第二章货币时间价值-2

1、货币的时间价值货币的时间价值l 年年 金金年年 金金l概念概念 一定时期内一定时期内固定间隔固定间隔，每次，每次等额等额收付的系列款项。收付的系列款项。 具有两个特点：一是金额相等；二是时间间隔相等。具有两个特点：一是金额相等；二是时间间隔相等。例如：例如：零存整取，每月存入银行等额资金，年底一次性支取；零存整取，每月存入银行等额资金，年底一次性支取；固定股利政策，每年向投资者支付等额（固定股利政策，每年向投资者支付等额（1010万元）现金股利；万元）现金股利；某项目从经营期第某项目从经营期第2 2年起，每年获利现金净流量均为年起，每年获利现金净流量均为8080万元。万元。【提示提示】l年金收

2、付的间隔时间不一定是年金收付的间隔时间不一定是1 1年，可以是半年、年，可以是半年、一个季度或者一个月等。一个季度或者一个月等。l年金收付的起止时间可以是从任何时点开始，如年金收付的起止时间可以是从任何时点开始，如一年的间隔期，不一定是从一年的间隔期，不一定是从1 1月月1 1日至日至1212月月3131日，日，可以是从当年可以是从当年7 7月月1 1日至次年日至次年6 6月月3030日。日。年金的种类：年金的种类：年金按收付款时间不同，分为四种类型：年金按收付款时间不同，分为四种类型：普通年金普通年金即付年金即付年金递延年金递延年金永续年金永续年金 普通年金普通年金 从第一期开始从第一期开始

3、每期期末每期期末收款或付款的年金。收款或付款的年金。AAAA123401. 1. 普通年金的终值普通年金的终值 被称为被称为“年金终值系数年金终值系数”，或，或 “一元的年金终值一元的年金终值”，可查可查附表三附表三。（F/A，i，n）例：例：普通普通年金终值年金终值计算计算 小王是位热心公益事业的人，自1995年12月底开始，每年都向一位失学儿童捐款1000元，帮助这位儿童从小学一年级读完九年义务教育。假设每年定期存款利率都是2%，小王九年捐款在2003年底相当于多少钱? F = 1 000+1 000(1+2%)+1 000(1+2%)2+ + 1 000 (1+2%)8 = 1 000

4、( F/A，2%，9) =1 0009.7546 =9 754.6（元）例：例：lA A矿业公司欲公开拍卖一处矿产开采权，因此向各国煤炭矿业公司欲公开拍卖一处矿产开采权，因此向各国煤炭企业招标开矿。已知甲、乙公司的投标书最有竞争力。企业招标开矿。已知甲、乙公司的投标书最有竞争力。l甲公司投标书：如果取得开采权，从获得开采权的第甲公司投标书：如果取得开采权，从获得开采权的第l l年年开始，每年末向开始，每年末向A A公司交纳公司交纳l0l0亿美元的开采费，直到亿美元的开采费，直到l0l0年年后开采结束。后开采结束。l乙公司的投标书：取得开采权时，立刻付给乙公司的投标书：取得开采权时，立刻付给A

5、A公司公司4040亿美亿美元，在元，在8 8年后开采结束，再付给年后开采结束，再付给6060亿美元。亿美元。l若若A A公司要求年投资回报率达到公司要求年投资回报率达到15%15%，应接受哪个公司的，应接受哪个公司的投标投标? ? 解：解：l甲公司的方案对甲公司的方案对A公司来说是一笔年收款公司来说是一笔年收款l0亿美亿美元的元的l0年年金，其终值计算如下：年年金，其终值计算如下：lF =10（F/A，15%，10） =1020.304 =203.04（亿） 年金终值年金终值 乙公司的方案对乙公司的方案对A A公司来说是两笔收款，分别计算公司来说是两笔收款，分别计算其终值：其终值：l第第1笔笔

6、收款收款(40亿亿)的终值的终值 F1= 40(F/P，15%，10)= 40(1+15%)10 = 404.0456 =161.824(亿亿)l第第2笔笔收款收款(60亿美元）的终值亿美元）的终值 F2 = 60(F/P，15%，2)= 60(1+15%)2 = 601.3225 =79.35(亿亿)l终值合计：终值合计：F =l61.824+79.35 = 241.174(亿亿)l甲公司付出的款项终值小于乙公司付出的款项的终甲公司付出的款项终值小于乙公司付出的款项的终值，应接受乙公司的投标。值，应接受乙公司的投标。2.2.普通年金的现值普通年金的现值为为“年金现值系数年金现值系数”或或“一

