13+拉普拉斯变换

1、1第十三章第十三章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换13-1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义本章主要内容：本章主要内容：介绍拉普拉斯变换在线性电路中的应用。涉及：涉及：拉普拉斯变换(拉氏变换)的定义、用部分分式法(分解定理)求拉氏反变换、拉氏变换与电路分析有关的一些性质、运算电路概念、应用拉氏变换分析线性电路。拉普拉斯变换是一种积分变换法通过积分变换可以将时域函数变为频域函数，从而把时域的微分方程化为频域的代数方程。经过拉普拉斯反变换又可以将计算结果返回时域。所以用拉普拉斯变换法求解高阶复杂动态电路是有效而重要的方法之一。2对于定义在0，)区间的函数 f(t)，其拉普拉斯变换式F(s)dtetf

2、sFst0)()(拉普拉斯变换的定义：式中，s=+j， F(s)称为 f(t)的象函数， f(t) 称为 F(s)的原函数在数学理论中，若对于所有t 满足条件：ctMetf)(则 f(t)的拉氏变换F(s)总是存在。本书涉及的f(t)均满足上述条件拉普拉斯反变换的定义：dsesFjtfjcjcst)(21)(式中，M , c为正的有限常数用 表示对中括号中的时域函数作拉氏变换用 表示对中括号中的复变函数作拉氏反变换例如：F(s)= f(t)=dtetfst0)(13求下列函数的象函数F(s)单位阶跃函数单位冲激函数指数函数例：例：13-1413-2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质与分析线

3、性电路有关的一些性质1、线性性质、线性性质设： f1(t)=F1(s)， f2(t)=F2(s)则： A1 f1(t)+ A2 f2(t)=A1F1(s)+ A2F2(s)证：A1 f1(t)+ A2 f2(t)=dtetfAtfAst)()(22101)()()()(sFAsFAdtetfAdtetfAstst22110220115例：例：13-2若：)1 ()()2()sin()() 1 (ateKtfttf以上函数的定义域均为0，求其象函数。62、微分性质、微分性质若： f (t)=F (s) 则： f (t)=sF (s)-f(0-)系：的象函数之间有如下关的象函数与其导数函数dttd

4、ftftf)()( )(证：设e-st=u， f(t)dt=dv，则：0000)()0()()()()( dtetfsfedtfetfdtetfststststvduuvdvu利用只要s的实部足够大，当t 时，e-stf(t) 0，所以F(s)存在，微分性质得证。7例：例：13-3)()()2()cos()() 1 (ttfttf应用导数性质求下列函数的象函数83、积分性质、积分性质系：的象函数之间有如下关的象函数与其积分函数tdftf0)()(若： f (t)=F (s) 则：ssFdft)()(0只要s的实部足够大，当t 及t=0-时，等式右边第一项均为0，所以积分性质得证。)(1)(1)

5、(000sFsdtetfssedfststt证：令 ， dv = e-stdt，则：00000)()()(dtsetfsedfdtedfststtsttvduuvdvu利用dttfu)(stesvdvtfdu1)(，9例：例：13-4利用积分性质求函数 f(t)=t 的象函数104、延迟性质、延迟性质函数 f(t)的象函数与其延迟函数 f(t-t0)的象函数之间的关系为：若： f (t)=F (s) 则：)()(00sFettfst其中：当tt0时，f(t-t0)=0证：令 =t-t0则：0)(0defesst所以延迟性质得证。defdtettfttftsst0)(0000)()()(11例：

6、例：13-5求图示矩形脉冲的象函数12常用拉普拉斯变换表1313-3 拉普拉斯反变换的部分分式展开拉普拉斯反变换的部分分式展开拉普拉斯反变换可以将频域响应返回至时域响应。拉普拉斯反变换的定义：1dsesFjtfsFjcjcst)(21)()(式中，c为正的有限常数拉普拉斯反变换的计算较复杂，一般多采用部分分式展开的方法间接求得。nnnmmmbsbsbasasasDsNsF110110)()()(设F(s)可以表示为如下的有理分式，m 和n 为正整数，且 n m 。当n =m ，则：)()()(0sDsNAsF其中A为常数，为真分式)()(0sDsN14当n m ， F(s)为真分式，可以根据以

