算术平均数与几何平均数doc

1、典型例题一例 1已知 a,b,cR ，求证 a2b2c2abbcca.证明： a2b22ab ，b2c22bc ，c2a22ca ，三式相加，得2(a 2b2c2 )2(ab bcca) ，即 a 2b2c2ab bc ca.说明： 这是一个重要的不等式，要熟练掌握典型例题二例 2已知 a、b、c 是互不相等的正数，求证： a(b2c2 )b(a2c2 ) c( a2b2 ) 6abc证明： b2c22bc，a0 ， a(b2 c2 ) 2abc同理可得： b( a2c2 )2abc， c(a2b2 )2abc 三个同向不等式相加，得a(b2c2 ) b(a2c2 )c( a2b2 )6abc

2、说明：此题中 a、b、c 互不相等， 故应用基本不等式时，等号不成立 特别地， ab ，b c 时，所得不等式仍不取等号典型例题三例 3求证a2b2b2c 2c2a22( a b c) 分析：此问题的关键是 “灵活运用重要基本不等式a2b22ab ，并能由 2 (a b c)这一特征，思索如何将a2b22ab 进行变形，进行创造” 证明： a 2b22ab ，两边同加 a2b2 得 2(a2b2 )(a b)2 即 a2b2(ab)222212() ab2a b2ab同理可得：b2c22 (b)，2cc2a22 (ca) 2三式相加即得2222222() abbccaab c典型例题四例 4若

3、正数 a 、 b 满足 abab3 ，则 ab 的取值范围是解： a,b R ， abab32 ab3 ，令 yab ，得 y 22y 30 ， y3 ，或 y1（舍去） y 2ab 9 ，ab 的取值范围是9,.说明：本题的常见错误有二 一是没有舍去 y1 ；二是忘了还原， 得出 ab3,前者和后者的问题根源都是对ab 的理解，前者忽视了ab 0. 后者错误地将y2 视为ab 因此，解题过程中若用换元法，一定要对所设“元”的取值范围有所了解，并注意还原之典型例题五例 5 （ 1）求 y6x21x2的最大值4（ 2）求函数yx2x24的最小值，并求出取得最小值时的x 值1（ 3）若 x 0,

4、y0，且 xy2 ，求 x2y 2 的最小值解：（ 1） y6x216x 2166x24( x21)333.x22 31x2 1即 y 的最大值为3.当且仅当 x213时，即 x22 x2 时，取得此最大值x21（ 2） y x24x21412413x21x21y 的最小值为3，当且仅当4x21 ，即 ( x21)24 ， x2 12 ， x 1x21时取得此最小值（ 3） x2y22xy 2( x 2y2 ) ( x y) 2 即 x2y 2(x y)22 xy 2 x2y22即 x2y2 的最小值为 2当且仅当 xy 4时取得此最小值说明： 解这类最值，要选好常用不等式，特别注意等号成立的

5、条件典型例题六例 6求函数 y12 x3 的最值x分析： 本例的各小题都可用最值定理求函数的最值，但是应注意满足相应条件如：x0，应分别对 x0, x0 两种情况讨论，如果忽视xR 的条件，就会发生如下错误：y 1 2x31 (2x3 )1 2 2x3126 ， ymax 1 2 6.xxx解： 当 x 0时， 2x0, 30 ，又 2x36 ，xx当且仅当 2x3，即 x6时，函数 2x3x2有最小值 2 6.x ymax 1 2 6.当 x 0时， 2x0, 30 ，又 ( 2x) (3 )6 ，xx当且仅当2x3x6( 2x3，即时，函数)最小值 2 6.x2xymin126.典型例题七

6、例 7x 210求函数 y的最值x29分析： y( x 29)1x2912 x29x29但等号成立时 x28 ，这是矛盾的！ 于是我们运用函数y x1在 x1时单调递增1 (tx这一性质，求函数yt3) 的最值t解： 设 tx293 ， yx210t1x29t当 t3 时，函数 yt1递增t故原函数的最小值为3110 ，无最大值33典型例题八例 8 求函数 yx 25x 2的最小值4分析： 用换元法，设tx 24 2 ，原函数变形为y t 1 (t2) ，再利用函数y t 1 (tt2) 的单调性可得结果或用函数方程思想求解t解： 解法一：设 tx242，故 yx25t1 (t 2).x24t