7、元的年金现值一元的年金现值”，查，查附附表四表四。用复利现值推导出来（F/A，i，n）例：例：l某投资项目于2000年初动工，当年投产，从投产之日起每年可得收益40 000元。按年利率6%计算，计算预期l0年收益的现值。l解： P 40 000（P/A，6%，l0） 40 0007.3601 294 404（元） 例：例：l刘女士最近准备买房，看了几家开发商的售房方案，其中一个方案是A开发商出售一套100平方米的住房，该房屋目前市场价格为4000元/平方米（需要一次性付款），如果分期付款，A开发商要求首期支付20万元，然后分6年每年年末支付6万元。如果贷款利率为6%。l分期付款对刘女士是否合算

8、？解：解：l分期付款刘女士付给A开发商的资金现值为： P = 20+ 6（P/A，6%，6） = 20+ 64.9173 =20+ 29.5038 = 49.5038（万元） 如果直接按每平方米4 000元购买，只需要付出40万元，可见分期付款不合算。 即付年金即付年金也称为先付年金。也称为先付年金。从第一期开始从第一期开始每期期初每期期初收款、付款的年金，收款、付款的年金，A (1+i)1A (1+i)2A (1+i)3A (1+i)4推导到推导到n次方次方0 1 2 3 A A A比较比较普通年金普通年金1 1、即付年金的终值、即付年金的终值l是把即付年金每个等额是把即付年金每个等额A都换

9、算成第都换算成第n期期末的数值，期期末的数值，再来求和。再来求和。 l【方法一方法一】将即付年金看成普通年金，套用普通年金将即付年金看成普通年金，套用普通年金终值的计算公式，计算终值，得出来的是在最后一个终值的计算公式，计算终值，得出来的是在最后一个A位置上的数值，即第位置上的数值，即第n-1期期末的数值，再将其向期期末的数值，再将其向后调整一期，得出要求的第后调整一期，得出要求的第n期期末的终值，即：期期末的终值，即：lFA(F/A，i，n) (1i)【方法一方法一】后后(1i)【方法二方法二】分两步进行分两步进行l第一步：先把即付年金转换成普通年金。转换的方法是：假设最后第一步：先把即付年

10、金转换成普通年金。转换的方法是：假设最后一期期末有一个等额款项的收付，这样，就转换为普通年金的终值一期期末有一个等额款项的收付，这样，就转换为普通年金的终值问题，按照普通年金终值公式计算终值。不过要注意这样计算的终问题，按照普通年金终值公式计算终值。不过要注意这样计算的终值，其期数为值，其期数为n1。l第二步：进行调整。即把多算的在终值点位置上的这个等额收付的第二步：进行调整。即把多算的在终值点位置上的这个等额收付的A减掉，就得到即付年金的终值计算公式。即付年金的终值系数和减掉，就得到即付年金的终值计算公式。即付年金的终值系数和普通年金相比，期数加普通年金相比，期数加1，而系数减，而系数减1。

11、l即即：FA（F/A，i，n1）1nA实际不存在实际不存在 F A(F/A，i，n1) A A(F/A，i，n1)10 1 n-2 n-1例：即付年金终值例：即付年金终值l为了筹集一笔资金，王先生连续为了筹集一笔资金，王先生连续6年，于每年年初年，于每年年初存入银行存入银行3 000元。若银行存款利率为元。若银行存款利率为5%，王先生，王先生在第在第6年末能一次取出本利和多少钱年末能一次取出本利和多少钱? l解解： F= A(F/A，i，n+1)-1 = 3 000(F/A，5%，7)-1= 3 000(8.1420-1)= 21 426 (元元)例：例：孙女士在邻近城市看到某品牌餐厅生意很好

12、。她也孙女士在邻近城市看到某品牌餐厅生意很好。她也想在自己所在的城市开一个连锁餐厅，于是找到业内人想在自己所在的城市开一个连锁餐厅，于是找到业内人士进行咨询。士进行咨询。l餐厅总部工作人员告诉她，如果要加入餐厅的经营队伍，餐厅总部工作人员告诉她，如果要加入餐厅的经营队伍，必须一次性支付必须一次性支付5050万元，并按该品牌的经营模式和经营万元，并按该品牌的经营模式和经营范围营业。范围营业。l加盟费也可分期支付，条件是从开业当年起，每年年初加盟费也可分期支付，条件是从开业当年起，每年年初支付支付2020万元，付万元，付3 3年。三年中如果有一年没有按期付款，年。三年中如果有一年没有按期付款，总部

