线性代数3方阵的行列式

1、补充补充 行列式行列式预备知识预备知识 二阶行列式二阶行列式一、二阶行列式的引入一、二阶行列式的引入二、三阶行列式二、三阶行列式三、小节、思考题三、小节、思考题用消元法解二元线性方程组用消元法解二元线性方程组 .,22221211212111bxaxabxaxa 1 2 :122a ,2212221212211abxaaxaa :212a ,1222221212112abxaaxaa ，得，得两式相减消去两式相减消去2x一、二阶行列式的引入一、二阶行列式的引入;212221121122211baabxaaaa ）（，得，得类似地，消去类似地，消去1x,211211221122211abbaxa

2、aaa ）（时，时，当当021122211 aaaa方程组的解为方程组的解为，211222112122211aaaabaabx ）（3.211222112112112aaaaabbax 由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定. 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的矩阵：称列）的矩阵：)4(22211211aaaa)5(42221121121122211aaaaaaaa行行列列式式，并并记记作作）所所确确定定的的二二阶阶为为矩矩阵阵（称称表表达达式式 .2112221122211211aaaaaaaaD即即11a12a22a12a主对角线主对角线

3、副对角线副对角线2211aa .2112aa 二阶行列式的计算二阶行列式的计算若记若记,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式 .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababD .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababD .,22221211212111bxaxabxax

4、a.2211112babaD 则二元线性方程组的解为则二元线性方程组的解为,2221121122212111aaaaababDDx注意注意 分母都为原方程组的系数行列式分母都为原方程组的系数行列式.2221121122111122aaaababaDDx . 12,12232121xxxx求解二元线性方程组求解二元线性方程组解解1223D)4(3 , 07 112121D,14 121232D,21 DDx11, 2714 DDx22. 3721 行列式行列式第二节第二节 n 阶行列式的展开公式阶行列式的展开公式n一 、阶 行 列 式 、 余 子 式 和 代 数 余 子 式的的展展开开法法则则二

5、二、行行列列式式按按行行（列列）三、小节、思考题三、小节、思考题一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式1定义定义阶行列式阶行列式对对 nnnnjninijinjaaaaaaaaa111111在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作nijaij1 nija.Mij ，ijjiijMA 1记记叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式ija例如对例如对,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 444

6、24134323114121123aaaaaaaaaM 2332231MA ,23M .23的的代代数数余余子子式式叫叫做做元元素素 a注意：注意：只只与与该该元元素素所所处处位位置置一一个个元元素素的的代代数数余余子子式式多少无关！多少无关！相关；而与该元素等于相关；而与该元素等于亦亦即即仍仍有有代代数数余余子子式式仍仍然然不不变变！，它它的的的的值值换换成成比比如如上上例例中中，即即便便把把3323aa2323MA ,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ,44434134333124232112aaaaaaaaaM 12211

7、21MA .12M ,33323123222113121144aaaaaaaaaM .144444444MMA .个个代代数数余余子子式式对对应应着着一一个个余余子子式式和和一一行行列列式式的的每每个个元元素素分分别别二、二、n阶行列式的定义阶行列式的定义定义定义阶方阵阶方阵对任意对任意n,212222111211 nnnnnnaaaaaaaaaA用记号用记号nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211 相相联联系系表表示示一一个个与与矩矩阵阵 A,的数或表达式的数或表达式)det(AAA或或记记为为的的行行列列式式为为常常称称定理定理1 1 n n 行列式等于它的任一行（列）的各

8、元行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即素与其对应的代数余子式乘积之和，即 nkikikininiiiiAaAaAaAa12211 ni, 2 , 1 nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211行列式按行（列）展开法则行列式按行（列）展开法则列列展展开开：阶阶行行列列式式也也可可以以按按第第事事实实上上，in ni, 2 , 1 nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 nkkjkjnjnjjjjjAaAaAaAa12211例例 1 计算行列式计算行列式277010353D解解2701) 1(311D.272106 按第一行展开，得按第

9、一行展开，得2700)1()5(21 7710)1(331 注意到第二行零元素较多，按第二行展开，得注意到第二行零元素较多，按第二行展开，得23222102733)1)(1(0AAD.270270 0532000140003202527102135D例例2 计算行列式计算行列式解解0532000140003202527102135D 53200140032021351252 14325)10( .700)122(50 5320140325)2( 53200140032021351252 1. 行列式按行（列）展开法则是把高阶行列行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重

