函数的导数与微分

1、1第三章第三章 函数的导数与微分函数的导数与微分3.1 导数的概念3.2 函数的和、差、积、商的求导法则3.3 反函数和复合函数的求导法则3.4 高阶导数3.5 隐函数的导数3.6 函数的微分( )dyfx dx 第三章第三章 导数与微分导数与微分引言引言：研究变量与变量之间的依赖关系即研究函数关系；研究变量的变化趋势即研究函数极限；除此之外, 还要研究各变量之间相对变化快慢的程度; 如质点运动速度、城市人口增长的速度、国民经济发展的速度等等, 这就需要用导数来研究. 本章将介绍导数和微分的概念以及它们的计算方法. 33.1 导数的概念导数的概念 匀速直线运动的(瞬时)速度：svt 0t0 t

2、t tP00()()s tts tsvtt 即路程的改变量与时间的改变量之商. 设作变速直线运动的质点P (运动轨迹为 s = s(t) 从 t0时刻到t0+t时刻, 动点P在t 这段时间内经过的路程为 s = s(t0+t)- -s (t0) ，平均速度为 1.变速直线运动的瞬时速度一一. .引例引例当t变化, v也随之而变; 当t时, 可看作是质点在时刻t0 的“瞬时速度”的近似值. 从而对平均速度取极限, 便有v0000()( )limlimtts tts tstt 如果极限 存在, 则称此极限值为动点在时刻t0的瞬时速度, 即0000()()limlimtts tts tstt 000

3、00()()()limlimtts tts tsv ttt 2.平面曲线的切线斜率 当某一质点沿曲线运动时, 不仅在速度上有变化, 而且在运动方向上也有变化. 欲知做曲线运动的质点在某点的运动方向,就是要求曲线上该点的切线方程,而求切线方程的关键是求出切线的斜率.yox 设曲线L的方程为y=(x), M0(x0 ,y0)为L L上一定点, 动点M(x0+x,y0+y), 作割线 M0M, 与x轴夹角为, 则割线M0M的斜率为L：y=(x)0M0 x0 xx MT000()()tanM Mf xxf xykxx 0y0yy xyL 沿曲线当动点M 趋向定点 M0时, 有x0 此时割线 M0M 的

4、极限位置就是曲线 L 过定点 M0 的切线 M0T;1M60M T0tanlim tanxk 那么割线斜率的极限就是切线 的斜率, 即0000()()limlimxxf xxf xyxx 0000()()limlimxxf xxf xykxx 如果极限 存在, 此极限值便是曲线在点x0处切线的斜率,即 0000()()limlimxxf xxf xyxx 存在. 则称此极限值为函数(x) 在点 x0 处的导数(或微商). 也称(x)在点 x0处可导. 记作 以上引例一个是物理学中的瞬时速度, 一个是几何学中的切线斜率. 仅从数量关系来看, 二者的数学结构完全相同函数改变量与自变量改变量之比的极

5、限, 简称差商的极限.定义定义1 1. 设函数 y =(x)在点 x0 的某个邻域内有定义, 设自变量在点 x0 处有改变量x 0 时 (x0+x也在该邻域内) , 函数有相应改变量y = f(x0+x)- -f(x0), 若极限 0000()()limlimxxfxxfxyxx 0000(),.xxxxxxdfdyfxydxdx 二.导数概念导数概念8若此极限不存在, 则称(x)在点 x0 处不可导. 若令 则0 xxx 00 xxx 0000( )()()limxxf xf xfxxx , 从而注注1:1: 反映的是函数在点 x0 处的变化速度, 也称为函数在 x0 处的变化率. 的值由

6、x0 唯一确定(极限的唯一性).00()()f xxf xyxx 00()limxyfxx 0()fx 反映的是自变量x从x0 改变到x0+x时函数的平均变化速度, 称为函数的平均变化率.而导数注注2：导数 (三统一)可变化为0000()()()limxf xxf xfxx 0000000()()()()()limlimhxxfxhfxfxfxfxhxx 若 则0(),f x 存在0000()()lim()xf xxf xfxx 00000()()()()lim2hf xhf xf xhf xh 000()()lim2hf xhf xhh 0()fx 000()()limhf xf xhh 0

