2000考研数三真题及解析

1、2000年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分，把答案填在题中横线上)XXz设zfxy,g，其中f,g均可微，则.yyxdxd-xrx-1ee4444(2) 若四阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为一，-，一，贝怖列式B1E.23453,x0,1设随机变量X的概率密度为f(x)29,x3,60其他若k使得PXk-，则k的取值范围是31,若X0(5)假设随机变量X在区间1,2上服从均匀分布，随机变量Y0,若X01,若X0则方差D(Y).二、选择题(本题共5小题,每小题3分，共15分,在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在

2、题后的括号内.)(1)设对任意的x,总有(x)f(x)g(x)，且limg(x)(x)0,则limf(x)()xx(A)存在且一定等于零.(B)存在但不一定等于零.(C)定不存在.(D)不一定存在.设函数f(x)在点xa处可导,则函数f(x)在点xa处不可导的充分条件是()设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组(I):AX0和(A)f(a)0且f(a)0(B)f(a)0且f(a)0(C)f(a)0且f(a)0(D)f(a)0且f(a)0设1，2,3是四元非齐次线性方程组AXb的三个解向量，且秩(A)3,1T1,2,3,230,1,2,T,c表任意常数，则线性方程组AXb的通解X

3、()1110121321212324(A)c(B)C(C)c(D)c3132343541434546(II):AtAX0,必有()(A) (II)的解是(I)的解,(l)的解也是(II)的解.(B) (ll)的解是(I)的解,但(l)的解不是(II)的解.(C) (1)的解不是(II)的解，(11)的解也不是(I)的解(D) (l)的解是(II)的解,但(II)的解不是(I)的解(5)在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t0,电炉就断电，以E表示事件“电炉断电”，而Ti)T2)T3)T4)为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度

4、值，则事件E等于事件()(A)T(1)t0(B)T(2)t0(C)T(3)t0(D)T(4)t0三、(本题满分6分)求微分方程y2ye2x0满足条件y(0)0,y(0)1.四、(本题满分6分)/22.计算二重积分Xyd，其中D是由曲线ya.a2x2(a0)和直d；4a2x2y2线yx围成的区域五、(本题满分6分)假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是P18Q1,P?12Q2,其中P和F2分别表示该产品在两个市场的价格(单位：万元/吨),Q和Q2分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量，单位：吨),并且该企业生产这种产品的总成本函数是C2Q5,其中Q表示该产品

5、在两个市场的销售总量，即QQ1Q2(1) 如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；(2) 如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格使该企业的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小六、(本题满分7分)arctanx求函数y(X1)e2的单调区间和极值，并求该函数图形的渐近线.七、(本题满分6分)设ln04sinnxcosxdx,n0,1,2，求ln.n0八、(本题满分6分)设函数f(x)在0,上连续，且0f(x)dx0,°f(x)cosxdx0,试证明：在(0,)内至少存在两个不同的点仆2,使f(

6、l)f(2)0.九、(本题满分8分)设向量组，！(a,2,10)T,2(2,1,5)t,3(1,1,4)t,(1,b,c)T试问a,b,c满足什么条件时，(1) 可由1,2,3线性表出，且表示唯一？(2) 不能由1,2,3线性表出？(3) 可由1,2,3线性表出，但表示不唯一？并求出一般表达式.十、(本题满分9分)设有n元实二次型2f（XX2，,Xn）（x盼2）2f（XX2，,Xn）（x盼2）区a?%）2（xn1%1人）2（xnanXj2其中a1,2，,n)为实数.试问:当冃，a2,，an满足条件时，二次型f(X1,X2，xn)为正定二次型(本题满分8分)假设是来自总体的简单随机样本值.已知Y

7、lnX服从正态分布N(,1).(1)求X的数学期望EX(记EX为b)；求的置信度为0.95的置信区间；(3) 利用上述结果求b的置信度为0.95的置信区间十二、(本题满分8分)设代B是二随机事件；随机变量1,若A出现1,若A出现1,若B出现1,若A不出现1,若A不出现1,若B不出现试证明随机变量X和Y不相关的充分必要条件是试证明随机变量X和Y不相关的充分必要条件是A与B相互独立.2000年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析、填空题z1y（1）【答案】yfif22gxyx【详解】根据复合函数的求导公式，有fi'yfi'y【答案】一4e【详解】被积函数的分母中含有exe2x,

