1999考研数一真题及解析

1、1999年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题、填空题(本题共5个小题，每小题3分,满分15分。把正确答案填写在题中横线上。)(1)lim丄丄x0xxtanxdxsin(xdx0dxsin(xdx02t)dt2x(3)y4ye的通解为y(4) 设n阶矩阵A的元素全为1,则A的n个特征值是设两两相互独立的三事件A,B和C满足条件：1 9ABC,P(A)P(B)P(C),P(ABC),2 16则P(A)，只有一个是符合题目，只有一个是符合题目二、选择题(本题共5小题,每小题3分，满分15分。每小题给出得四个选项中要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。)(1)设f(x)是连续函数，F(x)是f(

2、x)的原函数，则()(A) 当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数。(B) 当f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数。(C) 当f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数。(D) 当f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数。1 cosx-,x0设f(x)x其中g(x)是有界函数，则f(x)在x0处()2xg(x),x0(A)极限不存在(C)连续,但不可导(A)极限不存在(C)连续,但不可导(B)极限存在，但不连续(D)可导(3)设f(x)x,0x42，S(x)122x,x12Oo2ancosnx,n1其中1an20f(x)cosnxdx,(n0,1,2,),则S1(A)21(A)2(B

3、)2(C)3(D)设A是mn矩阵，B是nm矩阵，则(A)当mn时，必有行列式AB0(C)当nm时必有行列式AB0设A是mn矩阵，B是nm矩阵，则(A)当mn时，必有行列式AB0(C)当nm时必有行列式AB0(B)当mn时必有行列式AB0(D)当nm时，必有行列式AB0设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0,1)和N(1,1)，则1(A)PXY0.21(C)PX-Y0-.21(B)PX+Y1.21(D)PX-Y1-.2三、(本题满分5分)设yy(x),zz(x)是由方程zxf(xy)和F(x,y,z)=O所确定的函数，其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数dx四、(本题满分

4、5分)求Ilexsinyb(xy)dx曲线y=J2ax-x2到点0(0,0)的弧.excosyaxdy,其中a,b为正常数丄为从点A2a,0沿五、(本题满分6分)设函数yxx0二阶可导，且yx0,y01.过曲线yyx上任意一点Px,y作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S,区间0,x上以yyx为曲边的曲边梯形面积记为5,并设20S恒为1,求此曲线yyx的方程.六、(本题满分6分)试证：当x0时，x21Inx七、(本题满分6分)为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口见图，已知井深30m30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N抓斗抓起的污泥重2

5、000N,提升速度为3m/s,在提升过程中，污泥以20N/S的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功？(说明：1N1m1J;其中m,N,s,J分别表示米,牛顿渺，焦耳；抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.)八、(本题满分7分)2设S为椭球面21的上半部分，点P(x,y,z)S,为S在点P处的切平(x,y,z)为点O(0,0,0)到平面n的距离，求S(x,y,z)dS.九、(本题满分7分)设an04tannxdx,1（1）求一a.a.2的值；n1na试证：对任意的常数入0,级数收敛十、（本题满分8分）a设矩阵A5十、（本题满分8分）a设矩阵A5n1

6、nc3,其行列式A1,又A的伴随矩阵A*有一个特征值0,属a于0的一个特征向量为(1,1,1)T,求a,b,c和的值.十一、（本题满分6分）设A为m阶实对称矩阵且正定阵的充分必要条件是B的秩rBf(x)6X(30,x),0x其他,B为m呦实矩阵,Bt为B的转置矩阵试证：BTAB为正定矩n.十二、（本题满分8分）设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量X,Y联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处.y1y2y3PX人PiX118X218PYyjPj161十三、（本题满分6分）设总体X的概率密度为X1,X2,Xn是取自总体X的简单随机样本（1）求B的

7、矩估计量求的方差D1999年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析、填空题(本题共5个小题，每小题3分,满分15分.把正确答案填写在题中横线上.)(1)【答案】-3【分析】利用x0的等价变换和洛必达法则求函数极限11方法1:lim-2-x0xxtanx【详解】tanxxtanxxlim2tanx_xlim3x0xtanxx0x222secx1广tanx丄x1洛lim2lim厂tanx-xlim2-x03x2x03x2x03x2311方法2lim-2-x0xxtanx1cosxlim2x0xxsinxxm0sinxxcosx2.xsinxsinx-xlimx0sinxxcosxx洛limx0c

