结构的动力计算

1、15. 1 动力计算概要动力计算概要15. 2 动力体系运动方程的建立动力体系运动方程的建立15. 3 单自由度体系自由振动分析的回顾和扩展单自由度体系自由振动分析的回顾和扩展15. 4 单自由度体系的受迫振动单自由度体系的受迫振动15. 5 两自由度体系的振动分析两自由度体系的振动分析15. 6 多自由度体系多自由度体系的振动分析的振动分析15. 7 频率和振型的实用计算方法频率和振型的实用计算方法15. 8 结论和讨论结论和讨论第十五章第十五章 结构动力计算结构动力计算15. 1 动力计算概要动力计算概要 15. 1. 1 动荷载及其分类动荷载及其分类惯性力惯性力和荷载相比小到可以忽略不计

2、可以忽略不计，这时仍可将其当作静荷载进行分析。而所谓荷载变化的快慢，不仅要看荷载，而且还要看结构动力特性动力特性(dynamic characteristic) 。1定义定义 结构在结构在大小大小、方向和作用点随时间变化方向和作用点随时间变化的荷载作用的荷载作用下，质量运动加速度所引起的下，质量运动加速度所引起的惯性力惯性力（inertia forceinertia force）和荷载相比大到和荷载相比大到不可忽视不可忽视时，则把这种荷载称为动荷载时，则把这种荷载称为动荷载（dynamic loaddynamic load）。）。大小大小、方向和作用点不随时间变化方向和作用点不随时间变化的荷载

3、称为的荷载称为静荷载。静荷载。简谐荷载简谐荷载周期荷载周期荷载非简谐荷载非简谐荷载确定性荷载确定性荷载冲击荷载冲击荷载非周期荷载非周期荷载突加荷载突加荷载动荷载动荷载其他动荷载其他动荷载风荷载风荷载非确定性荷载非确定性荷载地震荷载地震荷载其他无法确定规律的动荷载其他无法确定规律的动荷载15.1 动力计算概要动力计算概要2动荷载的分类动荷载的分类 动荷载可表示为时间和位置（坐标）的函数动荷载可表示为时间和位置（坐标）的函数15. 1. 2 结构动力学的任务结构动力学的任务(1)(1)提供任意给定结构在任意动荷载作用下进行提供任意给定结构在任意动荷载作用下进行响应分响应分析的方法析的方法；(2)(

4、2)确定结构固有确定结构固有动力特性动力特性及结构固有动力特性、动荷及结构固有动力特性、动荷载和结构响应三者间的相互关系，即结构在动荷载作用下载和结构响应三者间的相互关系，即结构在动荷载作用下的的响应规律响应规律；(3)(3)为结构为结构动力可靠性设计动力可靠性设计和和健康诊断健康诊断提供提供依据依据。15. 1 动力计算概要动力计算概要结构的响应分析：结构的响应分析：已知动荷载（输入）和结构动力特已知动荷载（输入）和结构动力特性（系统）求结构的响应（输出）；性（系统）求结构的响应（输出）；结构的参数识别结构的参数识别(parameter discrimination)或系统识别或系统识别(s

5、ystem discrimination)：已知动荷载（输入）和结构的响已知动荷载（输入）和结构的响应（输出）求结构的动力特性（系统）参数或数学模型应（输出）求结构的动力特性（系统）参数或数学模型；荷载识别荷载识别(load discrimination)：已知结构的动力特性已知结构的动力特性（系统）和结构的响应（输出），求未知的动荷载（输（系统）和结构的响应（输出），求未知的动荷载（输入）；入）；结构的振动控制：结构的振动控制：综合输入、系统和输出的全部信息，综合输入、系统和输出的全部信息，对结构响应进行控制。对结构响应进行控制。15. 1 动力计算概要动力计算概要15. 1. 3 3 结构

6、动力学的内容结构动力学的内容第一类问题称为第一类问题称为结构动力学的正问题结构动力学的正问题，第二、三两类问题称为第二、三两类问题称为结构动力学的反问结构动力学的反问题，题，第四类问题称为第四类问题称为结构振动控制问题结构振动控制问题（control problem of structural vibration）。15. 1 动力计算概要动力计算概要15. 1. 4 动力分析中体系的自由度动力分析中体系的自由度在振动过程的任一时刻，确定体系全部质量位置或变在振动过程的任一时刻，确定体系全部质量位置或变形状态所需的形状态所需的独立参数个数独立参数个数，称为体系的，称为体系的动力动力自由度自由度

7、（degree of freedom degree of freedom 简记为简记为DOFDOF）。）。1定义定义无限自由度体系无限自由度体系（infinity DOFs system）实际结构实际结构动力分析困难且不必要动力分析困难且不必要。动力体系的简化方法动力体系的简化方法(1)(1)集中质量法集中质量法 * *(2)(2)广义质量法广义质量法 * *(3)(3)有限元法有限元法15. 1 动力计算概要动力计算概要梁上集中质量梁上集中质量梁上分布质量梁上分布质量剪切型结构剪切型结构15. 1 动力计算概要动力计算概要2. 2. 体系自由度的确定体系自由度的确定自由度为自由度为1 1a