8、且当x时,exe2x穷限的反常积分，只需先求不定积分，在令其上限趋于无穷【答案】一4e【详解】被积函数的分母中含有exe2x,且当x时,exe2x穷限的反常积分，只需先求不定积分，在令其上限趋于无穷，即被积函数属于无dxdxdx2xede2dexe2i2darctanee4e【答案】24【详解】方法i:A-BA、B有相同的特征值：丄丄,丄.由矩阵Bi是矩阵B的逆矩阵他们2345所有特征值具有倒数的关系，得B1有特征值2,3,4,5,由B特征局矩阵为111EB,B1E得特征矩阵为EBE1EB可以看出B与B1E的特征值相差1,所以B1E有特征值1,2,3,4.由矩阵的行列式等于其特征值得乘积，所有

9、特征值的和等于矩阵主对角元素之和，知41B1Ei123424.i1方法2:AB即存在可逆阵P，使得P1APB两边求逆得B1P1A1P.又A有四个不同的特征值，存在可逆矩阵Q,使1AQ，其中上式两边求逆得Q1A1Q从而有11PAP【答案】1,3.【详解】在给定概率密度f(x)dx(或Pk1因为x0,1时，f(x)-；3,A11Q1QX2X2X1f(x)dx.)24f(x)dx.因x3,6时，f(x)2都是定值,因为PX1,所以k最可能的取值区间是包含在0,6区间之内的1,3区间，否则是不可能的当1k3时，PXkf(x)dx-(63)9kf(x)dx13(10)2?)所以，答案应该填1k3或1,3

10、.【答案】89【详解】由于题中Y是离散型随机变量，其所取值的概率分别为0,P，从而实现由X的概率计算过PX0又由于X是均匀分布，所以可以直接得出这些概率渡到Y的概率.PY1PX00(1)3PY0PX00;PY因此E(Y)111?1JE(Y2)333所以D(Y)E(Y2)E(Y)21181113二、选择题(1)【答案】D【详解】用排除法例1：设2x-2-xf(x)2,满足条件limx由夹逼准则知例2:设12limx,limx6x4xlimx1x22f(x)1,则选项(A)与(C)错误.f(x)x62x2x41,满足条件2x2162xxx412xim比°,2xx22limxx220,并且

11、但是由于f(x)f(x)6x4x2x1有limf(x)x,极限不存在，故不选(B)，所以选(D).因为最终结论是(D):不一定存在”所以只能举例说明可以这样”“以那样”,无法给出相应的证明.【答案】B【详解】方法1:排除法，用找反例的方式(A):f(x)x2,满足f(0)0且f(0)0,但|f(x)x2在x0处可导；(C):f(x)x1,满足f(0)10,f(0)10,但f(x)x1当x1,1,在x0处可导;(D):f(x)x1,满足f(0)10,f(0)(D):f(x)x1,满足f(0)10,f(0)10,但f(x)x1当x1,1在x0处可导；方法2：推理法.凸/aw夂林n亦|f(x)|f(

12、a)|f(x)|f(x)f(a)由(B)的条件f(a)0,贝Vlimlimlimxaxaxaxaxaxa所以limxaf(x)f(a)|xalimxaf(x)f(a)xa(a)limf(x)f(a)|limxaf(x)f(a)xaf(a).(1)可见，f(x)在xa处可导的充要条件是f(a)f(a),所以f(a)0,即f(a)0所以当f(a)0时必不可导，选(B).【答案】(C)T【详解】因为11,2,3，是非齐次方程组的解向量所以我们有A1b,故1是AXb的一个特解又rA3,n4(未知量的个数)，故AXb的基础解系由一个非零解组成.即基础解是方程组(II):atax0的解，即ata0,两边左

