微分方程-变量局部平衡关系的数学模型

1、微分方程 变量局部平衡关系的数学模型变量局部平衡关系的数学模型提要提要： 微分方程的一般概念微分方程的一般概念 微分方程的建立微分方程的建立 微分方程的解法微分方程的解法 第一节第一节 基本概念基本概念一一 引引 例例例例 1 1 英国人口统计学家英国人口统计学家 Malthus （1766183417661834年）在他当牧师时查年）在他当牧师时查看了看了100100多年的人口出生纪录，发现多年的人口出生纪录，发现人口出生率竟是一个常数，他力图由人口出生率竟是一个常数，他力图由此求出人口随时间变化的规律此求出人口随时间变化的规律 tMM微分方程 变量局部平衡关系的数学模型变量局部平衡关系的数

2、学模型例例 2 2微分方程 变量局部平衡关系的数学模型变量局部平衡关系的数学模型 放射性同位素的质量放射性同位素的质量 随着时间的推移而减少，并且随着时间的推移而减少，并且减少的速度与现存质量成正比减少的速度与现存质量成正比，我们力图从这点出发推出放，我们力图从这点出发推出放射性同位素的衰变规律。射性同位素的衰变规律。 tMM 放射性同位素的衰变规律放射性同位素的衰变规律微分方程 变量局部平衡关系的数学模型变量局部平衡关系的数学模型 在讨论传染爆发期的传染规律时，我在讨论传染爆发期的传染规律时，我们有以下两点假定：们有以下两点假定： 1 1）单位时间内一个病人能传染别人的）单位时间内一个病人能

3、传染别人的人数是常数人数是常数 ； 2 2）在考虑的爆发期内，病人不死不愈。）在考虑的爆发期内，病人不死不愈。例例 3 3 tNN 一种传染病的发病人数是时间的函数一种传染病的发病人数是时间的函数 传染病模型传染病模型k微分方程 变量局部平衡关系的数学模型变量局部平衡关系的数学模型ktNNkNdtdN00NNt我们得到并不符合实际情况的解我们得到并不符合实际情况的解tkeNN 0NnkNdtdNtnkeNnnN 011设该地区人口总数为设该地区人口总数为n可得可得2 0 02111tnktnkeNneNnkndtdN微分方程 变量局部平衡关系的数学模型 求得传染速度为求得传染速度为 这一关于时

4、间的函数所表示的曲线就是这一关于时间的函数所表示的曲线就是著名的医学统计学中的著名的医学统计学中的传染病曲线。传染病曲线。例例 4 4银行存款的本息计算银行存款的本息计算我们将我们将0M元人民币存入银行，当年利率为元人民币存入银行，当年利率为 时，时， 试计算试计算t年后的本息总和年后的本息总和 tMMtM MdtdM 最后得到最后得到teMM 0 。微分方程 变量局部平衡关系的数学模型 tMM微分方程 变量局部平衡关系变量局部平衡关系的数学模型的数学模型 自然界的统一性显示自然界的统一性显示在关于各种现象领域的微在关于各种现象领域的微 分方程的分方程的 “ “惊人的类似惊人的类似” ” 中。

5、中。-列宁列宁“唯物主义与经验批判主唯物主义与经验批判主义义”以上几例变量变化有一共同特点以上几例变量变化有一共同特点 变量的变化速度与其现存量成正比。变量的变化速度与其现存量成正比。MdtdM 321含有未知函数导数（也可含有未知函数含有未知函数导数（也可含有未知函数及其自变量）的条件等式，称为及其自变量）的条件等式，称为微分方程微分方程。我们这里限定未知函数是一元函数。方程我们这里限定未知函数是一元函数。方程中出现未知函数导数的最高阶次，称为微中出现未知函数导数的最高阶次，称为微分方程的分方程的阶阶。一阶微分方程的一般形式为。一阶微分方程的一般形式为微分方程 变量局部平衡关系的数学模型变量

6、局部平衡关系的数学模型二二 基本概念基本概念0, yyxF二二阶微分方程的一般形式为阶微分方程的一般形式为0, yyyxF微分方程 变量局部平衡关系的数学模型变量局部平衡关系的数学模型二二 基本概念基本概念适合微分方程的函数称为微分方程的适合微分方程的函数称为微分方程的解解在在微分方程的解中，所含相互独立的任意常数微分方程的解中，所含相互独立的任意常数个数与其阶数相等，此解为微分方程的个数与其阶数相等，此解为微分方程的通解通解。给定函数及其导数的特殊值，称为是微分方给定函数及其导数的特殊值，称为是微分方程的程的初始条件初始条件。适合初始条件而不含任意常。适合初始条件而不含任意常数的解，称为是微

7、分方程的数的解，称为是微分方程的特解特解。 微分方程连同其初始条件，称为微分方程连同其初始条件，称为定解问题。定解问题。 下抛物体的运动规律下抛物体的运动规律 物体以初速度物体以初速度 垂直向下运动，在不垂直向下运动，在不计阻力的情况下，求其运动规律计阻力的情况下，求其运动规律 。微分方程 变量局部平衡关系的数学模型变量局部平衡关系的数学模型0v tss gdtsd22. , 000vdtdssott定解问题为定解问题为例例 5 5解得解得2021gttvS 这一结果是用牛顿定义的导数这一结果是用牛顿定义的导数和积分计算出来的，而不必和积分计算出来的，而不必 象伽利象伽利略一样再上比萨斜塔用秒

8、表来得到略一样再上比萨斜塔用秒表来得到未必精确的结果。未必精确的结果。微分方程 变量局部平衡关系的数学模型变量局部平衡关系的数学模型Nature and natures laws lay hid in night,God said : “ Let Newton be ! ”and All was light. -Pope微分方程 变量局部平衡关系的数学模型三. 小结变化纷纭的变化纷纭的 变量关系变量关系求得局部平衡关系求出具体求出具体函数关系函数关系建立微分方程微分方程求解 1 1。掌握微分方程的。掌握微分方程的基本概念基本概念 2 2。建立微分方程建立微分方程，是从研究对象中变量变化，是从研究对象中变量变化的局部平衡关系出发的建立数学模型的过程，今的局部平衡关系出发的建立数学模型的过程，今后进一步提高数学思维能力、逐步掌握数学建模后进一步提高数学思维能力、逐步掌握数学建模方法，这是大学生应具备的基本素质之一。方法，这是大学生应具备的基本素质之一。 3 3。解微分方程解微分方程 4 4。本章的学习有一明显的特点。本章的学习有一明显的特点“一把钥一把钥匙开一把锁匙开一把锁”，即每一类方程