8、a 梁式杆（不计轴变）梁式杆（不计轴变）y1EIEI自由度为自由度为2 2EI=y2自由度为自由度为1 1自由度为自由度为2 2y1y2EIEI自由度与质体自由度与质体的数目无关的数目无关y1y2EIEIEI15. 1 动力计算概要动力计算概要b b 弹簧支撑弹簧支撑自由度为自由度为2 2y1y2EIEI弹簧和桁架杆不影弹簧和桁架杆不影响体系的自由度响体系的自由度自由度为自由度为2 2EIEIc c 考虑轴变的桁架杆考虑轴变的桁架杆15. 1 动力计算概要动力计算概要EIEIEAy2y1自由度为自由度为2 2练习练习自由度为自由度为1 1EIEI1=y1y1自由度为自由度为3 315. 1 动

9、力计算概要动力计算概要EI2EIEIy1y1自由度为自由度为1 1EIEI2EIEI1=y1y2y3y1建立建立所有质量的所有质量的运动方程运动方程（equation of motionequation of motion）。）。达朗伯原理达朗伯原理(dAlemberts principle)-动静法动静法15. 2动力体系运动方程的建立动力体系运动方程的建立 15. 2. 1 体系运动方程建立的方法体系运动方程建立的方法动力计动力计算模型算模型动荷载动荷载阻尼力阻尼力惯性力惯性力运动方程运动方程直接平衡法直接平衡法结构结构简化简化达朗伯原理达朗伯原理阻尼假设阻尼假设等效粘滞阻尼假设等效粘滞阻

10、尼假设: :阻尼力阻尼力与质量运动的速度成正比，与质量运动的速度成正比，比例系数称为阻尼系数比例系数称为阻尼系数（或粘阻系数）记为（或粘阻系数）记为c c，方方向与运动速度相反向与运动速度相反。15. 2动力体系运动方程的建立动力体系运动方程的建立用直接平衡法建立体系运动方程的一般步骤为：用直接平衡法建立体系运动方程的一般步骤为：(1)确定体系质量的分布及动力自由度，建立动力计确定体系质量的分布及动力自由度，建立动力计算模型。简称算模型。简称建模建模；(2)建立坐标系、确定各自由度的位移建立坐标系、确定各自由度的位移参数参数；(3)根据达朗伯尔原理和所采用的阻尼假设，沿质量根据达朗伯尔原理和所

11、采用的阻尼假设，沿质量各自由度方向各自由度方向加上惯性力和阻尼力加上惯性力和阻尼力；(4)通过分析质量平衡或考虑变形协调，通过分析质量平衡或考虑变形协调，建立建立体系的体系的运动方程运动方程。15. 2动力体系运动方程的建立动力体系运动方程的建立具体的方法有两种：具体的方法有两种：（1）刚度法）刚度法取每一运动质量为隔离体，分析质量取每一运动质量为隔离体，分析质量所受的全部外力（动荷载、惯性力和阻尼力，弹性力），所受的全部外力（动荷载、惯性力和阻尼力，弹性力），建立质量各自由度的瞬时建立质量各自由度的瞬时“动平衡动平衡”方程方程。（2）柔度法）柔度法以结构整体为研究对象，计算位移系以结构整体为

12、研究对象，计算位移系数和荷载所引起的自由度方向的位移，叠加数和荷载所引起的自由度方向的位移，叠加列出自由度方列出自由度方向位移的协调条件向位移的协调条件。15. 2动力体系运动方程的建立动力体系运动方程的建立15. 2. 2 单自由度体系运动方程建立举例单自由度体系运动方程建立举例 例题例题 8-1 试用刚度法建立刚架受动荷载作用的运动方程。试用刚度法建立刚架受动荷载作用的运动方程。质量质量m集中于刚性横梁，柱为无重弹性杆集中于刚性横梁，柱为无重弹性杆，不计轴向变形。不计轴向变形。 解解：（1 1）确定自由度）确定自由度 单自由度体系。单自由度体系。（2 2）确定位移参数）确定位移参数 设刚设

13、刚梁在任一时刻的水平位移为梁在任一时刻的水平位移为y y，向右为正。向右为正。（3 3）确定隔离体受力）确定隔离体受力（4 4）按动静法列动平衡方程，可得）按动静法列动平衡方程，可得 021 SSDIP)(FFFFtF2I2ddyFmmyt S13112EIFyl ylEIF32212 SDFcy P( )mycykyF t32311212lEIlEIk 楼层的侧移刚度楼层的侧移刚度它是楼层间产生它是楼层间产生单位相对侧移时单位相对侧移时所需施加的力，所需施加的力，是各柱子侧移刚是各柱子侧移刚度的和。度的和。15. 2动力体系运动方程的建立动力体系运动方程的建立 例题例题 15 -2 试用柔度