13、将停止专营权的授予。总部将停止专营权的授予。l孙女士资金不足，需要到银行贷款，按其所在城市有关孙女士资金不足，需要到银行贷款，按其所在城市有关扶持创业投资的计划，可获得年利率为扶持创业投资的计划，可获得年利率为5%5%的贷款。的贷款。l请问孙女士现在应该一次支付还是分次支付请问孙女士现在应该一次支付还是分次支付? ?解：解：l如果分次支付，则其如果分次支付，则其3年终值为：年终值为： F=20（F/A，5%，3）（1+5%）=203.15251.05 =66.2025（万元）（万元） l或者或者 F=20（F/A，5%，4）-1 =20（4.3101-1）=66.202（万元）（万元）l如果一

14、次支付，则其如果一次支付，则其3年的终值为：年的终值为：50（F/P，5%，3）=501.1576=57.88（万元）（万元）l相比之下，一次支付效果更好。相比之下，一次支付效果更好。 2 2、即付年金的现值、即付年金的现值l 是各期的年金分别求现值，然后相加。是各期的年金分别求现值，然后相加。l【方法一方法一】分两步进行：分两步进行：第一步，先把即付年金看成普通年金，套用普通年第一步，先把即付年金看成普通年金，套用普通年金现值的计算公式，计算现值。注意这样得出来的金现值的计算公式，计算现值。注意这样得出来的是第一个是第一个A前一期位置上的数值。前一期位置上的数值。第二步，进行调整。即把第一步

15、计算出来的现值乘第二步，进行调整。即把第一步计算出来的现值乘以（以（1i）向后调整一期，即得出即付年金的现值。）向后调整一期，即得出即付年金的现值。PA（P/A，i，n）（1i） PA（P/A，i，n）（1i）0 1 n-2 n-1 n(1i)【方法二】分两步进行：分两步进行： l第一步，先把即付年金转换成普通年金进行计算。转第一步，先把即付年金转换成普通年金进行计算。转换方法是，假设第换方法是，假设第1期期初没有等额的收付，这样就转期期初没有等额的收付，这样就转换为普通年金了，可以按照普通年金现值公式计算现换为普通年金了，可以按照普通年金现值公式计算现值。注意，这样计算出来的现值为值。注意，

16、这样计算出来的现值为n1期的普通年金期的普通年金现值。现值。l第二步，进行调整。即把原来未算的第第二步，进行调整。即把原来未算的第1期期初的期期初的A加加上，就得到了即付年金现值。即付年金现值系数与普上，就得到了即付年金现值。即付年金现值系数与普通年金现值系数相比，期数减通年金现值系数相比，期数减1，系数加，系数加1。 PA （P/A，i，n1）1 0 1 n-1 n A A A实际存在实际存在P A(P/A，i，n-1) +A A(P/A，i，n-1)+1例：即付年金现值例：即付年金现值l张先生采用分期付款方式购入商铺，每年年初付款150 000元，分10年付清。若银行利率为6%，该项分期付

17、款相当于一次现金支付的购买价是多少? l解： PA（P/A，i，n-1）1150 000（P/A，6%，9）1150 000（6.80171） 1 170 255（元）按现值计算孙女士计划开餐厅的例子：l如果一次支付，其现值为：如果一次支付，其现值为：P=50P=50（万元）（万元）l如果分次支付，如果分次支付，3 3年中每年年初支付年中每年年初支付2020万元的现值为：万元的现值为： P=20P=20（P/AP/A，5%5%，3 3）（1+5%1+5%）l或者：或者：P=20P=20 （P/AP/A，5%5%，4 4）-1-1例：例：l李博士是国内某领域的知名专家，某日接到一家上市公司的邀请

18、函，邀请他作为公司的技术顾问，指导开发新产品。邀请函的具体条件如下：（1）每个月来公司指导工作一天；（2）每年聘金l0万元；（3）提供公司所在地A市住房一套，目前市值80万元；（4）在公司至少工作5年。 李博士对以上工作待遇很感兴趣，对公司开发的新李博士对以上工作待遇很感兴趣，对公司开发的新产品也很有研究，决定应聘。产品也很有研究，决定应聘。l但李博士不想接受住房，因为每月工作一天，只需要住公司招待所就可以了，住房没有专人照顾，因此他向公司提出，能否将住房改为住房补贴。l公司研究了李博士的请求，决定可以在今后5年里每年年初给李博士支付16万元房贴。l收到公司的通知后，李博士又犹豫起来，因为如果