7、()fx定义2. 如果函数(x)在某区间(a, b)内每一点都可导, 则称(x)在该区间 (a, b)内可导.例例1 1.求函数 在x = 1处的导数 .(分几个步骤)2( )2f xx(1)f 221,2(1)22()4xxyxxx 解 在处取得一个增量相应地 24yxx 00(1)limlim (24)4xxyfxx 11设函数(x)在区间(a, b)内可导, 由注1知 , 都有一个导数值 与之对应, 从而得到一个定义在(a, b)内的新函数 .将它称为(x)的导函数;简称导数, 记为 ,xa b ( )fx ( )fx (),.dfdyfxydxdx 结论: 例1中的 可先求 再将其中的

8、 x 代为x0=1即可.由引例知(1)f ( ),fx ( )( );( ).s tv tkf x 例2 (1) 求常数函数 y = C的导数. (2) 求三角函数y = sin x的导数. (3) 求对数函数 的导数. (4) 求幂函数 的导数.log(01,0)ayxax nyxn （ 为正整数）证 求导数举例求导数举例(1) (,),0 xxyCC 自变量增量为相应的函数增量为 00lim00 xyyCxx 13(2)(,),xx 自变量增量为相应的函数增量为2cos()sinsin2222cos()2xxxxyxxxxx (sin )cosxx 000sin2limlimcos() l

9、imcos22xxxxyxxxxx sin()sin2cos()sin22xxyxxxx (3)(0,),xx 自变量增量为相应的函数增量为11log (1)log (1)xxaayxxxxxxx 1(log)(0).lnaxxxa (4)(,),xx 自变量增量为相应的函数增量为122(1)()()2!nnnn nnxxxxx log ()loglog (1)aaaxyxxxx 00111limlimlog (1)loglnxxaaxxyxexxxxxa ()nnyxxx 1(ln)(0).xxx 特别地0C 故由前述可知2111( )1,(),( )2xxxxx 特别地121100(1)l

10、imlim()2!nnnnxxyn nnxxxxnxx 1().nnxnx 121(1)()()2!nnnyn nnxxxxx (sin)cos;(cos)sinxxxx 11(log);(ln)lnaxxxax 11()()()nnxnxxx 可为任意实数0000()()limlimxxf xxf xyxx 如果极限000( )()(lim)xxf xf xxx 存在, 则称此极限值为函数 (x) 三三. .左右导数左右导数定义定义3. 如果极限0000()()limlimxxf xxf xyxx 000( )()(lim)xxf xf xxx 存在,则称此极限值为函数(x)在点 x0 处的

11、右导数. 也称(x)在点 x0 右可导. 记作0000()()()lim.xf xxf xfxx 17定理定理1. (x)在 x0 处可导, 导数为 0()fx 00()()fxfx （存在且相等）定义定义4. 若函数(x)在区间(a, b) 内每一点都可导, 且 则称函数(x)在a, b内可导.( ),( ).f a f b 存在在点 x0 处的左导数. 也称(x)在点 x0 左可导.0000()()()lim.xf xxf xfxx 记作211sin 0sin 0(1) ( );(2) ( );0 00 0(3) ( ).xxxxf xf xxxxxf xx 0( )(0) (1)lim0

12、 xf xfx 解解2001sin( )(0)(2)limlim0 xxxf xfxxx 01sinlimxxxx 01limsinxx 不不存存在在(0).f 不存在(0)0.f 01limsin0 xxx0000( )(0)(3)limlimlim0 xxxxxf xfxxx 0(0)lim1,xxfx 而0(0)lim1,xxfx (0)(0).ff 例例3. .讨论下列函数在x = 0点处的可导性(0)f 不存在. 由例3(3)知 (x) = |x| 在 x = 0 处不可导; 但由第一章例24(1)知(x)=|x|在x = 0处却是连续的.定理定理2.2. 若函数y = (x)在 x

13、0 处可导, 则y = (x)在 x0 处必连续.00 lim(),xyfxx 证因注意：注意：连续却不一定可导.不连续一定不可导四四. .可导与连续的关系可导与连续的关系000limlim() 00.xxyyxfxx 则有20例4.设函数 在x = 0处可导, 求a和b.2 0( )5 0 xexf xa xbx ( )0f xx 证 因在处可导(0 )(0 )( ;0)fff ( )0f xx 在处连续1(0 )(0)1,(0 )5;5fffbb 由于0000222000()(0)1(0)limlimlimlim1()(0)51(0)limlimlimxxxxxxxxyfxfexfxxxxfxfaxbaxfaxxx 而211.aa oxyL：y=(x)0 xT函数y = (x)在点 x0 处的导数 f(x0) 便是曲线y = (x)在点 M0(x0