14、法建立简支梁受均布动荷载作用的运试用柔度法建立简支梁受均布动荷载作用的运动方程。质量动方程。质量m集中梁中点，梁为无重弹性杆，不计轴向变集中梁中点，梁为无重弹性杆，不计轴向变形。形。解解：（1 1）单自由度体系。）单自由度体系。（2 2）设质量）设质量m的位移为的位移为y（向下为正向下为正）。）。（3 3）加惯性力和阻尼力，加惯性力和阻尼力，确定受力图确定受力图（4）列位移方程）列位移方程IDP()yFFEIl483 )(ptqEIl38454 345( )()48384ll q tymycyEIEIP1mycyyE( )mycykyF t3481lEIk PEP5( )( )8F tklq

15、t 称为称为等效动荷载等效动荷载或或等效干扰力等效干扰力，等效含义为：等效含义为： 直接直接作用于质量上所产生的位移和实际动荷载引起的位移相等作用于质量上所产生的位移和实际动荷载引起的位移相等。)(EtF)(EtF 若计入质量的重力，运动方程是否有变化？若计入质量的重力，运动方程是否有变化？15. 2动力体系运动方程的建立动力体系运动方程的建立 例题例题 15-3 试建立图试建立图8-9(a)所示刚架的运动方程所示刚架的运动方程。解解：（1 1）确定自由度）确定自由度 单自由度体系。单自由度体系。（2 2）确定位移参数）确定位移参数 设设刚梁在任一时刻的水平位刚梁在任一时刻的水平位移为移为y

16、y，向右为正。向右为正。（3 3）确定隔离体受力）确定隔离体受力根据位移法，动荷载作用下质量处沿自由度方向所附加支根据位移法，动荷载作用下质量处沿自由度方向所附加支杆的反力就是。由此可得杆的反力就是。由此可得 。2/)()(PEtFtF （4）列方程）列方程 结构的运动方程如下结构的运动方程如下EP( )( )/2mycykyF tF t15. 2动力体系运动方程的建立动力体系运动方程的建立小小 结：结： (1)任意一个单自由度体系的振动问题，本质上都可抽象转任意一个单自由度体系的振动问题，本质上都可抽象转换成一个图示的质量、弹簧、阻尼器体系。从实际结构到抽换成一个图示的质量、弹簧、阻尼器体系

17、。从实际结构到抽象模型的关键是确定象模型的关键是确定m和计算和计算k（或或）。）。 P( )mycykyF tP( )ymycyF t当动荷载不作用于质量自由度方向时，只要以当动荷载不作用于质量自由度方向时，只要以FE(t)代替代替FP(t )，则运动方程形式完全一致。，则运动方程形式完全一致。 (2)任何单自由度体系的运动方程，均可表为任何单自由度体系的运动方程，均可表为二阶非齐次常微分方程形式。二阶非齐次常微分方程形式。 其中其中FE(t)是动荷载引起的作用是动荷载引起的作用于质量于质量m上的等效干扰力，上的等效干扰力，FD为体系的阻尼力、为体系的阻尼力、FS为体系变为体系变形所引起的恢复

18、力。上式也适用于其他阻尼和非线弹性体系。形所引起的恢复力。上式也适用于其他阻尼和非线弹性体系。EDS( )myF tFF15. 2动力体系运动方程的建立动力体系运动方程的建立(3)当体系处于线弹性、阻尼为等效粘滞阻尼时，运动当体系处于线弹性、阻尼为等效粘滞阻尼时，运动方程是二阶非齐次常系数线性微分方程：方程是二阶非齐次常系数线性微分方程： 。其中，其中，c为体系的阻尼系数，为体系的阻尼系数，k为体系的刚度系数，此时体为体系的刚度系数，此时体系称为线性体系（系称为线性体系（linear system）。）。E( )mycykyF t(4)等效干扰力等效干扰力 ，它和动荷载作用下附加，它和动荷载作

19、用下附加约束（为消除质量沿自由度方向运动而附加）上产生的支约束（为消除质量沿自由度方向运动而附加）上产生的支座反力大小相等、方向相反。座反力大小相等、方向相反。EPP( )/F tk(5)对于具体的单自由度结构，原则上用刚度法或柔度对于具体的单自由度结构，原则上用刚度法或柔度法都可以建立运动方程。但是，计算工作量有差异，要视法都可以建立运动方程。但是，计算工作量有差异，要视具体情况具体情况，灵活应用灵活应用。15. 2动力体系运动方程的建立动力体系运动方程的建立15. 2. 3 两个自由度体系运动方程建立举例两个自由度体系运动方程建立举例例题例题 8-4 试用刚度法建立图试用刚度法建立图8-1

20、1（其中图（其中图8-11a为结构图，为结构图，图图8-11b为动力分析计算简图，为动力分析计算简图，k1、k2为楼层侧移刚度）所示为楼层侧移刚度）所示刚架的运动方程。不考虑阻尼。刚架的运动方程。不考虑阻尼。解：解： 由于不计柱子的轴向变形，且横梁的刚度由于不计柱子的轴向变形，且横梁的刚度EI1=，因此体系只能产生楼层侧移，故自由度为因此体系只能产生楼层侧移，故自由度为2。结构各层的层间。结构各层的层间侧移刚度侧移刚度k1和和k2分别为：分别为：1331112242EIEIkhh32322482122hEIhEIk 15. 2动力体系运动方程的建立动力体系运动方程的建立设任意时刻质量设任意时刻

