矩阵的乘法-文档资料

1、高等代数高等代数面向面向21世纪新教材世纪新教材高等代数高等代数面向面向21世纪新教材世纪新教材矩阵乘法的定义矩阵乘法的定义矩阵乘法的应用矩阵乘法的应用矩阵乘法的性质矩阵乘法的性质课件导航课件导航结结 束束作作 业业小小 结结新课讲授新课讲授3先从一个例子开始先从一个例子开始 : 第一周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格：第一周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格： 假设牛肉、羊肉、鸡蛋的价格在一周之假设牛肉、羊肉、鸡蛋的价格在一周之 内不发生变化，记录近三周牛肉、羊肉、鸡内不发生变化，记录近三周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格，得到如下价格矩阵蛋的价格，得到如下价格矩阵(人民币人民币/千克千克) . 第二周牛肉、羊肉、鸡蛋的价

2、格：第二周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格： 第三周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格：第三周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格： 710117111161112A 设某个家庭每周对牛肉、羊肉、鸡蛋的需求分设某个家庭每周对牛肉、羊肉、鸡蛋的需求分别是别是3千克、千克、4千克、千克、2千克。则需求矩阵千克。则需求矩阵B表示为：表示为： 243B4这个家庭近三周对上述三种食品的需求开支分别为：这个家庭近三周对上述三种食品的需求开支分别为：这个计算过程可以用如下的矩阵形式来表示：这个计算过程可以用如下的矩阵形式来表示：879192ABAB12111111111067724312311 46211311 47211310427 第一周

3、：第一周：12 3+11 4+6 2=92（元）（元） 第二周：第二周：11 3+11 4+7 2=91（元）（元） 第三周：第三周：11 3+10 4+7 2=87（元）（元）5 定义定义 设设A=(aij)是是mn矩阵，矩阵，B=(bij)是是np矩阵，则矩阵，则A与与B的乘积的乘积AB是一个是一个mp矩矩阵，这个矩阵的第阵，这个矩阵的第i行第行第j 列位置上的元素列位置上的元素cij等等于于A 的第的第i行的元素与行的元素与B的第的第j列的对应元素的列的对应元素的乘积的和乘积的和. 即即,2211njinjijiijbababac., 2 , 1;, 2 , 1pjmi运算过程演示运算过

4、程演示611a12ana11ia11b1ma11c2iaina2mamnajb1pb121bjb2pb2njb1nbnpbmpcipcpc1jc1ijc1icmjc1mc11c11a11b12a21bna11nbjc111ajb112ajb2na1njb1ic1ia11b21b1nb2iainankkkba111ijc1ia2iainajb1jb2njbmpc1ma2mamnapb1pb2npbnkkjkba11nkkikba11nkkjikba1nkkpmkba1返回返回点击点击7由矩阵的定义可以看出由矩阵的定义可以看出:两个矩阵的乘积两个矩阵的乘积AB亦是矩阵亦是矩阵, AB的行数等的行数

5、等于矩阵于矩阵A的行数的行数, AB的列数等于矩阵的列数等于矩阵B的列的列数数.前行乘后列前行乘后列:乘积矩阵乘积矩阵AB中第中第i行第行第j列的列的元素等于元素等于A的第的第i行与行与B的第的第j列对应元素乘列对应元素乘积之和积之和,简称行乘列的法则。简称行乘列的法则。1.2.8想一想想一想:两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵吗？两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵吗？矩阵要满足什么条件才能相乘呢？矩阵要满足什么条件才能相乘呢？矩阵的乘法是否满足交换律呢矩阵的乘法是否满足交换律呢? ?1.2.3.矩阵的乘法适合消去律吗矩阵的乘法适合消去律吗? ?4.返回返回例例 1 1例例2,2,例例3 3例例 4

6、4例例5,5,例例6 69矩阵乘法的性质矩阵乘法的性质:结合律结合律 (AB)C=A(BC), 其中其中A=(aij)mn, B=(bij)np, C=(cij)pq. 2. 数乘结合律数乘结合律 k(AB)=(kA)B=A(kB), 其中其中k为任意实数为任意实数. A=(aij)ms ， B=(bij)sn . 3. 分配律分配律 (A+B) C=AC+BC, 其中其中A, B都为都为mn矩阵矩阵, C=(cij)ns.C(A+B) =CA+CB, 其中其中C为为mn 矩阵矩阵, A, B都为都为ns矩阵矩阵. 返回返回证明证明证明证明10 任意给定任意给定r个矩阵个矩阵A1, A2, ,