8、osxcosx3x2xsinxsinx1limx03x32(2)【答案】sinx2(2)【答案】sinxdb【分析】欲求(x,t)dt,唯一的办法是作变换，使含有dxa(x,t)中的x转移”到之外【详解】令uxt,则dtdu,所以有ddxddxxosin(xt)2dtd0dxxsinu2dudx.22sinudusinxdx0【答案】yC1e2xC2e2x,其中C1,C2为任意常数.4【分析】先求出对应齐次方程的通解，再求出原方程的一个特解【详解】原方程对应齐次方程y”4y0的特征方程为：240,解得12,22,故y4y0的通解为Y1Ge2xC2e2x,由于非齐次项为f(x)e2x,*2x因此

9、原方程的特解可设为yAxe，代入原方程可求得A1，故所求通解为yy1y*2x12xGeC2xe44【详解】因为两边取行列式，1(对应元素相减)把第2,n列加到第例EA和0(n-1)重)EA和0(n-1)重)提取第1列的公因子(11.12行1行11.111.13行1行0.0.-(n)11.1n行1行00.111nn)n-1(n-1(n)n)0，得1n(1重)20(n1)重)，故矩阵A的n个特征值是n(5)【答案】14【详解】根据加法公式有p(aUbUc)P(AC)因为P(A)P(B)P(C),设P(A)P(B)P(C)pP(A)P(B)P(C)P(AB)P(BC)P(ABC)P(AB)P(A)P

10、(B)pp2p，P(AC)P(A)P(C)pp2p，P(BC)P(B)P(C)pp2p，又由于ABC,因此有P(ABC)P()0，p(aUbUc)p(A)P(B)P(C)P(AC)P(AB)P(BCpp2pp2pp203p3p2又p(aUb9C)，从而16p(aUbUc)293p3p，则有3p16由于代B,C两两相互独立，所以有所以)P(ABC)3p21602p0,解得p或p164因P(A)P(B)P(C)p丄,故p丄,即P(A)2 4二、选择题(1)【答案】(A)【详解】应用函数定义判定函数的奇偶性、周期性和单调性f(x)的原函数F(x)可以表示为F(x)f(x)的原函数F(x)可以表示为F

11、(x)x0f水C,于是F(x)当f(x)为奇函数时x0f(t)dt，f(u)x0f(f(u)，从而有u)dC.F(x)x0f(u)duxC0f(t)dtCF(x)即F(x)为偶函数故(A)为正确选项(B)、(C)、(D)可分别举反例如下：f(x)x2是偶函数，但其原函数F(x)1不是奇函数，可排除(B);f(x)cos2x是周期函数，但其原函数F(x)1sin2x不是周期函数，可排除(C)；4f(x)x在区间()内是单调增函数，但其原函数F(x)丄x2在区间(2)内非单调增函数，可排除(D).【答案】(D)【详解】由于可导必连续，连续则极限必存在，可以从函数可导性入手因为f(0)limf(x)

12、f(0)1cosx12xlimlim2_0,x0x0x0X”xx0x.Xf(0)limf(x)f(0)x2g(x)limxg(x)0,limx0x0x0xx0从而，f(0)存在,且f(0)0，故正确选项为(D).(3)【答案】(C)【详解】由题设知，应先将f(x)从0,1)作偶延拓，使之成为区间-1,1上的偶函数，然后再作周期(周期2)延拓,进一步展开为傅里叶级数,5111S()S(2-)S()SH)22221而x2是f(x)的间断点，按狄利克雷定理有1 1f(20)f(20)2【答案】B【详解】方法1:A是m方法1:A是mn矩阵，B是nm矩阵，则AB是m阶方阵，因r(AB)minr(A),r

13、(B)minm,n.当mn时,有r(AB)minr(A),r(B)nm.(AB)x0的系数矩阵的秩小于未知数的个数),故有行列式AB0，故应选(B).方法2：B是nm矩阵，当mn时，则r(B)n(系数矩阵的秩小于未知数的个数)，方程组Bx0必有非零解，即存在X)Bx0必有非零解，即存在X)0,使得Bx00，两边左乘A，得ABX)0，即ABx0有非零解，从而AB0，故选(B).(A)mn,取Amn0Bnm(C)nm取Amn10,Bn(D)nm，取Amn10,Bn【答案】B方法3：用排除法10mm根据正态分布的性质:0，AB01，AB10,AB0,AB1,AB【详解】因X和Y相互独立，且XN(0,

14、1),YN(1,1),所以，AB0，(A)不成立0，(C)不成立1，(D)不成立，故选(B).服从正态分布的独立随机变量的线性组合仍服从正态分布E(XY),22D(XY)EX1EY011,EXEY011D(XY)DXDY112D(XY)DXDY112T1XYN(U1,12),T2XYN(u2,22)其中U1E(XY),12D(XY),u2由期望的性质：EfTJE(XY)E(T2)E(XY)由独立随机变量方差的性质：D(T1)D(T2)所以TiXYN(1,2),T2XYN(1,2)(一般来说遇到正态分布的小题，主要就考两点，标准化和对称性，考虑问题也是从这两点出发)1A选项：PXY0因XYN(1