10、要工具式的计算化为低阶行列式计算的重要工具. 三、小结三、小结112212.niiiiininikikkDa Aa Aa Aa A ni, 2 , 1 nkkjkjnjnjjjjjAaAaAaAa12211的行、列！的行、列！建议挑选含零最多建议挑选含零最多在按行、按列展开时，在按行、按列展开时，. 3作业作业P34：1（2）(4)（6）（）（8）行列式行列式第三节第三节 行列式的性质行列式的性质一、行列式的性质一、行列式的性质二二、应应用用举举例例三、小节、思考题三、小节、思考题一、行列式的性质一、行列式的性质 行列式与它的转置行列式相等即，行列式与它的转置行列式相等即，行列式行列式 称为行

11、列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式. TAA记记 TAnnaaa22112121nnaaannaaa2112 Annaaa2211nnaaa21122121nnaaa,.AAT 证明证明 TAnnaaa22112121nnaaannaaa2112纳纳法法证证明明，对对行行列列式式的的阶阶数数进进行行归归然然有有对对一一阶阶行行列列式式而而言言，显显成立；成立；1111aaT 行展开，有行展开，有，按第一，按第一时结论成立，则对时结论成立，则对现假设对阶数为现假设对阶数为TAn1 1121211111nnAaAaAa ，按第一列展开，有，按第一列展开，有而对而对 A niiiiMa1111

12、)1( Annaaa2211nnaaa21122121nnaaaTnnTTAaAaAa1121211111 .1), 2, 1(11式式阶行列阶行列，且它们均为，且它们均为转置余子式转置余子式对应的对应的中的余子式中的余子式表示与行列式表示与行列式其中，其中， nniMAMiTTi于于是是，由由归归纳纳假假设设，知知), 2, 1(11niMMiTi 进进而而，得得.AAT 证毕证毕 niTiiiMa1111)1(说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此行列因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.性质性质2 2 如果行列

13、式中有两行（列）完全相同，则如果行列式中有两行（列）完全相同，则此行列式为零此行列式为零. .法法，还还可可证证得得类类似似地地，利利用用数数学学归归纳纳性质性质3 3 如果行列式中某一行（列）元素是两组数如果行列式中某一行（列）元素是两组数的和，那么这个行列式就等于两个新行列式的和，的和，那么这个行列式就等于两个新行列式的和，而这两个行列式除这一行（列）外全与原行列式而这两个行列式除这一行（列）外全与原行列式对应的行（列）相同，即对应的行（列）相同，即1112111212222212()()()iiniinnnnininnaaaaaaaaaaDaaaaa则则D等于下列两个行列式之和：等于下列

14、两个行列式之和：111111112122212211ininininnninnnninnaaaaaaaaaaaaDaaaaaa例如例如nii ,21 ni ,21 ni ,21 nii 1ni 1 ni 1 或或（对对列列），有有.（列列）展展开开即即可可行行边边的的行行列列式式都都按按第第事事实实上上，只只要要对对等等号号两两i为为记成分块矩阵形式，即记成分块矩阵形式，即 （行列式的（行列式的“初等变换初等变换”）若将初等行）若将初等行（列）变换用于（列）变换用于 n n 阶行列式：阶行列式： 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 ，等于用

15、数，等于用数 乘此行列式乘此行列式. . nnnniniinaaaaaaaaa212111211 nnnniniinaaaaaaaaa212111211 .行行展展开开即即得得按按第第事事实实上上，等等号号两两端端同同时时i（2）把行列式的某一列（行）的各元素乘以同把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数一数 k 然后加到另一列然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行列对应的元素上去，行列式的值不变式的值不变11111212221ijnijnnninjnnaaaaaaaaaaaa1111112122221()()( )()ijjnijjnjinninjnjnnaakaaaaakaaackaak

16、aaa k例如例如从等号右端从等号右端看，利用性看，利用性质质3、性质、性质4的（的（1）及性）及性质质2即得等号即得等号左端。左端。 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）, ,行列式变号行列式变号. .设行列式写成分块形式，则设行列式写成分块形式，则njiA ,1 njjicji ,1)1( nijicij ,1)1( nijcji ,1)1( Bnij ,1,571571 266853.825825 361567567361266853例例如如，有有某一行（列）元素全为零的某一行（列）元素全为零的行列式等于零行列式等于零若有两行（列）元素对应成比例，则若有两行（列）元素对应成比例，