7、 Ar, 只要前一个矩阵的只要前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数列数等于后一个矩阵的行数, 就可以把它们依次相乘就可以把它们依次相乘, 由于矩阵的乘法满足结合律由于矩阵的乘法满足结合律, 在作这样的乘积时在作这样的乘积时, 可以可以把因子任意结合把因子任意结合, 而乘积而乘积A1A2Ar有完全确定的意义有完全确定的意义.我们再约定我们再约定A0=In . 这样这样, 一个一个n阶方阵的任意非负整数次方有意义阶方阵的任意非负整数次方有意义(以后要定义某些特殊方阵的负整数次方以后要定义某些特殊方阵的负整数次方, 将会看到将会看到,并不是每个方阵都有负整数次方并不是每个方阵都有负整数次方). 多个

8、矩阵的乘积多个矩阵的乘积 Ar=AAA. r r个个A A特别地特别地,一个一个n阶方阵阶方阵A的的r次方次方(r是正整数是正整数)有意义有意义.11例例7 设设A是是n阶数量矩阵阶数量矩阵. 即即,kkkAB=(bij)是是np矩阵矩阵, 计算计算AB.npnnppnpnnppkbkbkbkbkbkbkbkbkbbbbbbbbbbkkkAB212222111211212222111211因此有因此有AB=kB. 即用数量矩阵即用数量矩阵A乘以矩阵乘以矩阵B时时, 相当于用数相当于用数k乘矩乘矩阵阵B. 如果如果C 是是mn矩阵矩阵, 那么类似地容易验证那么类似地容易验证CA=kC.即即C乘以

9、数量矩阵乘以数量矩阵A时时,相当于用数相当于用数k乘矩阵乘矩阵C. 这就是数量矩这就是数量矩阵有时也叫做数乘矩阵的原因阵有时也叫做数乘矩阵的原因.12特别地特别地, 在在n阶数量矩阵中阶数量矩阵中, 当当k=1时时, A就变成为就变成为,111nI称称In为为n阶单位矩阵阶单位矩阵, 这时这时, 有有In B = B, C In= C . 因此因此, n阶方阵阶方阵In在矩阵的乘法运算中所起的作在矩阵的乘法运算中所起的作用相当于数用相当于数1在数的乘法运算中所起的作用在数的乘法运算中所起的作用, 这就是这就是为什么把为什么把 In称为单位矩阵的原因称为单位矩阵的原因. 我们以后还会发我们以后还

10、会发现现In的更多的类似于数的更多的类似于数1的性质的性质.13例例8 考虑一般形式的线性方程组考虑一般形式的线性方程组.,22112222212111212111mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa其系数矩阵和增广矩阵分别是其系数矩阵和增广矩阵分别是,212222111211mnmmnnaaaaaaaaaA,21222221111211mmnmmnnbaaabaaabaaaA则线性方程组可由它的增广矩阵唯一确定则线性方程组可由它的增广矩阵唯一确定. 反过来反过来, 线性方线性方程组也唯一地确定它的增广矩阵程组也唯一地确定它的增广矩阵, 我们令我们令14nmxxxXb

11、bbB2121,称此式为线性方程组的矩阵形式称此式为线性方程组的矩阵形式.,22112222121121211121212222111211nmnmmnnnnnmnmmnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaxxxaaaaaaaaaAX因此原线性方程组可写为因此原线性方程组可写为AX=B.计算矩阵乘积计算矩阵乘积AX15计算计算A1X:在上题中在上题中,令令:,000000121111maaaA,000000222122maaaA,00000021mnnnnaaaA,0000001211111112111121121111mmnmaaaxxaxaxaxxxaaaXA同样计算同样计算A2X, ,

12、 AnX 可得可得,16,2221222maaaxXA,21mnnnnnaaaxXA所以所以A=A1+A2+AnAX=(A1+A2+An)X=A1X+A2X+AnX.因此线性方程组的矩阵形式可写成如下形式因此线性方程组的矩阵形式可写成如下形式,2121222122121111mmnnnnmmbbbaaaxaaaxaaax这个形式叫做线性方程组的向量形式这个形式叫做线性方程组的向量形式.,17,212222111211mnmmnnaaaaaaaaaA系数矩阵系数矩阵 把把n元线性方程组所有未知量的系数按元线性方程组所有未知量的系数按原来的顺序排列原来的顺序排列, 得到一个得到一个mn矩阵矩阵.我