15、2)2由标准化的定义：若XN(u,2),则N(0,1)x丫1所以，一N(0,1)，将其标准化有PXY0PX_Y0V2V2XY1P212(保证变换过程中概率不变，所以不等号的左边怎么变又因为标准正态分布图像是关于y轴对称，所以(保证变换过程中概率不变，所以不等号的左边怎么变又因为标准正态分布图像是关于y轴对称，所以，右边也同样的变化)1212丄，所以A错.2B选项：PB选项：P将其标准化有:1(根据标准正态分布的对称性)C选项：P将其标准化有:将其标准化有:(1)厂(1)D选项:将其标准化有:XY(1)1_(_1)厂-，故D错.20的两端对x求导数，得三【详解】分别在zxf(xy)和F(x，y，

16、z)dzdxf(x,y)x1dx(x,y)FydxFz乎dx整理后得Fydydzxf(x，y)-dxdx巴Fz空Fdxdx解此方程组，得f(x,y)xf(x,y)xffxfdzFyFx(fxf)FyxfFzdxxf1FyxfFzFyFz,(Fy四【详解】方法1:凑成闭合曲线，应用格林公式xfFz0)添加从点0(0,0)沿y0到点A2a,0的有向直线段L1,如图，则LLexsinyb(xy)dxxecosyaxdyI1exsinyb(xy)dxL1利用格林公式，前一积分dxdy(bdxydxecosyaxdy2a)dxdya(ba)其中D为Li+L所围成的半圆域，后一积分选择x为参数，得Li:x

17、0,02a,可直接积分I22a0(2bx)dx2ab，故IiI2a2ba3.2方法2:将曲线积分分成两部分，其中一部分与路径无关，余下的积分利用曲线的参数方程计算xIlesinyb(xy)dxxecosyaxdyLexsinydxexcosydyLb(xy)dxaxdy前一积分与路径无关，所以Lexsinydxexcosydyxesin(0,0)hy(2a，0)0对后一积分，取L的参数方程xaacostdxasintdt，则,t从0到，得yasintdyacostdtLb(xy)dxaxdy22223320(absintabsintcostabsintacostacost)dt1 2.132a

18、baba2 211从而I0(2a2ba2ba3)2a2ba32222五【详解】如图，曲线y五【详解】如图，曲线yy(x)上点P(x,y)处的切线方程为所以切线与x轴的交点为由于y(x)0,y(0)x,0y1,因此y(x)0(x0)c1S12yxyy2y2yx又S20y(t)dt,根据题设2S1S21,22丄2y0y(t)dt1,两边对x求导并化简得yy2y这是可降阶得二阶常微分方程，令py,则y虫亚Jydxdydxp乎dy则上述方程可化为yp虫dyp2,分离变量得並p业解得pyGy,即氏Gy,从而有yC1exC2,根据y(0)1,y(0)1,可得G1,C20,故所求曲线得方程为六【详解】构造函

19、数，利用函数的单调性证法1:令f(x)2x1Inx2x1.易知f(1)0又f(x)2xlnxx12-,f(1)x0f(x)2lnx112,f(1)2x0f(x)2(x21)3x可见，当0x1时,f(x0；当1Xf(x)可见，当0x1时,f(x0；当1Xf(x)时,f(x)0f(x)/因此，f(1)2为f(x)的最小值，即当0x因此，f(1)2为f(x)的最小值，即当0x时，f(x)f(1)20,所以f(x)为单调增函数又因为f(1)0,所以有0x1时f(x)0；1x0x1时f(x)0；1x时f(x)0,所以利用函数单调性可知，f(1)为f(x)的最小值，即f(x)f(1)0所以利用函数单调性可

20、知，f(1)为f(x)的最小值，即f(x)f(1)0所以有x0时，x21Inx当0x1x1时，原不等式等价于Inx;x1当1x时，原不等式等价于x1Inx;x1令X1f(x)Inxx1则12x21f(x)2xx120x0xx1又因为f(1)0,利用函数单调性可知当0x1x1时，原不等式等价于Inx;x1当1x时，原不等式等价于x1Inx;x1令X1f(x)Inxx1则12x21f(x)2xx120x0xx1又因为f(1)0,利用函数单调性可知证法2:先对要证的不等式作适当变形,当x1时，原不等式显然成立;x当0x1时，f(x)综上所述，当x0时，X2x10,即Inx；当1x1时,f(x)0,即