13、乘T得系的个数为1.202因为A21232bbb0,故2114213是对2624835应齐次方程组的基础解系，故AXb的通解为2132c21231c14354(4)【答案】(A)【详解】若是方程组(I):AX0的解,即A0，两边左乘At，得atA0,即也是方程组(II):AtAX0的解,即(I)的解也是(II)的解.T典T典AATAA0.A是个向量T，设Abib,b,则Tn2AAb0.i1故有b0,i12n从而有A0,即也是方程组（I）:AX0的解【答案】C【详解】随机变量T（1）,T（2）,T（3）,T（4）为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，事件E表示事件电炉断电”即有两个温控器显示

14、的温度不低于t0,此时必定两个显示较高的温度大于等于t°,即T（4）丁t0.所以说断电事件就是T（3）t0三【详解】本题属于二阶常系数非齐次线性微分方程，对于二阶常系数非齐次线性微分方程得求解，首先需要求出对应的齐次微分方程的通解，再求出非齐次方程的特解，再利用线性方程解的解构，从而得到对应方程的通解本题对应的齐次微分方程为y2y0，其特征方程为其特征方程为2r2r0,特征根为*0,22.于是齐次方程的通解为特征根为*0,22.于是齐次方程的通解为YC1C2e2x.由于2是特征方程的单根，所以设yAxe2x求得yAe2x2Axe2x;y4Ae2x4Axe2x代入原方程,得4Ae2x4

15、Axe2x2Ae2x4Axe2xe2x22x约去e，再比较等式左、右两边，得2A1，A1故得特解y1xe2x,非齐次方程的通解为再由初始条件y（0）1,得：C1C2(1)，即2Ae2xe2xC1C2e2x1 2xxe2由y(0)1,得GC2e2x1 2xxe22C2e2x2x2xxe2C2x0联立（1）与得C1则满足初始条件的通解为3 (11x)e2x4 42四【详解】画出积分区域D.由被积函数的形式以及积分区域形状，易见采用极坐标更为方便.将曲线ya.a2x2化为：x2(ya)2a2(ya),极坐标方程为r2asin(0),区域是由曲线区域是由曲线yaa2x2(a0)和直线yx围成的区域，于

16、是0,极半径0r-22Ii=y=ddx2y22asint，有r-22Ii=y=ddx2y22asint，有r0d42asin0d42a2(五【定理】简单极值问题2.2sint4a2acost2acostdt2a2(1cos2t)dt1sin2)d2(无条件极值)：设z2asinr24a2时,t2a22a2dr.2r0d40d7224asintdtsin2t21cos24dt0a2】丄)162f(x,y)在开区域D内可偏导,又根据实际问题可知，它在D内有最大值或最小值,于是只需在0,0的点中找到f(x,y)的最大xy值点或最小值点【详解】记总利润函数为L,总收益函数为R，则总利润总收益总成本LR

17、CpQiP2Q2(2Q5)pQP2Q22(QiQ2)5(182Qi)Qi(12Q2)Q22(QiQ2)5I8Q12Qi212Q2Q222Q2Q252Q2Q?2I6Q1105其中,Q10,Q20,QQ1Q2为销售总量.(1)令丄4Q160,丄2Q2100,解得Q4,Q25.而R182Q1,Q1Q2F212Q2,故相应地P110,P27.在Q10,Q20的范围内驻点唯一，且实际问题在Q10,Q20范围内必有最大值，故在Q4，Q25处L为最大值.maxL24252164105552(万元).Q2，得2Q1Q26,(2)若两地的销售单价无差别，即pp2,于是182Q112在此约束条件下求L的最值，以下

18、用两个方法:方法1:若求函数zf(x,y)在条件(x,y)0的最大值或最小值，用拉格朗日乘数法:先构造辅助函数F(x,y,)f(x,y)(x,y)，然后解方程组y(x,y)(x,y)0的可能极所有满足此方程组的解(x,y,)中的(x,y)是zf(x,y)在条件值点,在可能极值点中求得最大值点或最小值点故用拉格朗日乘数法，其中(QQ?)2Q1Q260,构造函数22F(Q1,Q,)2Q1Q216Q110Q25(2Q1Q6),解得Q,5,Q24,在Q,FQ14Q11620F2Q2100Q2F2Q1Q260解得Q,5,Q24,在Q,0,Q20的范围内驻点唯一，且实际问题在Qi0,Q20范围内必有最大值