13、们称我们称A为线性方程组的系数矩阵为线性方程组的系数矩阵.返回返回18,21222221111211mmnmmnnbaaabaaabaaaA增广矩阵增广矩阵为线性方程组的增广矩阵为线性方程组的增广矩阵.我们称我们称A返回返回 把把n元线性方程组所有未知量的系数和元线性方程组所有未知量的系数和常数项按原来的顺序排列常数项按原来的顺序排列, 得到一个得到一个m行行n+1列矩阵列矩阵.19例例9 (计算机机时汇总计算机机时汇总) :一台智星计算机一台智星计算机, 完成某个项目完成某个项目,该项目有该项目有6项类型项类型1的工作的工作,8项类型项类型2的工作的工作,10项类型项类型3的的工作工作,问这

14、台计算机完成该项目需要多长的工作时间问这台计算机完成该项目需要多长的工作时间? ?类型类型1的问题的问题需用需用3分钟分钟!需用需用4分钟分钟!类型类型2的问题的问题类型类型3的问题的问题需用需用2分钟分钟!则表示各种类型工作所需的时间矩阵可令为则表示各种类型工作所需的时间矩阵可令为: :,2, 4, 3T表示各种类型工作的个数矩阵可令为表示各种类型工作的个数矩阵可令为: :,1086T那么所需时那么所需时间的总数可间的总数可如下计算如下计算:).70(10862, 4, 3TN 这里这里(70)是一个是一个11矩阵矩阵(可以把可以把(70)和和70看成是一看成是一样的样的),即所需总时数为即

15、所需总时数为70分钟分钟.20 假设不仅有一台计算机假设不仅有一台计算机,而是有而是有4台计算机台计算机:智星智星,神神童童,奔腾及银河奔腾及银河,那么我们有一个不同的计算机完成不那么我们有一个不同的计算机完成不同类型工作的机时矩阵同类型工作的机时矩阵:,9.2331283752431T智星完成类型智星完成类型1、2、3的工作所需的时间的工作所需的时间:银河完成类型银河完成类型1、2、3的工作所需的时间的工作所需的时间:神童完成类型神童完成类型1、2、3的工作所需的时间的工作所需的时间:奔腾完成类型奔腾完成类型1、2、3的工作所需的时间的工作所需的时间: 为了计算每台计算机完成为了计算每台计算

16、机完成6项项类型类型1的工作的工作,8项类型项类型2的工作的工作,10项类型项类型3的工作的工作,所需的时间分别所需的时间分别有多长有多长,只需进行如下计算只需进行如下计算:,71741167010869.2331283752431NT所以选择智星计算机完成这个项目比较省时所以选择智星计算机完成这个项目比较省时.21 下面让我们不只对一个项目下面让我们不只对一个项目, 而是对而是对3个项目进行个项目进行计算计算. 假设假设3个项目所包含的类型个项目所包含的类型1,2,3的工作个数如下的工作个数如下矩阵表示矩阵表示:,45104584261N 矩阵中每一列表示每一个项目所矩阵中每一列表示每一个项

17、目所包含类型包含类型1, 2, 3的个数的个数.进行如下计算进行如下计算,5 .355 .3571443174606011636367045104584269 .23312837524311NT T1N1矩阵的每一行表示每台计算机完成矩阵的每一行表示每台计算机完成3个项目分别需要的个项目分别需要的时机数时机数,可以看出可以看出,如果安排智星计算机完成第一个项目如果安排智星计算机完成第一个项目,由奔腾完由奔腾完成第二个项目成第二个项目,由银河完成第三个项目由银河完成第三个项目,所需的机时总数较少所需的机时总数较少.返回返回22 这一节主要讲了矩阵乘法的定义这一节主要讲了矩阵乘法的定义, 矩阵乘法的矩阵乘法的性质以及矩阵乘法的应用性质以及矩阵乘法的应用.小结小结矩阵乘法的定义矩阵乘法的定义 主要讲了