力学（mechanics)HEPG SDU

1、2022-3-196.3 小信号测量的区间估计1第六章第六章 参数估计参数估计(Parameter estimation)6. 3 小信号测量的区间估计小信号测量的区间估计2022-3-196.3 小信号测量的区间估计2区间估计的目的：区间估计的目的：找出未知参数找出未知参数 的一个变化范围的一个变化范围ba使得使得 的真值落入该范围的概率为的真值落入该范围的概率为 估计未知参数的估计值的精确性和可靠性估计未知参数的估计值的精确性和可靠性区间估计区间估计(Interval Estimation)：2022-3-196.3 小信号测量的区间估计3第六章第六章 参数估计参数估计(Parameter

2、 estimation)6. 3 小信号测量的区间估计小信号测量的区间估计基本概念基本概念置信带构造的经典方法置信带构造的经典方法Feldman & Cousins方法方法最大似然估计量方法最大似然估计量方法2022-3-196.3 小信号测量的区间估计4小信号测量：小信号测量： 待测物理量本身数值很小（接近于零）；待测物理量本身数值很小（接近于零）； 待测量的现象（信号）出现的概率很小待测量的现象（信号）出现的概率很小例：中微子质量的测量，稀有衰变分支比的测量，例：中微子质量的测量，稀有衰变分支比的测量，受到测量误差、本底的影响，测量值有可能会出现负值！受到测量误差、本底的影响，测量

3、值有可能会出现负值！2022-3-196.3 小信号测量的区间估计5小信号测量的参数估计的特点：小信号测量的参数估计的特点：信号的实验测量值（如信号的事例数）通常是接信号的实验测量值（如信号的事例数）通常是接近于零的小量，因此对待测信号的实验报道有时近于零的小量，因此对待测信号的实验报道有时只能给出一定置信水平下的上限；只能给出一定置信水平下的上限；实验测量值通常同时包含信号和本底的贡献，而实验测量值通常同时包含信号和本底的贡献，而且信号和本底的测量都存在统计涨落和系统误差；且信号和本底的测量都存在统计涨落和系统误差；信号的测量值存在物理边界值：信号的测量值存在物理边界值： 0;测量样本的容量

4、很小测量样本的容量很小2022-3-196.3 小信号测量的区间估计6置信带置信带(Confidence belt)实验观测值实验观测值x, 待估计参数待估计参数 观测量观测量x的真值的真值参数参数 的置信水平为的置信水平为 的置信区间：的置信区间：),(ulP与特定的与特定的 相对应，在相对应，在x- 坐标系内，存在一个区坐标系内，存在一个区域，对任何测量值域，对任何测量值x，上，上式成立，式成立，置信水平为置信水平为 的的置信带置信带 u lx02022-3-196.3 小信号测量的区间估计7第六章第六章 参数估计参数估计(Parameter estimation)6. 3 小信号测量的区

5、间估计小信号测量的区间估计基本概念基本概念置信带构造的经典方法置信带构造的经典方法Feldman & Cousins方法方法最大似然估计量方法最大似然估计量方法2022-3-196.3 小信号测量的区间估计8Neyman方法：方法：1937年由年由J. Neyman提出提出构造方法：构造方法：对于任何特定的对于任何特定的 值，找到相应的值，找到相应的x的的C.L.= 接受区接受区间间xl, xu，使其满足关系式，使其满足关系式) 1 ()| ,(ulxxxP对所有可能的对所有可能的 值，相应的接受区间的集合即构成置信值，相应的接受区间的集合即构成置信水平为水平为 的的置信带置信带设观测

6、量设观测量x的概率密度函数为的概率密度函数为f(x| )ulxxuldxxfxxxP)|()| ,(2022-3-196.3 小信号测量的区间估计9Construct HorizontallyRead Verticallyx注意：对任一特定的注意：对任一特定的 值，满足值，满足(1)式的区间有无穷多个式的区间有无穷多个 中心置信区间中心置信区间和和上限置信区间上限置信区间2022-3-196.3 小信号测量的区间估计10中心置信区间中心置信区间 u lx0满足满足)1 (21)|()|(ulxxPxxP对任一观测值对任一观测值x0，这样确定的中，这样确定的中心置信区间满足心置信区间满足)1 (

7、21)|()|(00 xPxPulxlxu2022-3-196.3 小信号测量的区间估计11上限置信区间上限置信区间满足满足)|(lxxP对任一观测值对任一观测值x0，这样确定的上，这样确定的上限置信区间满足限置信区间满足)|(0 xPuxlx0 u 对于所测结果是给置信水平为对于所测结果是给置信水平为 的中心区间还是上限区间很的中心区间还是上限区间很大程度上取决于作者的自由选择大程度上取决于作者的自由选择)| , 0(0 xPu2022-3-196.3 小信号测量的区间估计121）观测量）观测量x服从正态分布：服从正态分布：nxy 2已知，求待测参数已知，求待测参数 的置信区间的置信区间aa