17、则行列行列式等于零，即式等于零，即nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211 . 0 对对 n 阶行列式及数阶行列式及数 k,有有 AkkAn 阶行列式阶行列式已知已知例例52mB 5701033555680122244412111.4544AA 试试求求代代数数余余子子式式之之和和行行展展开开，得得按按行行列列式式的的第第解解4)1(335554544434241mAAAAA ，即得，即得式作乘积之和，由性质式作乘积之和，由性质行对应元素的代数余子行对应元素的代数余子行与第行与第再用

18、行列式的第再用行列式的第542)2(0224444544434241 AAAAA两式，两式，、联立联立)2()1()1(335554544434241mAAAAA )2(0224444544434241 AAAAA x4 y2 02435yxmyx即即解解得得.1124544myAA 应用举例应用举例计算行列式常用方法一计算行列式常用方法一：利用运算让行列：利用运算让行列式中出现更多的式中出现更多的0，然后按行或列展开得行列式的，然后按行或列展开得行列式的值值或者在此过程当中适当使用其它性质以简化或者在此过程当中适当使用其它性质以简化计算。计算。)(krij例例1 计算计算4阶行列式阶行列式3

19、112513420111533D3112513420111533D03550100131111115 对对解解于是于是工作量相对较小工作量相对较小化为零的化为零的，所以将该行其它元素，所以将该行其它元素行有行有考虑到第考虑到第,03 231 c) 1 (34cD0551111115)1(33 055026115 5526)1(31 5028 .40 )1(12r.解毕解毕阶行列式阶行列式计算含字母计算含字母例例441111baaccbbacacbcbaA 解解1000211)1()1(2334 baaccbacbcbaArr按第按第4行行展开展开1000211)1()1(2334 acaccb

20、acbcbaArrbaaccbacbcba baaccbaaccbacbcbacc )(2)1()1(2131baaccbaaccbacbcbacc )(2)1()1(2131cbabaccabccbcbarr2200)1()2(1213 cbabaccabccba22)( abccba3333 按第按第1列列展开展开.解毕解毕例例62101044614753124025973313211D求计算行列式常用方法计算行列式常用方法：对具体的行列式，利用运：对具体的行列式，利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值得行列式的值或者在此过程当中适当使用

21、其它或者在此过程当中适当使用其它性质以简化计算。性质以简化计算。)(krij2101044614753124025973313211D3 解解2101044614753124022010013211)3(12 r2101044614753140202010013211 2 3 )2(12 r 4 2101044614753124022010013211 2101044614753140202010013211 3 4 2220035120140202010013211 )4(15 r)3(14 r24r2220020100140203512013211 22200351201402020100

22、13211 2 千万要注千万要注意意“行列行列式交换两式交换两行，符号行，符号要改变要改变. ”6200020100211003512013211 )1(23r 2220020100140203512013211 2 )2(45r6200001000211003512013211 612 )1(34r.12 6200020100211003512013211 2 0上三角行列式上三角行列式.5的的行行列列式式等等于于零零证证明明奇奇数数阶阶反反对对称称矩矩阵阵例例证明：证明：知，知，再由性质，再由性质知，知，又由性质，又由性质得得是奇数，则由是奇数，则由阶反对称矩阵，阶反对称矩阵，是是设设31

23、,AAAAAAnnATTT 即即得得,)1(AAn AAn)1( 是是奇奇数数，故故必必有有而而nAA 即即. 0 A性质性质5 5 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即).(, 02211jiAaAaAajninjiji ,11111111nnnjnjininjnjnjjaaaaaaaaAaAa 证证行展开，有行展开，有按第按第把行列式把行列式jA,11111111nnniniininjninjiaaaaaaaaAaAa 可得可得换成换成把把), 1(nkaaikjk 行行

24、第第 j行行第第 i,时时所以当所以当ji ).(,02211jiAaAaAajninjiji 同理同理).(, 02211jiAaAaAanjnijiji 相同相同关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质 ;,0,1kikiAAanjkjij当当当当 ;,0,1kikiAAaniikij当当当当由此即得由此即得性质性质6 6 设设 L L 是有如下分块形式的是有如下分块形式的 ( ( n + p n + p ) ) 阶阶矩阵：矩阵： ppnnBCOAL则有则有BAL 是方阵时，当然也成立是方阵时，当然也成立，当，当由性质由性质BA,1BABOCAUppnn 推推论论是是同同阶阶方方阵