21、质量m1的位移为的位移为y1，m2的位移为的位移为y2，分别取分别取m1、m2为隔离体，分析其受力为隔离体，分析其受力动平衡方程I1S1P1( )0FFFtI2S2S1P2( )0FFFFtI111Fm y )(2111SyykF I222Fm y 222SykF 1S1SFF 1111122P12211122P2( )()( )m yk yk yFtm yk ykkyFt12112kkk 111kk 2122kkk 刚度系数刚度系数或反力系数反力系数15. 2动力体系运动方程的建立动力体系运动方程的建立 PtMYKYF2100mmM22211211kkkkK21yyY质量矩阵质量矩阵M 为一

22、对角矩阵，而为一对角矩阵，而刚度矩阵刚度矩阵K 为一对称矩阵。为一对称矩阵。这一结论对任何一个集中质量的多自由度线性体系均成立这一结论对任何一个集中质量的多自由度线性体系均成立。刚度系数刚度系数 kij 的物理意义为的物理意义为“仅当质量沿第仅当质量沿第j个自由度方向个自由度方向产生单位位移时，在第产生单位位移时，在第i个自由度方向所需施加的约束力个自由度方向所需施加的约束力”。)()()(21tFtFtPPPF11111122P122211222P2( )( )m yk yk yFtm yk yk yFt15. 2动力体系运动方程的建立动力体系运动方程的建立例题例题 15-5 用柔度法重新建

23、立图用柔度法重新建立图8-11(a) 所示刚架考虑等效粘所示刚架考虑等效粘滞阻尼时的运动方程。滞阻尼时的运动方程。解：解：211111kk221121k2221k)()()()(D2I22P22D1I11P212D2I22P12D1I11P111FFtFFFtFyFFtFFFtFy图示图示“结构结构”在单位广义力作用下所引起的位移系数在单位广义力作用下所引起的位移系数分别为分别为任一时刻质量任一时刻质量m1和和m2的位移为的位移为15. 2动力体系运动方程的建立动力体系运动方程的建立惯性力惯性力I111Fm y I222Fm y 根据等效粘滞阻尼假设，如果记根据等效粘滞阻尼假设，如果记质量质量

24、j自由度的单位速自由度的单位速度所引起某质量度所引起某质量i自由度方向的阻尼力为自由度方向的阻尼力为cij（此即（此即阻尼系数阻尼系数的的物理意义物理意义）D1111122()Fc yc y D2211222()Fc yc y 111P11111112212P222211222221P11111112222P222211222( )()( )()( )()( )()yFtm yc yc yFtm yc yc yyFtm yc yc yFtm yc yc y2221121122211211ccccC P()tY FMYCYK1 PtM YCYKYF15. 2动力体系运动方程的建立动力体系运动方程

25、的建立例题例题 15-6 试用柔度法建立图试用柔度法建立图15-14(a)所示刚架的运动方所示刚架的运动方程。不考虑杆件轴向变形，不考虑阻尼。程。不考虑杆件轴向变形，不考虑阻尼。解：解： 在不考虑在不考虑轴向变形条件下体轴向变形条件下体系的质量只能发生系的质量只能发生图示的图示的y1和和y2位移，位移，因此自由度为因此自由度为2，沿，沿y1方向质量为方向质量为2m，沿沿y2方向质量为方向质量为m。 按柔度法，作沿质量运动方向施加单位广义力的单位按柔度法，作沿质量运动方向施加单位广义力的单位弯矩图，和在动荷载作用下的荷载弯矩图，互乘可得弯矩图，和在动荷载作用下的荷载弯矩图，互乘可得 3P1PP1

26、P548F lFtEI 3P2PP2P8F lFtEI15. 2动力体系运动方程的建立动力体系运动方程的建立EIl3311EIl232112EIl34322111I112I21P221I122I22P( )( ).yFFtyFFt I112Fmy I22Fmy P YMYmmM0021p1pp2p2pp( )( )F tF tPEMYKYF311748lEIk32112718lEIkk P1128356ttFKFEP)(t223127EIkl15. 2动力体系运动方程的建立动力体系运动方程的建立15. 2. 4 多自由度体系运动方程建立举例及一般形式多自由度体系运动方程建立举例及一般形式例题例