7、下几种情况展开为部分分式nnnmmmbsbsbasasasDsNsF110110)()()(1、D(s)=0 有n个单根，其中n个单根分别为：p1、 p2、 pn、nnpsKpsKpsKsF2211)(则：ipsiisFpsK)()(待定系数：ipsisDsNK)( )(或：i =1、2、 、n15例：例：13-6)(10712F(s)23tfssss的原函数求：162、D(s)=0 具有共轭复根p1=+j ，p2 =-j2211)(psKpsKsF则：jsjssDsNsFjsK)( )()()(1待定系数：jsjssDsNsFjsK)( )()()(2tjjtjjtjtjeeKeeKeKeK

8、tf)(1)(1)(2)(111)(，则有：，设111211jjeKKeKK)cos(211)()(111teKeeeKttjtjt17例：例：13-7)(523F(s)2tfsss的原函数求：183、D(s)=0 具有q阶重根p1 ， 其余为单根p2、 p3、)()()()(2211121)1(111psKpsKpsKpsKsFqqq则：1)()(111psqsFpsK其中：1)()(112psqsFpsdsdK1)()(2112213psqsFpsdsdK1)()()!1(11111psqqqqsFpsdsdqK 22)( )()()(22pspssDsNsFpsK19例：例：13-8)(

9、)(tfss的原函数求：2311F(s)2013-4 运算电路运算电路对电路定律的时域形式取拉氏变换，可以得到其运算形式基尔霍夫定律的时域形式：对于任一结点，i (t)=0；对于任一回路，u (t)=0由拉氏变换的线性性质，基尔霍夫定律的运算形式：对于任一结点，I (s)=0对于任一回路，U (s)=01、电阻的运算电路Ri(t)+ u(t) -Ri(t)+ u(t) -时域电路u(t) =R i(t) 由线性性质，运算电路U(s) =R I(s) 212、电感的运算电路对于时域电路dttdiLtu)()(由微分性质，得运算电路)()()(0LissLIsU(a)其中：sL 为电感的运算阻抗，

10、i(0-) 为电感中的初始电流(b)附加电压源电感运算关系又可以表示为：sisUsLsI)()()(011/sL为电感的运算导纳，对应图（c）运算电路(c)附加电流源223、电容的运算电路对于时域电路)0()(1)(0udttiCtut由积分性质，得运算电路susIsCsU)0()(1)(a)其中：1/sC 为电容的运算阻抗，u(0-) 为电容中的初始电压(b)附加电压源电容运算关系又可以表示为：)0()()(CussCUsI(c)sC为电容的运算导纳，对应图（c）运算电路附加电流源234、耦合电感的运算电路对于时域电路dtdiMdtdiLu2111(a)dtdiMdtdiLu1222附加电压

11、源两边取拉氏变换得耦合电感运算电路：)0()()0()()()0()()0()()(11222222211111MissMIiLsIsLsUMissMIiLsIsLsUsL 为自感运算阻抗，sM为互感运算阻抗24RLC串联的运算电路由U (s)=0，得到电路的运算方程)()0()(1)0()()(sUsusIscLissLIsRICsuLisUsIscsLRC)0()0()()()1(或：suLisUsIsZC)0()0()()()(Z(s)为运算阻抗2513-5 应用应用拉普拉斯变换法分析线性电路拉普拉斯变换法分析线性电路相量法把正弦量变换为相量（复数），将求解线性电路的正弦稳态问题转换为求解以相量为变量的线性代数方程。运算法把时间函数变换为对应的象函数，将问题转换为求解以象函数F(s)为变量的线性代数方程。需要时，利用拉普拉斯反变换，可以将向函数变换为对应的时间函数26例：例：13-9电路原处于稳态，t = 0时开关S闭合，试用运算发求解i1(t) 。对应的运算电路时域电路27例：例：13-10电路如图所示，RC为并联电路，激励为电流源iS (t) 若：(1) iS (t) = (t) A；(2) iS (t) = (t) A 。试求电路响应 u (t) 。28例：例：13-11图示电路原处于稳态，t = 0时开关S