19、，故在Qi4,Q25处L为最大值得maxL25242165104549（万元）.方法2：由2QQ26代入L2Q12Q2216Q10Q25消去一个变量得L6Q1260Qi101这样就变成了简单极值问题（无条件极值）,按的做法：令卫12Q1600CIQ1'得Q5,为L的唯一驻点.-JI-JI当0Qj5时一一0（说明在这个区间上函数单调递增）；当Q15时一一0（说dQ1dQ1明在这个区间上函数单调递减）六【渐近线】水平渐近线：若有limf（x）a,则ya为水平渐近线;x铅直渐近线：若有limf（x）xa,则xa为铅直渐近线;斜渐近线：右有ayaxb为斜渐近线.【详解】原函数对x求导，斜渐近线

20、：右有ayaxb为斜渐近线.【详解】原函数对x求导，limf(x)ax存在且不为xarctanxarctanx所以ye2(x1)(arctanx)e22arctanxe2(xarctanxe2(x1)11x2arctanxe22x-2xarctanx令y0，得驻点x0,x21.列表x,1-11,000,y+0-0+yz2e刁e2z注：表示函数值大于0,表示函数值小于0；表示在这区间内单调递增；表示在这区间内单调递减.所以由以上表格可以得出函数的大概形状,有严格单调增的区间为，1与0,;严格单调减的区间为1,0.f(0)以下求渐近线.通过对函数大概形状的估计0,;严格单调减的区间为1,0.f(0

21、)以下求渐近线.通过对函数大概形状的估计e2为极小值，f(1)2e4为极大值.limf(x)xarctanx1)e2elim(x1)所以此函数无水平渐近线；同理，也没有铅直渐近线所以令a1lim-xf(x)eex,b)limf(x)a1x2e;a2limf(x)1,b2limf(x)a2x2.xxx所以，渐近线为yaxde(x2)及ya2xb2x2,共两条liman七【概念】幕级数的收敛半径：若,其中an,an,是幕级数anxn的相邻两项|imaJno的系数，则这幕级数的收敛半径1,0,R,0,0,.【详解】先计算出积分In的具体表达式，再求和In考虑幕级数Inn04-n4.nsinxcosx

22、dxsinxdsinx0S(x)求出幕级数的和函数求出幕级数的和函数，代入x彳即可得出答案,按通常求收敛半径的办法aan1nnmHX1n1一nmHXi得到本题中幕级数的收敛半径R-1,在i得到本题中幕级数的收敛半径R-1,在1，内,先微分再积分，在收敛域内幕级数仍收S(x)1n1xn0n1n0所以S(x)xS(0)0S(x)dx0以x21,1代入,得S()ln(122即Inn0ln(2.2).S(x)1n1xn0n1n0所以S(x)xS(0)0S(x)dx0以x21,1代入,得S()ln(122即Inn0ln(2.2).敛,有八【证明】1n1n1xxn1n01xx101dxxln1x42)ln

23、(2V2).2)0,由题设有F()0.,有x方法1：令F(x)0f(t)dt,0x，有又由题设()f(x)cosxdx0,用分部;0°f(x)cosxdxocosxdF(x)F(x)cosx00F(x)sinxdxoF(x)sinxdx由积分中值定理知，存在(0,)使0oF(x)sinxdxF()sin(0)因为(0,),sin0,所以推知存在(0,),使得F()0.再在区间0,与,上对F(x)用罗尔定理，推知存在i(0,),2(,)使F(i)0,F(2)0,即f(1)0,f(2)0方法2：由°f(x)dx0及积分中值定理知存在i(0,),使f(1)0.若在区间(0,)内f