27、题 15-7 试建立图示体系的运动方程。均质刚体，总试建立图示体系的运动方程。均质刚体，总质量为质量为m，转动惯量为转动惯量为J。不计阻尼。设地基为弹性体，其竖不计阻尼。设地基为弹性体，其竖向刚度为向刚度为2kV、水平刚度为水平刚度为kH。地面发生水平和竖向运动，地面发生水平和竖向运动，其位移分别为其位移分别为ug(t)、 vg(t)。( )mX t( )mY tJV()2bykV()2bykH()2axk解：质量块平解：质量块平面运动有水平、面运动有水平、竖向位移及转动，竖向位移及转动，为三个自由度的为三个自由度的体系。体系。设块体质心设块体质心O 相对于地面的水平位移为相对于地面的水平位移

28、为x，向右为正；向右为正；竖向位移为竖向位移为y ，向上为正；转角向上为正；转角，逆时针转为正。设绝对逆时针转为正。设绝对位移分别为位移分别为X、Y、g( )( )( )X tx tu tg( )( )( )Y ty tv t15. 2动力体系运动方程的建立动力体系运动方程的建立Ixg( )( )( )FtmX tmx tmu Iyg( )( )( )FtmY tmy tmv I( )( )FtJt HVHV0( ) ( )( )020( )( )00( ) ( )( )202222xyaFmX tx tt kFmY tk y taabbMJtx tt kkHHV22HVH( )( )( )(

29、 )2( )( )( )1( )(2)( )042ggamx tk x tktmutmy tk y tmvtaJta kb kk x t 运动方程为运动方程为列动力平衡方程列动力平衡方程15. 2动力体系运动方程的建立动力体系运动方程的建立例题例题 15-8 试建立图试建立图8-17所示体系的运动方程。不计阻所示体系的运动方程。不计阻尼。尼。mi为第为第i层刚性梁的质量，立柱为无重弹性杆。层刚性梁的质量，立柱为无重弹性杆。ki为第为第i层层楼层侧移刚度。楼层侧移刚度。 ug(t)为地面运动水平位移。为地面运动水平位移。解：解：设设i层楼面相对于地面的水平层楼面相对于地面的水平位移为位移为yi(

30、t)，体系的绝对位移列向量为体系的绝对位移列向量为( )( )( )gttut1Yy1 11T1I( )( )( )( )gtttut 1FMYMyMnmmmM1200S( )( )ttFKy1112212223323300n nkkkkkkkK1(1,2,1)iiiikkkin nnnkkiijjkijkkji( )( )( )gtttMyKyM u115. 2动力体系运动方程的建立动力体系运动方程的建立用刚度法和柔度法建立体系运动方程的具体步骤如下：用刚度法和柔度法建立体系运动方程的具体步骤如下：(1)确定体系的自由度及各自由度运动方向的质量，建立确定体系的自由度及各自由度运动方向的质量，

31、建立质量矩阵质量矩阵M。然后沿每一自由度方向附加约束，固定全部运然后沿每一自由度方向附加约束，固定全部运动质量。动质量。(2)求出作用在体系上所有外加荷载在各质量自由度方向求出作用在体系上所有外加荷载在各质量自由度方向的约束反力，从而组成矩阵的约束反力，从而组成矩阵FE。(3)根据根据kij的物理意义：仅当第的物理意义：仅当第j自由度方向给定一个单位自由度方向给定一个单位位移时，在第位移时，在第i个自由度方向所需要施加的约束力，求出刚度个自由度方向所需要施加的约束力，求出刚度系数系数kij ，从而得到刚度矩阵从而得到刚度矩阵K。EMYKYFEMYCYKYF(4)写出运动方程写出运动方程 或或

32、，阻尼矩阵详细情况到第阻尼矩阵详细情况到第7节再讨论。节再讨论。1)刚度法：刚度法：15. 2动力体系运动方程的建立动力体系运动方程的建立2)柔度法柔度法(4)写出运动方程写出运动方程 。PYMY(5)求解柔度矩阵的逆矩阵求解柔度矩阵的逆矩阵 。1K(6)最后可得最后可得 。EpM Y+KY=K =F(1)确定体系的自由度及各自由度方向的质量，建立质确定体系的自由度及各自由度方向的质量，建立质量矩阵量矩阵M。(2)计算作用在体系上全部动荷载在质量第计算作用在体系上全部动荷载在质量第i个自由度方个自由度方向引起的位移向引起的位移ip ，从而得到动荷载引起的各质量静位移向从而得到动荷载引起的各质量

33、静位移向量量p 。(3)在质量第在质量第j个的自由度方向施加单位力，计算在质量个的自由度方向施加单位力，计算在质量第第i个自由度方向引起的位移个自由度方向引起的位移ij，从而得到柔度矩阵从而得到柔度矩阵。15. 2动力体系运动方程的建立动力体系运动方程的建立EMYKYFEMYCYKYF无阻尼运动方程无阻尼运动方程PYMY12000000nmmmM111212122212nnnnnnkkkkkkkkkK111212122212nnnnnnT12nyyyYTP1P2PPnFFFFTPP1P2Pn TEE1E2EnFFFF1PPFK E111212122212nnnnnncccccccccC15.

