随机信号chap5

1、随机信号分析第5章 随机信号与线性系统第第5章章 随机信号与线性系统随机信号与线性系统 载载有各种信息的信号本质上都是有各种信息的信号本质上都是随机信号随机信号，信息的获取、，信息的获取、变换、传输与处理要应用各种系统，信息与信号的处理过程变换、传输与处理要应用各种系统，信息与信号的处理过程就是它们通过相应系统的过程。就是它们通过相应系统的过程。 本章讨论：本章讨论： 1）随机信号通过系统的一些基本结论；）随机信号通过系统的一些基本结论； 2）白噪声通过系统）白噪声通过系统低通、带通白噪声，等效噪声带低通、带通白噪声，等效噪声带宽；宽； 3）信号功率谱的一些特性：信号矩形带宽；）信号功率谱的一

2、些特性：信号矩形带宽； 4）噪声中处理信号的几种基本方法；）噪声中处理信号的几种基本方法； 5）平稳序列通过离散系统的基本分析方法。）平稳序列通过离散系统的基本分析方法。第5章 随机信号与线性系统5.1 线性时不变系统 5.2 平稳白噪声通过LTI系统 5.3 信号功率谱与带宽 5.4 噪声中的信号处理 5.5 平稳序列通过离散LTI系统 5.1 线性时不变系统线性时不变系统 ( )y t( )x t系统是将输入信号系统是将输入信号 变换为输出信号变换为输出信号 的一种映射规则。的一种映射规则。线性时不变（线性时不变（LTI）系统可以用算子）系统可以用算子 表示为：表示为：( )( )y tL

3、 x t L它满足：它满足：1. 线性线性1 12 21122( )( )( )( )L a x ta x taL x ta L x t2. 时不变性时不变性()()L x ty t3. 稳定系统满足：稳定系统满足：( )h t dt 5.1 线性时不变系统线性时不变系统i( ,)( ,)iiY tL X t( )X t5.1.1 系统的输出过程系统的输出过程 当输入信号是随机过程时，系统对每一个样本函数按规则进当输入信号是随机过程时，系统对每一个样本函数按规则进行映射，即：行映射，即： 由于由于 在（在（ 对应的）整个样本空间取值，使得对应的）整个样本空间取值，使得 是随机函数，因此，系统构

4、造出另一个随机过程是随机函数，因此，系统构造出另一个随机过程( ,)iY t( ,)( ,)iiY tL X t称它为输出过程。简记为：称它为输出过程。简记为：( )( )Y tL X t结论：结论：随机信号经过系统后，输出仍是一个随机信号。随机信号经过系统后，输出仍是一个随机信号。5.1 线性时不变系统线性时不变系统5.1.1 系统的输出过程系统的输出过程 对于稳定的对于稳定的LTI系统，如果输入信号的均方值系统，如果输入信号的均方值 存在，那么系统的输出过程可以表示为：存在，那么系统的输出过程可以表示为：2()E X t5.1 线性时不变系统线性时不变系统5.1.1 系统的输出过程系统的输

5、出过程5.1 线性时不变系统线性时不变系统( )()()E Y tEXtu h u du5.1.2 输出过程的均值和相关函数输出过程的均值和相关函数证明：证明：()()EXtuh u du( )( )Xmth t5.1 线性时不变系统线性时不变系统5.1 线性时不变系统线性时不变系统( )() ( )E Y tEX tu h u du()( )E X tuh u du证明：（证明：（1）( )Xm h u du( 0)Xm H j0( 0)( )juH jh u edu ( )h u du其中，其中，5.1 线性时不变系统线性时不变系统1212( ,)( )( )YXRt tE Y t X t

6、12()() ( )EX tu X th u du12()()( )E X tu X th u du（2）12() ( )XRtut h u du12()( )XRttu h u du12tt( )() ( )( )( )YXXXRRu h u duRh令令12() ( )()EX tu h u duX t5.1 线性时不变系统线性时不变系统1212(3) ( ,)( )()XYRt tE X t Y t12( )() ( )EX tX tu h u du12()( )XRttu h u du12()( )XRttuh u du12,tt令令( )() ()( )()XYXXRRv hv dv

