《高等数学AI》期末复习题和答案

1、高等数学AI期末复习题一参考答案一、选择题：1. C；2. C；3. D；4. B；5. D；二、填空题：1、 2，4 ；2、1；3、x = 1；4、y = x + 1；5、；6、单调增加；7、( - 1，6 )；8、3；9、y = 1；10、；11、；12、；13、3。三、计算下列极限：1、解：原式 = 2、解：原式 = = =。= e。四、计算下列导数： 1、解：y = 2、解：y = 。=d y = d x。3、解：方程两边对x求导：3 y 2 y - 3 y - 6 x 5 = 0，y = 。五、计算下列积分： 1、解：=。2、解：=。3、解：原式 = ( x 3 x 2 + x )|

2、 = 1。4、解：原式 =。5、解：令t = ，则x = t 2 ，d x = 2 t d t， 原式 = = 。六解：(1) 函数的定义域为：( - ，- 3 ) ( - 3，+ )。y =，令y = 0，得x = 3。列表如下：x( - ，- 3 )( - 3，3)3( 3，+ )y -+0-y单调减少单调增加极大值4单调减少所以，函数的单调减少区间为：( - ，- 3 )，( 3，+ )；单调增加区间为：( - 3，3)；函数的极大值为：y ( 3 ) = 4。(2) y = =令y = 0，得x = 6。列表如下：x( - ，- 3 )( - 3，6)6( 6，+ )y -0+y凸凸拐

3、点11 / 3凹所以，函数的凸区间为：( - ，- 3 )，( 3，6)；凹区间为：( - 3，3)；函数的拐点为：( 6，11/ 3 )。(3) ，所以函数的铅直渐近线为：x = - 3。，所以函数的水平渐近线为：y = 1。七、证：令F ( x ) = e 3 x f ( x )，由已知，F ( x )在 a，b 上连续，在( a，b )可导，且F ( a ) = 0 = F ( b )，由罗尔定理，在( a，b )内至少存在一点，使得：F( ) = 3e 3 f ( ) + e 3 f ( ) = 0，即：f ( ) + 3 f ( ) = 0。八、解：， 所求平面图形的面积为：。九、解

4、下列微分方程：1、解：分离变量，得：， 两边积分，得：arc sin y = arc sin x + C， 即原方程的通解为：y = sin ( arc sin x + C )；此外还有解：y = ±1。2、解：P ( x ) =，Q ( x ) =， 原方程的通解为：y = = 。 将代入通解，得C = 1。 所求符合初始条件的特解为：y = 。高等数学AI期末复习题二参考答案一、选择题：1、 C；2、 A；3、D；4、C；5、 B；二、填空题：1、 1，3 ；2、；3、x = 2；4、y = 3 x 2；5、；6、单调减少；7、( - 1，4 )；8、6；9、y = x 1；10

5、、arc tan x + C；11、；12、；13、3。三、计算下列极限：1、解：原式 = 2、解：原式 = = = e 3。=。四、计算下列导数：1、解：y = = 2、解：y = = cot x。d y = d x。3、解：方程两边对x求导：e y y + y + x y = 0，y = 。五、计算下列积分： 1、解：原式 = 。2、解：原式 = 。3、解：原式 = 。4、解：原式 = ( x 3 + x 2 e x )| = 3 e 。5、解：令t = ，则x = t 2 ，d x = 2 t d t， 原式 = = 。六、解：(1) 函数的定义域为：( - ，+ )。y = 3 x 2

6、 2 x 1，令y = 0，得x =，x = 1。列表如下：x( - ，- 1/3 )- 1/3( - 1/3，1)1( 1，+ )y +0-0+y单调增加极大值32 / 27单调减少极小值0单调增加所以函数的单调增加区间为：( - ，- 1 / 3 )，( 1，+ )；单调减少区间为：( - 1 / 3，1)；函数的极大值为：y ( - 1 / 3 ) = 32 / 27，极小值为：y ( 1 ) = 0。(2) y = 6 x 2，令y = 0，得x = 1 / 3。列表如下：x( - ，1 / 3 )1 / 3( 1 / 3，+ )y -0+y凸拐点16 / 27凹 所以函数的凸区间为：

7、( - ，1 / 3 )；凹区间为：( 1 / 3，+ )；函数的拐点为：( 1 / 3，16 / 27 )。七、证：令F ( x ) = x 2 f ( x )，由已知，F ( x )在 a，b 上连续，在( a，b )可导，且F ( a ) = 0 = F ( b )，由罗尔定理，在( a，b )内至少存在一点，使得：F( ) = 2 f ( ) + 2 f ( )= 0，即：2 f ( ) + f ( ) = 0。密封装订线学院 生态与资源工程学院 专业（班级）2014级生物工程班 姓名 学号 八、解：所求平面图形的面积为：A = 。九、解下列微分方程： 1、解：分离变量，得：， 两边积