24、(x)仅有一个零点1,则在区间(0,J与(1,)内f(x)异号.不妨设在(0,J内f(x)0,在(1,)内f(x)0.于是由°f(x)dxO。f(x)cosxdx0,有00f(x)cosxdx0f(x)cos1dx0f(x)(cosxcos1)dxf(x)(cosxcos1)dxf(x)(cosxcos1)dx1当0X1时，cosxcos1,f(x)(cosxcos1)0；当1x时,cosxcos1,仍有f(x)(cosxcos1)0,得到：00.矛盾，此矛盾证明了f(x)在(0,)仅有1个零点的假设不正确，故在(0,)内f(x)至少有2个不同的零点.九【详解】方法1:设方程组1x|

25、2x23%(2)当a4,但c3b10时,r3方程组对方程组的增广矩阵作初等行变换，化成阶梯形矩阵，有a21:1a21:11,2,3:211:b2a10:b11054:c104a30:c4a21:12a10-b14a00c3b1(1)当当a4时,r1,2,3r1,2,3,3.方程组唯隹一解,即可由1,2,3线性表出，且表出唯一无解，不可由1，2，3线性表出当a4时,（有可能无解或无穷多解）对增广矩阵作初等行变换，得421:1211:11，2，3-211:b001:2b11054:c001:c5b211:1001-2b1000:c3b1（1）当a4时，A0，方程组有唯一解可由1,2,3线性表出，且

26、表出唯一一(i)当a4时，且但c3b10时，有r1,2,31,2,3>(3)当a4,且c3b10时,r1,2,3r1,2,3无穷多解，此时有421丨11,2,3-210:b1000丨0(3)当a4,且c3b10时,r1,2,3r1,2,3无穷多解，此时有421丨11,2,3-210:b1000丨0得对应齐次方程组的基础解系为：2方程组有1,2,0T（取自由未知量x,1,回代得T0,b1,2b1，故通解为10k2b1,其中k是任意常数02b1X22,X30）,非齐次方程的一个特解是方法2:设方程组必2X23X3因为是三个方程的三个未知量的线性非齐次方程组a2A1,2,321105因此知道：

27、1a2112111a44001，故也可由系数行列式讨论程组无解.(ii)当a4,且c3b10时,r1,2,3r1,2,32方程组有无穷多解，其通解为10k2b1,其中k是任意常数02b1十【详解】方法1：用正定性的定义判别已知对任意的Xi,X2,Xn均有fXi,X2,Xn0,捲a1X20x2a2X30其中等号成立当且仅当Xn1an1XnXnanX1方程组仅有零解的充分必要条件是其系数行列式方程组仅有零解的充分必要条件是其系数行列式1a00001a200001000001an1an00011a00001a200001000001an1an0001n11aa2an0即当a1a2an即当a1a2an

28、n1时，方程组只有零解，此时fX1，X2,Xn0.若对任意的非零向量X為/2,人0,中总有一个方程不为零，则有fN，X2,Xn(NfN，X2,Xn(Na/2)2(X2a2X3)2(Xn1aXn)2(XnanXj20所以，根据正定二次型的定义,对任意的向量XX2，X,如果fXX2，xn0,则f（X|,X2,-：Xn）是正定二次型f（X|,X2,-：Xn）是正定二次型方法2：将二次型表示成矩阵形式，有二次型正定由以上证明题中X,X2，XnX,X2，Xn(X1昭2)2(X2a2X3)2an1Xn)2(XnanX1)2x(a1x2x(a1x2X2X2a?X3X14X2，X2a?X3，,Xn1an1Xn，Xna.X14X2，X2a?X3，,Xn1an1Xn，Xna.Xn1an1XnXnXnanXXi1000an1a1000a1100001a2000a210000100X1,X2,x.000100001an1000an11an0001X2XnXiX201a200、00100记B.-亠*1印000,X0001an1an0001xnTTT则fX1,X2，XnXBBXBXBX01a00001a200001000001an1an0001B1n11a1a21an0即当a1a2ann1时，BX0只有零解，故当任意的X0时，均有fX1,X2，XnTBXBX