7、Rhvu 5.1 线性时不变系统线性时不变系统1212(4) ( ,)( ) ( )YRt tE Y t Y t12()()( ) ( )E X tu X tvh u h v dudv () ( ) ( )XRvu h u h v dudv () ( ) ( )XRvu h u du h v dv ()() ( )XRvhv h v dv12() ( )() ( )EX tu h u duX tv h v dv( )( ) * ()XRhh5.1 线性时不变系统线性时不变系统5.1 线性时不变系统线性时不变系统5.1.2 输出过程的均值和相关函数输出过程的均值和相关函数5.1 线性时不变系统5

8、.1 线性时不变系统线性时不变系统 ( )( )bth teu t2| | ( )aXXRe解：解：2222( )XXaSa1()H jbj2 ( )( )()YXSSH j2222221Xaab2222222211Xabaab2| | |22211 ( )abXYaReebaab(2) ( 0)0YXmm Hj22(0)YYYRm(0)YR22()22()( ; )2Xb a b yYXb abfy te0 ( )0( , )0.5YP Y tfy t dy(3) 0Ym 2| | |22211( )abXYaReebaab2()Xb ab5.1 线性时不变系统11()( )( )1tRCH

9、jh teu tjRCRC0( )cos(2)0XmE X tE af t 解：解：200(, )cos 2()cos(2)XR tta Ef tf t20cos(2)2af 20( )cos(2),21()1XaRfHjjRC5.1 线性时不变系统线性时不变系统5.1 线性时不变系统线性时不变系统5.2 平稳白噪声通过LTI系统5.2.1 白噪声通过白噪声通过LTI系统系统5.2 5.2 平稳白噪声通过平稳白噪声通过LTILTI系统系统5.2.1 白噪声通过白噪声通过LTI系统系统例：已知系统输入为白噪声过程X(t)，其自相关函数 系统为简单的RC积分电路，(1) 求输出电压Y(t)的自相关

10、函数与平均功率；(2) 当N04106W/Hz时，确定系统的最小时间常数T=RC，使输出均方差不超过50mV。0( )( )2XNR -500502345678910-500500.20.30.40.50.60.70.80.91-500502345678910输入功率谱输入功率谱系统功率传输函数系统功率传输函数输出功率谱输出功率谱 YS XS图图 RC积分电路的功率传输函数及输入输出功率谱积分电路的功率传输函数及输入输出功率谱 0002XNR 2222H 004YNR平均功率平均功率5.2.1 白噪声通过白噪声通过LTI系统系统 由白噪声通过未知系统的输出由白噪声通过未知系统的输出 来求解来求

11、解 的问题称为的问题称为系统辨识系统辨识。通常由。通常由 由入手，求出由入手，求出 ，但这种解具有多重，但这种解具有多重性。例如：性。例如：( )Y t( )H j()H j( )YS22111( )YSaajaj由此，可以认为由此，可以认为1()H jaj1()H jaj或或相应地，相应地，( )( )ath teu t或或( )()ath te ut 如果限定系统是因果的如果限定系统是因果的,则可以认定系统为则可以认定系统为( )( )ath teu t5.2 平稳白噪声通过平稳白噪声通过LTI系统系统例：未知系统冲激响应的估值方法 理想白噪声过程X(t)，其自相关函数通过一个冲激响应为h

12、(t) 的线性系统，求系统响应与互相关函数的关系。0( )( )2XNR 解：解：5.2 5.2 平稳白噪声通过平稳白噪声通过LTILTI系统系统由此构建系统的冲激响应由此构建系统的冲激响应h(t)的测量系统如下：的测量系统如下： X(t)测量系统h(t)理想可变延迟线 LPF( )YXR( )Y t()X t5.2 5.2 平稳白噪声通过平稳白噪声通过LTILTI系统系统5.2.2 低通与带通白噪声低通与带通白噪声1. 低低通白噪声通白噪声5.2 5.2 平稳白噪声通过平稳白噪声通过LTILTI系统系统5.2 5.2 平稳白噪声通过平稳白噪声通过LTILTI系统系统00sinsin( )22

13、YNWN WWRW( )( )( )(0)(0)YYYYYCRCR00sin( )cYWddW011( )222WYYWNPSdd 00(0)2YN WRN BsinWW01222NWsinxdxx124WB5.2 5.2 平稳白噪声通过平稳白噪声通过LTILTI系统系统2. 带通白噪声带通白噪声5.2 5.2 平稳白噪声通过平稳白噪声通过LTILTI系统系统5.2 5.2 平稳白噪声通过平稳白噪声通过LTILTI系统系统0000sin/2sin/2( )coscos2/2YNWN WWRW( )( )( )(0)(0)YYYYYCRCR0sin/ 2/ 2cWdW00011( )22222Y

