排列组合与二项式综合练习

1、排列、组合与二项式1、乘法原理乘法原理 如果完成一件事需要如果完成一件事需要n个步骤，第个步骤，第1 1步有步有m1 1种不同的种不同的方法，第方法，第2 2步有步有m2 2种不同的方法，种不同的方法， 第第n步有步有mn种不种不同的方法，那么完成这件事共有同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法。种不同的方法。12nNmmm 2、加、加法原理法原理 如果完成一件事有如果完成一件事有n类办法，在第类办法，在第1 1类办法中有类办法中有m1 1种不种不同的方法，在第同的方法，在第2 2类办法中有类办法中有m2 2种不同的方法，种不同的方法， 在在第第n类办法中有类办法中有mn种不同的方法，那么

2、完成这件事共有种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法。种不同的方法。12nNmmm 3、排列的定义、排列的定义 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m 个元素，个元素，按照一定的次序排成一列，叫做按照一定的次序排成一列，叫做从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个排列个元素的一个排列。()mn 当当 时，叫做时，叫做n个不同元素的全排列个不同元素的全排列。mn 4、组合的定义、组合的定义 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m 个元素并个元素并成一组，叫做成一组，叫做从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个组合个元素的一个组合

3、。()mn ,mmmnnmPCPmmnnmmPCP 从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的组合数公式为：个元素的组合数公式为：5、组合数公式、组合数公式(1)(1)!n nnmm !.!()!nm nm 01nC 6 6、组合数的性质、组合数的性质(1);mn mnnCC 11(2).mmmnnnCCC 7 7、排列组合综合题的常用解法：、排列组合综合题的常用解法：1 1、特殊优先法；、特殊优先法；2 2、相邻问题捆绑法；、相邻问题捆绑法；3 3、相离问题插入法；、相离问题插入法；4 4、排除法（间接法）；、排除法（间接法）；5 5、插隔板法；、插隔板法；6 6、定序问题机会均等法；

4、、定序问题机会均等法；7 7、选排问题先选后排法法；、选排问题先选后排法法；8、二项式定理、二项式定理() (*)nabnN等式右边的式子叫做等式右边的式子叫做 的二项展开式。的二项展开式。以上这个公式叫做二项式定理。以上这个公式叫做二项式定理。011222()nnnnrn rrnnnnnnnabC aC abC abC abC b 一般地，对于一般地，对于 都有：都有：*nN 0nC其中其中 、 、 、 、 叫做二项式系数。叫做二项式系数。1nC2nCnnC0nnC a 其中其中 、 、 、 、 、 、叫做二项式的项。展开式共有叫做二项式的项。展开式共有n+1 1项。项。11nnC ab 2

5、22nnC ab rn rrnC ab nnnC b1rn rrrnTC ab 叫做展开式的通项（第叫做展开式的通项（第r+1 1项）。项）。0122 .nnnnnnCCCC 3 3、二项式系数的和：、二项式系数的和： 02413512.nnnnnnnCCCCCC 9 9、二项式系数的性质：、二项式系数的性质：1 1、对称性：、对称性：.mn mnnCC 2 2、增减性与最大值：、增减性与最大值：当当n=2k时，中间一项系数最大；即时，中间一项系数最大；即 2.kkC当当n=2k+1时，中间两项系数最大；即时，中间两项系数最大；即 与与 12121.kkkkCC 1 1、9 9张卡片分别写着数

6、字张卡片分别写着数字0 0、1 1、2 2、 、8 8，从中取出，从中取出3 3张排成张排成1 1排组成排组成1 1个三位数，如果个三位数，如果6 6可以当作可以当作9 9使用。使用。问可以组成多少个三位数？问可以组成多少个三位数？2 2、在一凸、在一凸n n边形内，如果对角线都不互相平行，且对角边形内，如果对角线都不互相平行，且对角线没有线没有3 3线共点的情况，则对角线在线共点的情况，则对角线在n n边形内的交点的个边形内的交点的个数有多少个？数有多少个？3 3、从、从1111副不同尺寸的手套中任意取出副不同尺寸的手套中任意取出8 8只，没有任何只，没有任何2 2只只成对（成为一副相同尺寸

7、的手套）的取法有多少种？成对（成为一副相同尺寸的手套）的取法有多少种？4 4、已知直线、已知直线 中的中的a、b、c是取自集合是取自集合 中的中的3 3个不同的元素，并且该个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，求符合这些条件的直线的条数？直线的倾斜角为锐角，求符合这些条件的直线的条数？0axbyc 3,2,1, 0,1, 2, 3 5 5、将正整数、将正整数n表示成表示成k个正整数的和（不计次序，比如个正整数的和（不计次序，比如1+21+2与与2+12+1并无区别），称为将正数并无区别），称为将正数n分成分成k个部分的个部分的1 1个划分，个划分，1 1个划分中的各加数和另个划分中的各加数和另1 1个划分中的各加数不全相同称为个划分中的各加数不全相同称为不同的划分，将正整数不同的划分，将正整数n划分成划分成k个部分的不同的划分个部分的不同的划分的个数记的个数记为为P(P(n, , k) )，则，则P(10, 4)=P(10, 4)=？6 6、已知数列、已知数列 （n为正整数）是首项是为正整数）是首项是a1 1, ,公比为公比为q的的等比数列。等比数列。（1 1）求和：）求和：（2 2）由（）由（1 1）的结果归纳概括出关于正整数）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，的一个结论，并加以证明；并加以证明；（3