19、向公司要住房，可以将其出售，扣除售价5%的契税和手续费，他可以获得76万元。l假设每年存款利率为2%，李博士应该如何选择? 解：解：l要解决上述问题，主要是要比较李博士每年收到16万元的现值与售房76万元的大小问题。由于房贴每年年初发放，因此是一个即付年金。其现值计算如下： P=16（P/A，2%，4）+1=163.8077+1=164.8077=76.9232（万元）76l从这一点来说，李博士应该接受房贴。如果李博士本身是一个企业业主，其资金的投资回报如果李博士本身是一个企业业主，其资金的投资回报率为率为15%15%，则他应如何选择呢？，则他应如何选择呢？l在投资回报率为15%的条件下，每年

20、16万的住房补贴现值为： P=16（P/A，15%，4）+1 =162.855+1=163.855 =61.68（万元）76l在这种情况下，应接受住房。 【总结总结】l关于即付年金的现值与终值计算，都可以以普通年金的计算为基础进行，也就是在普通年金现值或终值的基础上，再乘以（1+i）。lFA (F/A，i，n) (1i)lPA (P/A，i，n) (1i） 递延年金 是第一次等额收付发生在第二期或第二期以后的年金。1.1.递延年金终值计算递延年金终值计算l计算递延年金终值和计算普通年金终值基本一样，只是注意扣除递延期即可。l FA（F/A，i，n）2.2.递延年金现值的计算递延年金现值的计算l

21、【方法一方法一】把递延期以后的年金套用普通年金公式把递延期以后的年金套用普通年金公式求现值，再向前按照复利现值公式折现求现值，再向前按照复利现值公式折现m期即可期即可。 PA（P/A，i，n）（P/F，i，m） 【方法二方法二】l把递延期每期期末都当作有等额的收付把递延期每期期末都当作有等额的收付A，把递延期，把递延期和以后各期看成是一个普通年金，计算出这个普通和以后各期看成是一个普通年金，计算出这个普通年金的现值，再把递延期多算的年金现值减掉即可。年金的现值，再把递延期多算的年金现值减掉即可。l P0A（P/A, i, mn）（）（P/A, i, m）例：某公司拟购置一处房产，有三种付款方案

22、例：某公司拟购置一处房产，有三种付款方案l（1）从现在起，每年年初支付20万，连续支付10次，共200万元； （2）从第5年开始，每年末支付25万元，连续支付10次，共250万元； （3）从第5年开始，每年初支付24万元，连续支付10次，共240万元。l假设该公司的资金成本率（即最低报酬率）为10%，你认为该公司应选择哪个方案？ 解：方案解：方案1 1lP020（P/A，10%，10）（1+10%） = 206.14461.1= 135.18（万元） l或 P0 =20 （P/A，10%，9）+1 =20（5.7590+1）=135.18（万元） 方案（方案（2 2）lP=25（P/A，10%

23、，10）（P/F，10%，4） =256.14460.683104.92（万元）l或：P=25（P/A，10%，14）-（P/A，10%，4） =25（7.3667-3.1669）104.995（万元）方案（方案（3 3）lP25（P/A，10%，9）+1（P/F，10%，4） 115.41（万元）（万元） l或或= 24（P/A，10%，13）+1-（P/A，10%，3）+1 115.41（万元）（万元） l应该选择第二方案应该选择第二方案 （五）永续年金（五）永续年金永续年金：无限期的普通年金。永续年金：无限期的普通年金。特点：只有现值，没有终值特点：只有现值，没有终值实务：各类奖励基金实

24、务：各类奖励基金l永续年金的现值，可以通过普通年金的计算公式导出iiAPn)1 (1l在普通年金的现值公式中，令n趋于无穷大，即可得出永续年金现值： P = A /i 例：例：l某项永久性奖学金，每年计划颁发50000元奖金。若年复利率为8%，该奖学金的本金应为多少元？ l解：本金50 000/8% 625 000（元） 六、利率的计算（一）复利计息方式下利率的计算l第一步：计算出有关的时间价值系数。复利终值（现值）系数，或者年金终值（现值）系数。l第二步：查表。如果表中有这个系数，则对应利率即为所求利率。如果没有，则查出最接近的一大一小两个系数，采用插值法求出。（插值法的运用）例：某人现在存入银行例：某人现在存入银行20 000元，年利率为多少时，才能保元，年利率为多少时，才能保证在以后证在以后9年中每年可以取出年中每年可以取出4 000元。元。解：根据普通年金现值公式： 20 000=4 000(P/A，i，9) （P/A，i，9）=5查表并用内插法求解。查表找出期数为9，年金现值系数最接近5的一大一小两个系数。 （P/A，12，9）5.3282 (P/A, 14，9) 4.9464 插值法例：永续年金的利