14、YNNWPSdWN B 0sin/ 2cos/ 2WW sinxdxx12WB5.2 5.2 平稳白噪声通过平稳白噪声通过LTILTI系统系统5.2 5.2 平稳平稳白噪声通过白噪声通过LTILTI系统系统( )X t X n解：解： 以以1/2B间隔采样后得到的序列间隔采样后得到的序列 的均值为：的均值为： 因此，因此，Xn是平稳白噪声序列，并且是高斯的，因而也是独是平稳白噪声序列，并且是高斯的，因而也是独立序列。它的均值为立序列。它的均值为0，方差为，方差为 。0N B5.2 5.2 平稳平稳白噪声通过白噪声通过LTILTI系统系统 X n的的5.2 5.2 平稳平稳白噪声通过白噪声通过L

15、TILTI系统系统5.2.3 系统的等效噪声带宽 对一般的系统对一般的系统h(t)，常常需要简便快速地计算白噪声通过它，常常需要简便快速地计算白噪声通过它之后的输出功率之后的输出功率 。YP5.2 5.2 平稳平稳白噪声通过白噪声通过LTILTI系统系统2001( )()22YYNPSdH jd 5.2.3 系统的等效噪声带宽5.2 5.2 平稳平稳白噪声通过白噪声通过LTILTI系统系统解解:白噪声通过高斯型带通系统)(H0K00222002()|( )|exp2HK5.2平稳白噪声通过LTI系统输出功率谱：22020020)(exp)()(KNHNFY相关函数：04200cos2)(22e

16、KNRY输出功率：2) 0(2002KNRYY0040cos22de相关时间：04cos)(22erY相关系数：-5-4-3-2-1012345-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.3高斯型带通随机过程的自相关函数 5.2 5.2 平稳平稳白噪声通过白噪声通过LTILTI系统系统5.3 5.3 信号功率谱与带宽信号功率谱与带宽5.3.1 功率谱的物理含义功率谱的物理含义构造如下的理想窄带系统构造如下的理想窄带系统在输入为在输入为 时，该系统的输出的功率谱为：时，该系统的输出的功率谱为：( )X t00001, (/2,/2)()0, (/2,/2)H j0000( ), (/2,/

17、2)( )0, (/2,/2)XYSS5.3 5.3 信号功率谱与带宽信号功率谱与带宽5.3.1 功率谱的物理含义功率谱的物理含义假定假定 足够小，则输出功率为足够小，则输出功率为00/ 220/ 2()1( )()022XXSE YtSd 结论：结论：2( )0E Yt ，所以，所以5.3 5.3 信号功率谱与带宽信号功率谱与带宽1212( ,)( )()UVRt tE U t V t1122( )()ELX tLX t( )X t解解: 若若 和和 是联合广义平稳的，则是联合广义平稳的，则 和和 也也是联合广义是联合广义平稳的，则有：平稳的，则有：( )Y t( )U t( )V t222

18、( )( )V tL Y t 结论结论：（1 1）正交或无关的平稳信号分别经过）正交或无关的平稳信号分别经过LTILTI系统后仍是正交或无关的；（系统后仍是正交或无关的；（2 2）平稳信号）平稳信号的不同频带内的分量部是彼此正交且无关的。的不同频带内的分量部是彼此正交且无关的。5.3 5.3 信号功率谱与带宽信号功率谱与带宽5.3.2 5.3.2 随机信号的带宽随机信号的带宽1.（矩形）等效带宽（矩形）等效带宽5.3 5.3 信号功率谱与带宽信号功率谱与带宽2. 均方根带宽均方根带宽5.3.2 5.3.2 随机信号的带宽随机信号的带宽5.3 5.3 信号功率谱与带宽信号功率谱与带宽解解:5.4