7、设 t2t12，y1 y2(t1t 2 ) ( 11 )(t1t2 ) t1t 2 1 t1t2t1t2由 t1 t20，t1t22，得： t1t 210，故： y1y2 函数 y t1 (t2)为增函数，从而y 215t22解法二：设 x24t2 ，知 yt1(t2)，可得关于 t 的二次方程 t 2yt 1 0 ，由根t与系数的关系，得：t1t 21又 t 2 ，故有一个根大于或等于2，设函数 f (t)t 2yt1，则 f ( 2)0，即 42 y10 ，故 y52说 明 ： 本 题 易 出 现 如 下 错 解： yx25x2412要知道，x24x24x 241无实数解，即 y2 ，所以

8、原函数的最小值不是2错误原因是忽视了x 24等号成立的条件当 a 、 b 为常数，且 ab 为定值， ab 时， abab ，不能直接求最大（小）值，可2以利用恒等变形a b(a b) 24ab ，当 ab 之差最小时，再求原函数的最大（小）值典型例题九22例 9a 0, b 0, a b 4, 求1b1a的最小值ab分析： 此题出现加的形式和平方，考虑利用重要不等式求最小值解： 由 ab4, ，得 a 2b 2( ab) 22ab162ab.又 a 2b22ab, 得 162ab2ab ，即 ab412242a1422ab4425a11bab4ab242.b212故1abab2的最小值是25

9、 2说明： 本题易出现如下错解：222222a1b12 a 12 b 14 4 8 ，故 a1b1ababab的最小值是 8错误的原因是，在两次用到重要不等式当等号成立时，有a 1 和 b 1，但在 ab4 的条件下，这两个式子不会同时取等号（ a 1时， b 3 ）排除错误的办法是看都取等号时，与题设是否有矛盾典型例题十例 10 已知： a, b, cbcacabR ，求证：ba b c ac分析： 根据题设，可想到利用重要不等式进行证明证明：同理：bcac2 abc22 , 即 bcac2 .ababcabcbcab2b,acabaacbc22 bcacab2(a b c).abcbcac

10、ababc.abc(1) 想利用三元重要不等式解决问题；(2) 不会利说明：证明本题易出现的思维障碍是：用重要不等式 abab 的变式； (3) 不熟练证明轮换对称不等式的常用方法因此，在2证明不等式时， 应根据求证式两边的结构，合理地选择重要不等式另外，本题的证明方法在证轮换对称不等式时具有一定的普遍性典型例题十一例11设a、 b、 c、 d、 e R，且， 2b2c2d2e216，a b c d e 8 a求 e的最大值分析： 如何将 a 2b 2与 ab 用不等式的形式联系起来，是本题获解的关键算术平均数与几何平均数定理a 2b22ab 两边同加 a2b 2 之后得 a 2b21(ab)

11、 2 1 (a2解： 由 a 2b 2b)2 ，则有2a 2b 2c 2d 21 ( a b)2(c d) 2 1 (a b c d ) 2 ,1 (8216 .416e2e) 20e45当abcd6 时， e最大值 16 .55说明： 常有以下错解：16e2a 2b2c 2d 22( abcd ) 4abcd ，8eabcd44abcd 故 (16 e2 ) 2abcd,(8e) 4abcd 4 24两式相除且开方得16e210e16 (8e) 254错因是两不等式相除，如2 1,11，相除则有 22 21不等式 a 2b2(ab) 2 是解决从“和”到“积”的形式从“和”到“积”怎么办呢？

12、2有以下变形： a 2b21 (ab) 2 或a 2b21(ab) 222典型例题十二22例 12已知： x y0 ，且： xy1，求证： xy2 2 ，并且求等号成立的条xy件分析： 由已知条件 x，yR，可以考虑使用均值不等式，但所求证的式子中有xy ，无法利用 xy2 xy ，故猜想先将所求证的式子进行变形，看能否出现( xy)1y)(x型，再行论证证明：xy0,xy0.又xy 1,x 2y2(xy) 22 xyxyxy(xy)2xy2 (x y)22 2.y)( x等号成立，当且仅当( xy)2时( xy)(x y) 22 , x y2 , x2y24.xy1,( xy) 26,xy6