8、分，得：， 即原方程的通解为：.此外还有解：y = 0。2、解：P ( x ) =1，Q ( x ) = x， 原方程的通解为：y = = 。 将代入通解，得C = 1。 所求符合初始条件的特解为：y =。高等数学AI期末复习题三参考答案一、选择题：1、A； 2、C； 3、C； 4、B； 5、D； 6、B。二、填空题：1、0； 2、2； 3、； 4、； 5、。三、计算下列极限：1、解：。或。2、解：。3. 解：。四、求下列函数的导数：1、解：。2、解：，。3、解：两边对x求导，得：，整理得：，所以。五、求下列不定积分和定积分：1、解：原式 = 。2、解：原式 = 。3、解：原式 = 。4、解：

9、令，则，原式 = 。六、解：(1) f ( x ) =，令f ( x ) = 0，得：x = 1，列表如下：x( ， 1 )( 1，1 )1( 1，+ )f ( x )+0f ( x )极大值 f ( x )的单调减少区间为：( ， 1 )和( 1，+ )，单调增加区间为：( 1，1 )，极大值为：f ( 1 ) =。(2) f ( x ) =，令f ( x ) = 0，得：x = 2，列表如下：x( ， 1 )( 1，2 )2( 2，+ )f ( x )0+f ( x )凸凸拐点凹 f ( x )的凸区间为：( ， 1 )和( 1，2 )，凹区间为：( 2，+ )，拐点为：( 2，)。(3)

10、 ， 七、证：令f ( x ) = x ln ( 1 + x )，则f ( x )在区间 0，+ )上连续，且，故f ( x )在 0，+ )上严格单调增加，从而f ( x ) > f ( 0 ) = 0，因此，当x > 0时，有x > ln ( 1 + x )。密封装订线学院 生态与资源工程学院 专业（班级）2014级生物工程班 姓名 学号 八、解：，所求平面图形的面积为：A = 。九、解下列微分方程：1、解：当y 0时，原方程化为：，令，则y = u x， 原方程化为：，分离变量，得：， 两边积分，得：u ln | u | = ln | x | + ln C，即：e u

11、= C | u x |， 也就是，或y = C；经检验，y = 0也是原方程的解，原方程的通解为：y = C和y = 0。2、解：原方程的通解为：y = = = 。高等数学AI期末复习题四参考答案一、单项选择题：1、B； 2、C； 3、B； 4、B； 5、 B； 6、C； 7、A； 8、A。二、填空题： 1、必要； 2、1；可去； 3、a = 2；b = - 1； 4、2 x y + 1 = 0； 5、； 6、。三、计算下列极限： 1、解：原式 = ；2、解：原式 = ；3、解：原式 = 。四、计算下列微分或导数： 1、解：；2、解： (，n为整数)；3、解：方程两边同时对x求导，得：（*），

12、所以；（*）两边同时对x求导，得：，.。五、计算下列不定积分： 1、解：原式 = ；2、解：原式 = ；3、解：原式 = 。4、解：令 x = sin t，则 d x = cos t d t，x = 0，t = 0，x = 0，t =。 原式 = = = = = 。5、解：原式 = x sin x |- = / 2 + cos x | = - 1。六、解答题： 解：令，单调增区间为，单调减区间为（0，2），极小值为，凹区间为，无拐点。七、证明题：1、证：设，显然在区间0, x上满足拉格朗日定理，则 。当>0时，即： 。2、证：设f ( x ) = x 5 7 x 4，则f ( x )在

13、1，2 上连续，且f ( 1 ) = - 10 < 0，f ( 2 ) = 14 > 0，由零点定理，在( 1，2 )内至少存在一点，使得f ( ) = 0，即方程x 5 7 x = 4在( 1，2 )内至少有一个实根。八、解：所求体积为： V = = 。九、解下列微分方程：1、解：原方程化为：， 分离变量：， 两边积分：ln | y | = x 2 + ln C， 原方程的通解为： y = C。2、解：原方程的通解为：y = =。高等数学AI期末复习题五参考答案一、填空题： 1、( - 2，2 )( 2，+ )； 2、 1； 3、0； 4、y = 2 x； 5、1； 6、。二、求

14、下列极限： 1、解：原式 =； 2、解：原式 = = ；3、解：原式 = 4、解： = = = = = = 0，= ；原式 = e 0 = 1。三、求下列导数或微分： 1、y =，求； 2、y = y = ln ( x 2 + x + 1)，求 d y；解：； 解：，。3、求由方程e x e y = x y确定的隐函数的导数； 解：方程两边对求导：e x e y= y + x，；4、y = x 2 cos x，求。解：= 2 x cos x x 2 s i n x，= 2 cos x 2 x s i n x 2 x s i n x x 2 cos x= ( 2 x 2 ) cos x 4 x

15、s i n x。密封装订线四、求下列积分： 1、解：原式 = + C；2、解：原式 = = + C；3、解：令t =，则x = t 2 1，d x = 2 t d t，x = 0，t = 1，x = 3，t = 2 原式 = = = = ；4、解：原式 = = = 。五、解：， ，又f ( 0 ) = 0， f ( x )在点x = 0处连续。六、解：(1) f ( x ) =，令f ( x ) = 0，得：x = 1，列表如下：x( ， 1 )( 1，1 )1( 1，+ )f ( x )+0f ( x )极大值5/4 f ( x )的单调减少区间为：( ， 1 )和( 1，+ )，单调增加区间为：( 1，1 )，极大值为：f ( 1 ) =。(2) f ( x ) =，令f ( x ) = 0，得：x = 2，列表