19、 5.4 噪声中的信号处理噪声中的信号处理n平滑n维纳滤波器n匹配滤波器信号平滑实例5.4 噪声中的信号处理噪声中的信号处理形成随机信号形成随机信号5.4.1 5.4.1 平滑平滑这一这一当接收到当接收到 后，希望从中尽量恢复出后，希望从中尽量恢复出 。为此。为此，如下图所示：如下图所示：5.4 噪声中的信号处理噪声中的信号处理 ( )X t是非平稳的，它通过系统后的输出为：是非平稳的，它通过系统后的输出为：式中：式中：是确定的，是确定的，是随机的。是随机的。5.4 噪声中的信号处理噪声中的信号处理5.4.1 5.4.1 平滑平滑5.4 噪声中的信号处理噪声中的信号处理( )s t( )N t

20、5.4.1 平滑平滑 常见信号常见信号 的频谱与噪声的频谱与噪声 的功率谱如下图所示。的功率谱如下图所示。在信号尽量完整通过的情况下，最大限度地滤除噪声。在信号尽量完整通过的情况下，最大限度地滤除噪声。5.4 噪声中的信号处理噪声中的信号处理1( )( )2tTtTY tX t dtT5.4.1 平滑平滑实际应用中实施平滑的一种简单方法是采用积分器，使实际应用中实施平滑的一种简单方法是采用积分器，使其冲激响应与频率响应分别如图所示：其冲激响应与频率响应分别如图所示： 显然，显然，T 值很小时，值很小时， 相对于相对于 的畸变较小，但输出中的畸变较小，但输出中的噪声很多，要根据信号频谱的具体情况

21、合适地选择的噪声很多，要根据信号频谱的具体情况合适地选择T，在使信号，在使信号充分通过的前提下应该尽量使充分通过的前提下应该尽量使 T 值取得大一些。值取得大一些。)(tys)(ts5.4 5.4 噪声中的信号处理噪声中的信号处理解解:5.4 噪声中的信号处理噪声中的信号处理0(0)2hNN rP 5.4 噪声中的信号处理噪声中的信号处理Wiener Nobert 实现维纳滤波的要求 1 输入过程是广义平稳的 2 输入过程的统计特性是已知的 5.4 噪声中的信号处理噪声中的信号处理 当噪声是一般的（非白色的），而有用信号是随机的平稳信当噪声是一般的（非白色的），而有用信号是随机的平稳信号号 时

22、，其自相关函数与功率谱分别时，其自相关函数与功率谱分别 为为 与与 ，因此，因此希望设计滤波器使得其输出希望设计滤波器使得其输出 在均方意义上接近在均方意义上接近 ,即即 达到最小。达到最小。解为解为 的最佳滤波器称为的最佳滤波器称为维纳滤波器维纳滤波器。5.4.2 维纳滤波器维纳滤波器)(SR5.4 噪声中的信号处理噪声中的信号处理5.4.2 维纳滤波器维纳滤波器 可见：维纳滤波器是对准信号的滤波器，通带内可见：维纳滤波器是对准信号的滤波器，通带内 随信随信号按上式波动，以达到最佳效果。号按上式波动，以达到最佳效果。)(jH5.4 噪声中的信号处理噪声中的信号处理)()()(tNtxtX)(

23、tx5.4.3 匹配滤波器匹配滤波器 匹配滤波器匹配滤波器是一种用于检测噪声中某个确定信号是否存在的最佳滤波方是一种用于检测噪声中某个确定信号是否存在的最佳滤波方法，它是通信、雷达等应用中的重要技术。法，它是通信、雷达等应用中的重要技术。以便于检测。一般并不在乎以便于检测。一般并不在乎 中的信号部分是否发生畸变，而只关心在中的信号部分是否发生畸变，而只关心在某某 时刻是否可由时刻是否可由 有效地判定有效地判定 的存在。的存在。因此，设计因此，设计LTI滤波器滤波器 ，使，使 有关的典型问题是：有一个已知有限长的确定信号有关的典型问题是：有一个已知有限长的确定信号 ，希望从接收信，希望从接收信号号 中检测它是否出现。这里中检测它是否出现。这里 ，其中，其中 是白噪声，是白噪声， 是未知信号。当是未知信号。当 出现时，出现时， 。5.4 5.4 噪声中的信号处理噪声中的信号处理5.4.3 匹配滤波器匹配滤波器 为此可将目标设定为：使为此可将目标设定为：使 中的信号与噪声之比达到中的信号与噪声之比达到最大，这样在最大，这样在 大于某个合适的门限时，就有把握认为大于某个合适的门限时，就有把握认为 中包含有中包含有 。这一处理过程如下图所示，。这一处