25、阵，则则有有若若BA,BAAB 矩阵乘积的行列矩阵乘积的行列式等于行列式的式等于行列式的乘积！乘积！例例3 3nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaaD1111111111110 设设,11111kkkkaaaaD ,11112nnnnbbbbD .21DDD 证明证明证明证明;0111111kkkkkpppppD 设为设为化为下三角形行列式化为下三角形行列式，可把，可把作运算作运算对对11)(DkrDij化为下三角形行列式化为下三角形行列式可把可把作运算作运算对对22),(DkcDij.0111112nnnnnqqpqqD 设为设为,01111111111nnnnknkkkkqqqc

26、cccpppD 化为下三角形行列式化为下三角形行列式把把列作运算列作运算，再对后，再对后行作运算行作运算的前的前对对DkcnkrkDijij),()(nnkkqqppD1111 故故.21DD (行列式中行与列具有同行列式中行与列具有同等的地位等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立同样成立). 计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：(1)利用定义利用定义;(2)利用利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值列式的值三、小结三、小结行列式的行列式的6个性质个性质 作业作业 P35-37 4（1，3

27、，5） 5（1，2） 6（1，2，3，4，5） 7（1） 8（1，2）第二章第二章 行列式行列式第四节第四节 行列式的计算行列式的计算常常见见方方法法一一、行行列列式式计计算算的的几几种种二、小节、思考题二、小节、思考题：行列式计算的方法行列式计算的方法换换”的的、利利用用行行列列式式“初初等等变变1“降降阶阶法法。”、2 “递递推推法法。”、3“归归纳纳法法。”、4“升升阶阶法法。”质质”的的、利利用用行行列列式式“加加法法性性6“拆拆边边法法。”、5 “分分块块矩矩阵阵法法。”求解行列式求解行列式例例19333333333233331D，所所列列元元素素全全为为行行、第第注注意意到到行行列

28、列式式的的第第解解333再再行行观观察察，倍倍加加到到其其余余各各列列上上去去，列列的的以以可可以以用用第第)1(3 9333333333233331D6300030003100302 “降降阶阶法法”之之例例6300030003100302 行行展展开开，有有”不不为为零零，故故尝尝试试按按该该行行只只有有“第第阵阵，但但三三角角形形也也非非下下三三角角形形矩矩注注意意，此此行行列列式式既既非非上上33612)1(333 D!666)1()2(3 例例2 2 计算计算 阶行列式阶行列式nabbbbabbbbabbbbaD解法解法1 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 D

29、将第将第 都加到第一列得都加到第一列得n, 3 , 22“降降阶阶法法”之之例例 abbbabbbabbbbna1111) 1( babababbbbna 1) 1(00 .)() 1(1 nbabna第第1行的行的 (-1)倍分别加到倍分别加到其余各行！其余各行！阶行列式阶行列式计算计算例例n3xyxyxyaaaaxaDn 000000000之之例例“递递推推法法”列展开，列展开，按第按第将将解解nDnyxxyxyaxDDnnn 11)1(可可得得11 nnayxD整理得整理得11 nnnayxDD221 nnnayxDD112ayxDD 再相加，得再相加，得后，后，个式子两边分别同乘以个式

30、子两边分别同乘以将上述将上述22,11 nxxxn22111 nnnnnayxxayayDxD xx )( 2nx2)( nx所以所以而而,111xaaD )(2211 nnnnnnyxxyyxaxD) 例例2 2（续）（续） 计算计算 阶行列式阶行列式nabbbbabbbbabbbbaD “升升阶阶法法”之之例例解法解法2倍倍分分行行的的新新的的第第增增加加一一行行一一列列后后，用用)1(1 可得可得别加到其余各行上去，别加到其余各行上去， 1001nnabbabbDbababb 01011bababbbanbba 0000)1(列上去，列上去，倍加到新的第倍加到新的第时，用每一列的时，用每一列的当当1)(1baba 1)( )1( nbabna., 0 上上述述答答案案也也符符合合时时，当当 nDba 证证用数学归纳法用数学归纳法21211xxD 12xx , )(12 jijixx）式成立）式成立时（时（当当12 n例例4证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式 1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD)1(之之例例“归归纳纳