21、Inx21Inxx1七【详解】建立坐标轴如图所示，wW2%,其中W是克服抓斗自重所作的解法1:将抓起污泥的抓斗提升至井口需做功功；W2是克服缆绳重力作的功；W3为提出污泥所作的功.由题意知W400N30m12000J.将抓斗由x处提升到xdx处，克服缆绳重力所作的功为dW2=缆绳每米重熾绳长褪升高度50(30x)dx,30从而W050(30x)dx22500J.在时间间隔t,tdt内提升污泥需做功为dW3(原始污泥重漏掉污泥重)提升高度(3dt)(200020t)3dt将污泥从井底提升至井口共需时间0m10s,3m/s10所以W33(200020t)dt57000J.解法2：将抓起污泥的抓斗提

22、升至井口需做功记为W,当抓斗运动到x处时,作用力f(x)包括抓斗的自重400N,缆绳的重力50(30x)N,污泥的重力(2000-20)N,320170即f(x)40050(30x)2000x3900x,3303900017085230xdx3900xx2003 3八【分析】先写出切平面方程，然后求(x,y,z)，最后将曲面积分化成二重积分【详解】点P(x,y,z)S,S在点P处的法向量为n【详解】点P(x,y,z)S,S在点P处的法向量为nx,y,2z,设(X,Y,Z)为上任意一点，则的方程为x(Xx)y(Yy)2z(Zz)0,化简得fXzZ由点到平面的公式，0(0,0,0)到的距离(x，y

23、，z),a2AxByCzB2C2；yQ22z22y4122z从而zdSS(x,y,z)(x,y)|x2y22用投影法计算此第一类曲面积分，将S投影到xOy平面,其投影域为由曲面方程知z,(x,y)D,于是x2x2因此故有2zx24x2y2ddSs(x,y,z)144d2(4r)rdr九【详解】（1）因为anan又由部分和数列因此所以所以由于Snai脚去1tan2x)dxtafxdtanxtanxt11tndt0i(i1)1(Ttannxsecxdxn(n1_1)limSnn1,先估计anan3n_nanan1.an的值，因为04tann1tn01t21n(n10,所以n1xdx，令ttanx，

24、则dt2secxdx,即dxdtT1)ndt0收敛,从而也也收敛.n1n十【详解】根据题设，A有一个特征值0,属于o的一个特征向量为1,1,1）T，根据特征值和特征向量的概念，有A*把A1代入AAAE中，得AA*AEE,则AA*代入，于是AA*A0A,即Aa1c11a1c1也即05b311,05b311c0a11(1c)a1a1c常数0乘以矩阵5b3，需用0乘以矩阵的每一一个兀素(1c)a两边同除整理得ao(ao，得1c)o(ca),1ca)1代入中得b31.又由AA(其中(313(a1)2aa再把oC,代入(1)中，得01)31故ac2,因此a2,b3,c2,01.由(1),(3)两式得a1

25、c0(a1c)105b30(5b3)1(1c)a0(1c)a1矩阵相等，则矩阵的对应兀素都相冋，可得0(a1c)1(1)0(5b3)1(2)0(1ca)1因A10,A的特征值*0,A的特寺征值*A0,故00十一【详解】“必要性”.设btAB为正定矩阵，则由定义知，对任意的实n维列向量x0,有TTTxBABx0,即BxABx0,于是,Bx0,即对任意的实n维列向量x0,都有唯一零解的充要条件是rBn）.Bx0.(若Bx0,则A(Bx)A00矛盾).因此,Bx0只有零解,故有rBn(Bx0有“充分性”.因A为m阶实对称矩阵，则AA,故BTAB丁BTATBBTAB,根据实对称矩阵的定义知BtAB也为

26、实对称矩阵.若rBn,则线性方程组Bx0只有零解，从而对任意的实n维列向量x0,有Bx0.又A为正定矩阵，所以对于Bx0有BxTABxxTBtABx0,故BTAB为正定矩阵（对任意的实n维列向量x0,有xTBTABx0）.十二【详解】离散型随机变量边缘分布律的定义：PiPXPX冷丫jyjPij，ij1,2，PjPYyjPXxi，YyjPij，j1,2，ii（通俗点说就是在求关于X的边缘分布时，就把对应x的所有y都加起来，同理求关于丫的边缘分布时，就把对应y的所有x都加起来）故PYyiPiPXi,YYiPiii即PYyiPXN,丫YiPXx2,YYi而由表知PYyi丄,PXx2,Yyi1，所以68PXXi,YyiPYyipXX2,YYi1116824又根据X和Y相互独立,则有：PXXi,YyjPXXiPYyj即pijpiPj厂11因PXxi，Yyi，PYyi-，而PX为，丫PXxiPYy246丄所以pxPXXi，Yyi刃