8、dyy )exp(221中心置信区间：中心置信区间：naxnaxul服从正态分布：服从正态分布：2221) 1 , 0(yeN上限置信区间：上限置信区间：bdyy )exp(221nbxu2022-3-196.3 小信号测量的区间估计13特例：特例：n = 1, = 1, =0.9aadyy )exp(221中心置信区间：中心置信区间：axaxul上限置信区间：上限置信区间：bdyy )exp(221bxuxx a=1.64b=1.28问题问题1：如果：如果x = -1.8，无对应的置信区间，置信区间为空集，无对应的置信区间，置信区间为空集2022-3-196.3 小信号测量的区间估计14在什

9、么样的情况下给上限区间，什么情况下给中心区间？在什么样的情况下给上限区间，什么情况下给中心区间？ 基于观测值的突变方式基于观测值的突变方式(Flip-flopping policy): x 3 : 上限区间上限区间 x 3 : 中心区间中心区间 x 0: 由于由于 0，将，将x视为视为0， 并据此确定并据此确定 的上限的上限上限区间上限区间 =x+1.28 =x+1.64问题问题2：当：当1.36 4.28时，时，x的接受区间的涵盖的接受区间的涵盖概率只有概率只有85%，小于，小于90%2022-3-196.3 小信号测量的区间估计152）观测量）观测量x服从泊松分布：服从泊松分布：设观测值设

10、观测值x = 观测事例的总数观测事例的总数n包含信号事例，均值为包含信号事例，均值为 ，未知，未知 本底事例，均值为本底事例，均值为b，已知，已知!)()|()(nebnPbn),(ulP中心置信区间：中心置信区间：上限置信区间：上限置信区间：)(uP2022-3-196.3 小信号测量的区间估计16置信带的构造：置信带的构造：对于任一对于任一 值值ulniniiPiP)|()|(2120中心置信区间：中心置信区间：上限置信区间：上限置信区间：lniiP0)|(1 = 0.9, b = 3.0问题问题1：如果：如果n = 0，无对应的置信区间，置信区间为空集，无对应的置信区间，置信区间为空集2

11、022-3-196.3 小信号测量的区间估计17n)|(xP2022-3-196.3 小信号测量的区间估计18“Flip-Flopping”nAllowednAllowed1 sided2 sidednThis is not a true confidence belt! Coverage varies.2022-3-196.3 小信号测量的区间估计19经典方法构造置信带的问题：经典方法构造置信带的问题： Flip-Flopping: 置信带涵盖概率变化，低涵盖概率；置信带涵盖概率变化，低涵盖概率； 置信区间空集置信区间空集2022-3-196.3 小信号测量的区间估计20第六章第六章 参数估

12、计参数估计(Parameter estimation)6. 3 小信号测量的区间估计小信号测量的区间估计基本概念基本概念置信带构造的经典方法置信带构造的经典方法Feldman & Cousins方法方法最大似然估计量方法最大似然估计量方法2022-3-196.3 小信号测量的区间估计212022-3-196.3 小信号测量的区间估计222022-3-196.3 小信号测量的区间估计23置信带构造方法：置信带构造方法：对于任一特定的对于任一特定的x, 令令 best是是 的物理上允许的值，且使的物理上允许的值，且使P(x| )达到最大达到最大)|()|(xPMaxxPbest定义似然比：

13、定义似然比：)|()|(),(bestxPxPxR设观测量设观测量x的概率密度函数：的概率密度函数：P(x| )2022-3-196.3 小信号测量的区间估计24置信带构造方法：置信带构造方法：对于任一特定的对于任一特定的 值，用下述方法求出值，用下述方法求出x的置信水平为的置信水平为 的的接受区间：接受区间：分离变量的情况：分离变量的情况：x = n计算计算R(n, ), n = 0, 1, 2, ;按按R从大到小的顺序决定每个从大到小的顺序决定每个n的秩的秩(rank)r: R最大的最大的n值值r = 1; R次大的次大的n值值r = 2; .按按r从小到大的顺序对观测值从小到大的顺序对观

14、测值n的概率的概率P(n| )求和求和,直直到满足到满足:rrnP)| )(n1, n2 满足上式的满足上式的n(r)中的极小值和极大值中的极小值和极大值2022-3-196.3 小信号测量的区间估计25置信带构造方法：置信带构造方法：对于任一特定的对于任一特定的 值，用下述方法求出值，用下述方法求出x的置信水平为的置信水平为 的的接受区间：接受区间：连续变量的情况：连续变量的情况：x1, x221)|(),(),(21xxdxxPxRxRMeasured valueTrue value2022-3-196.3 小信号测量的区间估计26置信带构造方法：置信带构造方法：对于任一特定的对于任一特定

15、的 值，用下述方法求出值，用下述方法求出x的置信水平为的置信水平为 的的接受区间：接受区间：连续变量的情况：连续变量的情况：x1, x221)|(),(),(21xxdxxPxRxRTrue valueMeasured value6.3 小信号测量的区间估计27F&C: Likelihood RatioLikelihood Ratio determines what xs are included into the confidence interval for a given =5.0 =0.5 =0.1fixedbest“, physically allowed 6.3 小信号测量

16、的区间估计28F&C Confidence IntervalsCL=90%Confidence interval is 0.UL, i.e. upper limitMeasurement with asymmetric errors, e.g.6 . 12 . 12Measurement with symmetric errors, e.g. 6.0 1.66.3 小信号测量的区间估计29Poissonian DistributionPoissonian process (true rate ) with background bMeasurement is number of events n