13、.由以上得 x622 ,y622即当 x62 ,y62时等号成立22说明： 本题是基本题型的变形题在基本题型中，大量的是整式中直接使用的均值不等式，这容易形成思维定式 本题中是利用条件将所求证的式子化成分式后再使用均值不等式 要注意灵活运用均值不等式典型例题十三例 13已知 x0， y0 ，且 x2 yxy30 ，求 xy 的最大值分析： 由 x2 yxy30 ，可得， y30x， (0x30)2x故 xy30xx 2(0 x30) ，令 t30 xx22x2x利用判别式法可求得t （即 xy ）的最大值，但因为x 有范围 0 x30 的限制，还必须综合韦达定理展开讨论仅用判别式是不够的，因而

14、有一定的麻烦， 下面转用基本不等式求解解法一： 由 x2yxy30 ，可得， y30x (0x30) 2x30 xx2(2x) 234(2x)64xy2x2x34(x2)64x2注意到 ( x2)642 (x2)6416 x2x2可得， xy18 当且仅当 x2646 时等号成立， 代入 x2 yxy30 中得 y 3 ，故 xyx，即 x的最大值为 182解法二：x, yR，x2y22xy22xy ，代入 x2 yxy30 中得：22xyxy30解此不等式得0xy18 下面解法见解法一，下略说明：解法一的变形是具有通用效能的方法， 值得注意： 而解法二则是抓住了问题的本质，所以解得更为简捷典

15、型例题十四例 14若 a、 b、 cR ，且 a b111c 1 ，求证：111 8abc分析： 不等式右边的数字“8”使我们联想到可能是左边三个因式分别使用基本不等式所得三个“ 2”连乘而来，而11 ab c2 bc1aaaa证明：111abcaaa，又 a0 ， b0 ， c0 ，bc 2bc ，即1a2 bc aaaa同理 112 ca ， 112 ab ，bbcc11118 11cab当且仅当 ab c1时，等号成立3说明： 本题巧妙利用 abc 1 的条件，同时要注意此不等式是关于a、 b、 c 的轮换式典型例题十五例 15设 a、 b、 cR，求证： a 2b2b 2c 2c2a

16、22( a bc) 分析： 本题的难点在于a 2b 2、 b 2c 2、 c2a 2 不易处理，如能找出 a2b2 与a b 之间的关系，问题可得到解决，注意到：a 2b22ab2( a2b 2 ) ( ab) 22(a 2b 2 ) a b ，则容易得到证明证明：a 2b22ab，2(a2b2 )a 2b 22ab(ab) 2 ，于是a 2b22 a b2 (a b)22同理：222 ()222bc2b c， ca(c a) 2三式相加即得：a2b 2b 2c 2c 2a22 (abc) 说明： 注意观察所给不等式的结构，此不等式是关于a、b、c 的轮换式因此只需抓住一个根号进行研究，其余同

17、理可得，然后利用同向不等式的可加性典型例题十六例 16 已知： a、 bR （其中 R 表示正实数）a2 b2a b22abab求证：22211ab分析： 要证明的这一串不等式非常重要，a 2b2ab称为算术平均2称为平方根，2数，ab 称为几何平均数，2称为调和平均数1 1 a ba 2b 222证明：a b1a b 20224a 2b 22a b222a、 bRa 2b2ab ，当且仅当“ab ”时等号成立222a bab1 ( ab ) 202242 abab，等号成立条件是“ab ”22ab21 ( aabb) 20，24ab2ab ，等号成立条件是“ab ”2ab2ab2ab (ab

18、)ab2ab11a bababab (ab 2ab )ab ( ab)2abab0ab2ab ”1，等号成立条件是“1ab说明：本题可以作为均值不等式推论， 熟记以上结论有利于处理某些复杂不等式的证明问题本例证明过程说明，不等式性质中的比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法典型例题十七例 17设实数 a1 ， b1 ， c1 ， a2 ， b2 ， c2 满足 a1 a20 ， a1 c1b12， a2 c2b22，求证 (a1a2 )(c1 c2 ) (b1 b2 ) 2 分析： 由条件可得到a1 ， a2 ， c1 ，c2 同号为方便，不妨都设为正将求证式子的左边展开后可看出有交叉项a1