34、2动力体系运动方程的建立动力体系运动方程的建立需要指出的是，需要指出的是，(1)刚度形式方程和柔度形式方程可以互换。采用哪一种，刚度形式方程和柔度形式方程可以互换。采用哪一种，要视问题的性质而定。要视问题的性质而定。对于多自由度静定结构用柔度法。剪对于多自由度静定结构用柔度法。剪切型串联多自由度结构用刚度法。切型串联多自由度结构用刚度法。(2)在单自由度体系中，刚度系数和柔度系数互为倒数；在单自由度体系中，刚度系数和柔度系数互为倒数；而在而在多自由度体系中多自由度体系中刚度矩阵与柔度矩阵互为逆矩阵，刚度矩阵与柔度矩阵互为逆矩阵，其对其对应系数不存在互为倒数的关系。应系数不存在互为倒数的关系。(

35、3)运动方程右端的等效干扰力向量，当动荷载直接作用运动方程右端的等效干扰力向量，当动荷载直接作用于质量时，为动荷载列向量，否则由前述约束反力变号组成于质量时，为动荷载列向量，否则由前述约束反力变号组成。(4)体系运动方程中的柔度矩阵、刚度矩阵并不等同于在体系运动方程中的柔度矩阵、刚度矩阵并不等同于在求解超静定结构时力法和位移法中的柔度矩阵、刚度矩阵。求解超静定结构时力法和位移法中的柔度矩阵、刚度矩阵。单自由度体系运动方程的一般形式单自由度体系运动方程的一般形式达朗伯原理达朗伯原理 dAlemberts principle弹性力弹性力, ,与位移方向相反与位移方向相反阻尼阻尼力力, ,与速度方向

36、相反与速度方向相反惯性力惯性力, ,与加速度方向相反与加速度方向相反必须明确的是必须明确的是15. 3 单自由度体系自由振动分析的回顾和扩展单自由度体系自由振动分析的回顾和扩展ky(t) my tFP(t) cy ty(t)kFP(t)C p( )my tcy tky tF t自由振动自由振动运动运动方程方程15. 3 单自由度体系自由振动分析的回顾和扩展单自由度体系自由振动分析的回顾和扩展15. 3. 1 自由振动分析主要内容的回顾自由振动分析主要内容的回顾 0my tcy tky t2,2kcmm2( )2( )( )0y ty ty t 称为体系的称为体系的自振频率自振频率，为为阻尼比阻

37、尼比（damping ratio）。）。 1小阻尼情况小阻尼情况(1)下的通解为下的通解为000ddd( )(cossin)tyyy teytt2d1 有阻尼自振频率有阻尼自振频率为为d( )sin()ty tAet22000dyyAyd000arctanyyydd2T 和和 分别为质量运动的分别为质量运动的初位移初位移、初速度初速度，统称为，统称为初始条初始条件件（initial condition）0y0y 最大振幅最大振幅初相位初相位周期周期15. 3 单自由度体系自由振动分析的回顾和扩展单自由度体系自由振动分析的回顾和扩展tvtytysincos)(00 2无阻尼自由振动无阻尼自由振动

38、( )sin()y tat2200()yay00arctanyy2T无阻尼振幅无阻尼振幅无阻尼初相位无阻尼初相位无阻尼周期无阻尼周期( (=0)=0)15. 3 单自由度体系自由振动分析的回顾和扩展单自由度体系自由振动分析的回顾和扩展15. 3 单自由度体系自由振动分析的回顾和扩展单自由度体系自由振动分析的回顾和扩展3一些结论一些结论（2）自振频率是结构的一个重要动力特性：）自振频率是结构的一个重要动力特性： 结构的自振频率只与结构的质量和刚度有关。对结构的自振频率只与结构的质量和刚度有关。对单自由度体系，自振频率与结构的刚度平方根成正比、单自由度体系，自振频率与结构的刚度平方根成正比、与质量

39、的平方根成反比。与质量的平方根成反比。 对于两个形式差异很大的结构，如果它的质量和对于两个形式差异很大的结构，如果它的质量和自振频率相等，则在同样初始条件、或同一动荷载作用自振频率相等，则在同样初始条件、或同一动荷载作用下它们的动力响应（位移、速度、加速度）相同。下它们的动力响应（位移、速度、加速度）相同。（1）由）由 可见，有阻尼自振频率小于无可见，有阻尼自振频率小于无阻尼自振频率。但由于阻尼比通常远小于阻尼自振频率。但由于阻尼比通常远小于1，因此两者差，因此两者差异甚小。实际分析中一般不计阻尼对自振频率的影响。异甚小。实际分析中一般不计阻尼对自振频率的影响。2d1 式中，式中，为体系的为体

40、系的柔度系数柔度系数，g为重力加速度，为重力加速度，W为重为重量（量（W=mg），）， 表示由重量表示由重量W沿质量运动方向作用时引沿质量运动方向作用时引起的静位移起的静位移( )。可见圆频率取决于系统的。可见圆频率取决于系统的m，k或或 。stW W/kst（3）圆频率有以下的恒等关系式）圆频率有以下的恒等关系式stgWgmmk 11kWmgstW15. 3 单自由度体系自由振动分析的回顾和扩展单自由度体系自由振动分析的回顾和扩展例题例题 15-9 图示三种不同支撑情况的单跨梁，图示三种不同支撑情况的单跨梁，EI=常数，在梁常数，在梁中点有一集中质量中点有一集中质量m，试求三者的自振频率。若

