和和存存在在21221( )lim1nnnxaxbxxf xx 解解：当当时时, ,2.axbx 21221( )lim1nnnxaxbxxf xx 当当时时, ,212121lim1nnnnaxbxxx 1.x 211( )1111xxf xaxbxxxx 即即 ( 10)1,f ( 10),fab (10),fab(10)1.f 1,1abab 故故 0,1.ab 222020.lim,( ,0,).()xxxxxaba babab 求求2220lim()xxxxxabab 解解：222222011lim(1)(1)xxxxxa