19、c2 和 a2 c1 无法利用条件，但使用均值不等式变成乘积后，重新搭配，可利用条件求证证明：a1a20 ,a1 , a2同号同理，由 a1c1b1 2， a2 c2b2 2 知 a1 与 c1 同号， a2 与 c2 同号 a1 ， c1 ， a2 ， c2 同号不妨都设为正(a1a2 )(c1 c2 ) a1c1a2 c2a1c2 a2 c1b1 2b2 22 a1c2 a2c1222 a1c1 a2 c2b1b2b1 2b2 22 b12 b2 2b 2b 22 | b b2|121b1 2b2 22b1b2(b1b2 )2 ，即 (a1a2 )(c1 c2 ) (b1b2 ) 2 说明

20、：本题是根据题意分析得a1 ，c1 ，a2 ，c2 同号，然后利用均值不等式变形得证换一个角度，由条件的特点我们还会联想到使用二次方程根的判别式，可能会有另一类证法实际上，由条件可知 a1 ，c1 ，a2 ，c2 为同号，不妨设同为正 又 a1 c1 b12，a2 c2b22， 4a1c14b12 ， 4a2c24b2 2 不等式 a1x 22b1 xc1 0 ， a2 x 22b2 x c20对任意实数 x 恒成立（根据二次三项式恒为正的充要条件），两式相加得 ( a1a2 ) x 22(b1b2 ) x (c1 c2 )0 ，它对任意实数 x 恒成立同上可得：( a1a2 )(c1c2 )

21、(b1b2 ) 2 典型例题十八例 18 如下图所示，某畜牧基地要围成相同面积的羊圈4 间，一面可利用原有的墙壁，其余各面用篱笆围成，篱笆总长为36m问每间羊圈的长和宽各为多少时，羊圈面积最大？分析：可先设出羊圈的长和宽分别为x ， y ，即求 xy 的最大值 注意条件 4x6 y36的利用解：设每间羊圈的长、 宽分别为 x ，y ，则有 4x6 y36 ，即 2x3y18 设 Sxy182x3 y2 2x 3y2 6xy ,xy27, 即S2722上式当且仅当2x3y 时取“”2x3 y,x9 ,此时3 y18 ,22xy3.羊圈长、宽分别为9 m， 3m时面积最大2说明： (1) 首先应设

22、出变量（此处是长和宽），将题中条件数学化（即建立数学模型）才能利用数学知识求解；(2) 注意在条件2x3 y18 之下求积 xy 的最大值的方法： 直接用不等式 182x 3 y 22x3y ，即可出现积xy 当然，也可用“减少变量”的方法：11112x1822x)Sxy2x)2 xy(18x (182x(18 2x)2， 当3366且仅当 2x182x 时取“ =”典型例题十九例 19某单位建造一间地面面积为212m 的背面靠墙的矩形小房， 房屋正面的造价为 1200元/m2，房屋侧面的造价为800 元/m2，屋顶的造价为5800 元如果墙高为3m，且不计房屋背面的费用，问怎样设计房屋能使总

23、造价最低，最低总造价是多少元？分析： 这是一个求函数最小值的问题，关键的问题是设未知数，建立函数关系从已知条件看，矩形地面面积为12m2，但长和宽不知道，故考虑设宽为x m，则长为12m，再设总造价为 y 由题意就可以建立函数关系了x解：设矩形地面的正面宽为mmy根据题意，可得：x，则长为 12 ；设房屋的总造价为12xy3x1200258003800x3600x576005800x3600(x16)580036002 x 165800xx28800580034600 (元 )当 x1634600 元，即 x 4 时， y 有最小值x因此，当矩形地面宽为4m时，房屋的总造价最低，最低总造价是3

24、4600 元说明：本题是函数最小值的应用题，这类题在我们的日常生活中经常遇到，有求最小值的问题，也有求最大值的问题，这类题都是利用函数式搭桥，用均值不等式解决，解决的关键是等号是否成立，因此，在解这类题时，要注意验证等号的成立典型例题二十例 20 某单位决定投资3200 元建一仓库（长方体状） ，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每1m长造价 40 元，两侧墙砌砖，每1m长造价 45 元，顶部每2造1m价 20 元计算：(1) 仓库底面积的最大允许值是多少？(2) 为使达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？分析： 用字母分别表示铁栅长和一堵砖墙长，再由题意翻译数量关系解： 设铁栅长为x m，一堵砖墙长为y m，则有 Sxy .由题意得 40 x245