41、弹簧的刚度试求三者的自振频率。若弹簧的刚度 ，试比较三者的自振频率。，试比较三者的自振频率。1/21/2l/2l/2l/2l/2(a)(b)(c)(e)1l/415l/323l/16mml/2l/2mkk(f)(d)1/2k1/2k1l/4396klEI解：解：311 248klEI梁弹簧12333314876871248EIEImlmllmkEI，3248lEI梁337768lEI324kEI l123:1:1.414:2.138随着约束条件的加随着约束条件的加强，体系的刚度增强，体系的刚度增加，自振频率增加加，自振频率增加15. 3 单自由度体系自由振动分析的回顾和扩展单自由度体系自由振动

42、分析的回顾和扩展例题例题 15-10 求图求图 8-21(a) 所示体系的自振频率和周期。图所示体系的自振频率和周期。图中，中，BC杆和杆和CD杆为刚性杆，且不计各杆的质量。杆为刚性杆，且不计各杆的质量。解解： 选择选择CDCD杆的转角为体系的自由度。因为自由度是角杆的转角为体系的自由度。因为自由度是角位移，则相对于这个自由度的等效质量为各质量绕位移，则相对于这个自由度的等效质量为各质量绕D D点的转动点的转动惯量，即惯量，即22122lmmlm（a）l/2m2Allm1BCDEI（c）Dk（b）1Dllk212EIll/20DM6EIkl取图取图( (c)c)所示的隔离体所示的隔离体2212

43、2212/46226/4mlm llkEITmEImlm ll15. 3 单自由度体系自由振动分析的回顾和扩展单自由度体系自由振动分析的回顾和扩展15. 3. 2 确定体系阻尼比的一种方法确定体系阻尼比的一种方法dd2nnTkkdkdk+nt()tyytnTtnTeeekk+ntdtlnynTydd2T2d1kk+nt2t1ln21yny通常在0.020.2之间kk+ntt1ln2yny22cmkm15. 3 单自由度体系自由振动分析的回顾和扩展单自由度体系自由振动分析的回顾和扩展例题例题 15-11 图示刚架，柱的抗弯刚度图示刚架，柱的抗弯刚度EI=4.5106 Nm2，不计质量；横梁为刚性

44、，质量不计质量；横梁为刚性，质量m=5000 kg。为测得该结构的为测得该结构的阻尼系数，先用千斤顶使横梁产生阻尼系数，先用千斤顶使横梁产生25 mm的侧移，然后突然的侧移，然后突然放开，使刚架产生自由振动。经过放开，使刚架产生自由振动。经过5个周期后，测得横梁侧个周期后，测得横梁侧移的幅值为移的幅值为7.12 mm，试计算结构的等效粘滞阻尼系数。试计算结构的等效粘滞阻尼系数。解：解：62633124.5 10 N m12224.0 10 N/m(3 m)EIkhkk+ntt1125 mmlnln0.0422 57.12 mmyny 6222 0.044.0 10 N m5000 kg1131

45、3.7 kg/sckm 钢筋混凝土和砌体结构钢筋混凝土和砌体结构 ，钢结构钢结构 。各种坝体的各种坝体的 。0.04 0.050.02 0.030.03 0.215. 3 单自由度体系自由振动分析的回顾和扩展单自由度体系自由振动分析的回顾和扩展例题例题 15-12 试求例题试求例题15-11中图示刚架的自振频率，并与中图示刚架的自振频率，并与有阻尼自振频率比较。有阻尼自振频率比较。解：解：624 10 N m28.284 rad/s5000 kgkm22d128.284 rad/s 10.0428.261 rad/sdd100%0.081% 工程中取工程中取 是有足够精度的。是有足够精度的。d

46、15. 3 单自由度体系自由振动分析的回顾和扩展单自由度体系自由振动分析的回顾和扩展15. 4 单自由度体系的受迫振动单自由度体系的受迫振动15. 4. 1 简谐荷载简谐荷载作用作用下动力响应的回顾及扩展下动力响应的回顾及扩展 p( )my tcy tky tF tP0( )sin F tFtd0d0d( )sin()sin()sin()tty tAetAetAt2200d00d00(), tan,yyyAyyyd222tan21 0022222114FAm 22tan1频率比频率比（frequency ratio），），简称简称频比频比。15. 4 单自由度体系的受迫振动单自由度体系的受迫振

47、动 自由振动自由振动 伴随自由振动伴随自由振动 纯受迫振动纯受迫振动d0d0d( )sin()sin()sin()tty tAetAetAt瞬态响应瞬态响应 transient state response）稳态响应稳态响应（steady state response）称为位移称为位移动力放大系数动力放大系数（dynamic magnification coefficient），），是动力位移幅值是动力位移幅值A0与相应静位移与相应静位移yst的比值。的比值。称为称为相位角相位角。频率比。频率比/15. 4 单自由度体系的受迫振动单自由度体系的受迫振动（1）稳态响应的动力放大系数与相位角稳态响

48、应的动力放大系数与相位角0st( )sin()sin()y tAtyt00st2FFykm02222st114Ay 22tan1当不计阻尼时当不计阻尼时21 (1)oo0 180 1（ 1） （）15. 4 单自由度体系的受迫振动单自由度体系的受迫振动当共振（当共振（resonance）时时 ， ；1/2动力放大系数最大值发生在动力放大系数最大值发生在212在实际工程中，一般应使结构的自振频率至少和荷载频率在实际工程中，一般应使结构的自振频率至少和荷载频率相差相差30%30%左右，以便避开共振。左右，以便避开共振。15. 4 单自由度体系的受迫振动单自由度体系的受迫振动（2）稳态响应体系内各种

49、力的平衡）稳态响应体系内各种力的平衡惯性力：惯性力： 阻尼力：阻尼力：恢复力：恢复力： 2I0( )( )sin()F tmy tFt D0( )( )2cos()Ftcy tFt 0( )( )sin()SF tky tFt 当当0（自振频率远大于荷载频率）时，自振频率远大于荷载频率）时，FI(t)、 FD(t)趋趋于零，于零， 也趋于零，因此外荷载主要由恢复力平衡，这时体系也趋于零，因此外荷载主要由恢复力平衡，这时体系响应与静力结果相差不大。响应与静力结果相差不大。当当 （自振频率远小于荷载频率）时（自振频率远小于荷载频率）时1/20 ， FD(t)、 FS(t)趋于零，趋于零，也趋于零，

50、此时外荷载主要由质量的也趋于零，此时外荷载主要由质量的惯性力平衡。惯性力平衡。当当1 （共振）时，（共振）时，1/(2) ，/2 ， FI(t)+ FS(t) 0 ，外荷载主要由阻尼力来平衡。，外荷载主要由阻尼力来平衡。15. 4 单自由度体系的受迫振动单自由度体系的受迫振动需要指出的是：需要指出的是：在共振区（在共振区（0.75 1.25）以内，阻尼力的影响是不可）以内，阻尼力的影响是不可忽略的。但是在共振区以外，有时为了简化计算，可以不考忽略的。但是在共振区以外，有时为了简化计算，可以不考虑阻尼力影响。虑阻尼力影响。当不考虑阻尼时，由于相位角当不考虑阻尼时，由于相位角=0或或 =，因此位移

51、响因此位移响应与干扰力同步或反向。应与干扰力同步或反向。15. 4 单自由度体系的受迫振动单自由度体系的受迫振动（3）稳态响应结构动位移和动内力的计算）稳态响应结构动位移和动内力的计算00st2FFykm2222114 tan 221-st( )sin()y tyt体系的质量体系的质量m、刚度刚度k和阻尼比和阻尼比P0( )sin F tFt1kmm阻尼力阻尼力FD(t)，惯性力惯性力FI(t) ( )y t( )y t动内力图动内力图荷载直接荷载直接作用于质作用于质量量15. 4 单自由度体系的受迫振动单自由度体系的受迫振动例题例题15-13 不计阻尼，试求图不计阻尼，试求图15-25所示简

52、支梁的最大动位所示简支梁的最大动位移和最大动弯矩。已知移和最大动弯矩。已知 。0.6解：解：211.56251 0.60.630st48F lyEI30maxst1.562548F lyyEI2I0( )sinF tFt22PI0002( )( )(1)sin(1)sinsin1F tF tFtFtFtmax0st0.25MF lMst00.25MF l当荷载直接作用于质量时，动内力放大系数等于动位移当荷载直接作用于质量时，动内力放大系数等于动位移放大系数放大系数。15. 4 单自由度体系的受迫振动单自由度体系的受迫振动例题例题 15-14 不计阻尼，试求图不计阻尼，试求图8-26所示简支梁的

53、最大动位所示简支梁的最大动位移和最大动弯矩。已知移和最大动弯矩。已知 。0.6解：解： EP1116tFt /F30st11768F lyEI1.56252E000111 5625 0 360 386716.FFFmax00 2358M.F lstmax00.1875MF l0 2358 0 18751 2576i./ .动荷载不直接作动荷载不直接作用在质量上时，用在质量上时，动内力放大系数动内力放大系数和动位移放大系和动位移放大系数并不相同数并不相同,而而且不同截面对应且不同截面对应的动弯矩和静弯的动弯矩和静弯矩比值也不同矩比值也不同。直接将荷载和惯性力幅值作用在体系上，按直接将荷载和惯性力幅值作用在体系上，按“静力静力”计计算的方法求最大动内力算的方法求最大动内力。15. 4 单自由度体系的受迫振动单自由度体系的受迫振动15. 4. 2 单自由度体系受迫振动的一般解单自由度体系受迫振动的一般解E( )( )(