2017-2018学年高中数学第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理创新应用教学案新

1、一圆周角定理对应学生用书 P181.圆周角定理文字语言圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半图形语言在OO中，BC所对的圆周角和圆心角分别是/1BAC/BOC则有/BAC=：/符号语言BOC2作用确定圆中两个角的大小关系2.圆心角定理文字语言圆心角的度数等于它所对弧的度数图形语言0付号语言A,B是OO上两点，则弧AB的度数等于/AOB勺度数作用确定圆弧或圆心角的度数3圆周角定理的推论(1) 推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也 相等.(2) 推论 2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径_说明(1)圆心角的度数和它所对的弧的

2、度数相等，但并不是“圆心角等于它所对的 弧”；(2) “相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”.对应学生用书 P18BB2/ 1 =Z2,求证：AB= AC/1=Z2,:丄FBD=ZGCE又BD=CEBFDACGEZF=ZGAB=AC, AB= AC有关圆的题目中，圆周角与它所对的弧经常相互转化，即欲证圆周角相等，可转化为证明它们所对的弧相等；要证线段相等可以转化为证明它们所对的弧相等，这是证明圆中线段相 若已知条件中出现直径，贝帰用到“直径所对的圆周角为直角”这一性质解决问题.因为/AD(=ZABE=90,所以0D和BE平行.又因为0是AE的中点,所以D是AB的中点.2

3、.已知ADABC的高，人已人已是厶ABC的外接圆的直径.求证：/BAE=ZDAC证明：连接BE例 1 如图，已知：ABC内接于OO, D E在BC边上，且BD= CE证明如图，延长AD AE分别交O0于F、G连接BF CG方法方法 规律规律 小结小结1.如图，0A是O0的半径，以0A为直径的OC与O0的弦AB相交于点D求证：D是AB的中点.证明：连接0D BE思路点拨证明此题可先添加辅助线构造等弦、等弧的条件，再由圆周角定理及其推论证明.BF=CG,BF=CGBG=CF,与圆周角定理相关的证明4因为AE为直径，所以/ABE=90.因为AD是ABC勺高,所以/ADC=90.所以/ADC=ZABE

4、因为/E=ZC,所以/BAE=90/E,/DAC=90/C所以/BAE=/DAC3.已知OO中，AB= AC D是BC延长线上一点，AD交OO于E.求证：AB=AD- AE证明：如图，/AB= AC AB=AC./ABD=/AEB在厶ABE与ADB中,/BAE=/DAB/AEB=/ABDABEAADBEZB|利用圆周角进行计算例 2如图，已知BC为半OO的直径,AD于E,且AE= BE求证：ABTAF；如果 sin /FBCT3,AB=4 5,求AD的长.5思路点拨BC为半OO的直径，连接AC构造 Rt ABC解证明：如图，连接AC/BC是半OO的直径， /BAC=90,又ADLBC垂足为D,

5、/ 1 =/ 3.AB_AEADTAB即ABTAD-AEADL BC,垂足为D, BF交5在厶AEB中,AE= BE/ 1=Z 2./2=Z3,即AB=AF.设DE=3x,3/ ADL BCsin /FBC-,5BE=5x,BD=4x./ AE= BEAE=5x,AD=8x.在 RtADB中，/ADB=90,AB=4 5,(8X)2+(4x)2= (45)2,解得x= 1,AD=8.片法片法- -规律，屮结规律，屮结-与圆周角定理有关的线段的计算、角的计算，不仅可以通过计算弧、圆心角、圆周角的度数来求相关的角、线段，有时还可以通过三角形相似、解三角形等来计算.4.如图，ABC内接于OO, OD

6、LBC于D,ZA= 50，则/0CD勺度数是(A. 40C. 50D. 60解析：连接OB因为/A= 50,所以弦BC所对的圆心角/BOO1100,/CO= 2/BO= 50,/OC= 90/CO= 40.答案：A5.如图，ABC勺角平分线AD的延长线交它的外接圆于点 E.证明：AB0AADC1B.256(2) 若ABC的面积S= ?ADAE求/BAC勺大小.解：(1)证明：由已知条件可得/BAE=/CAD7因为/AEB与/ACB是同弧上的圆周角,所以/AEB=ZACD故厶AB0AADC又S=1AB-AC-sin /BAC且S=*ADAE所以AB- AC-sin /BAC= AD- AE则 s

7、in /BAC=1.又/BAC为三角形内角,所以/BAC=90.对应学生用书 P20、选择题1.如图，在O0中，/BOG50，则/A的大小为()A. 25B. 50D. 100 1解析：由圆周角定理得/A= /BOC25答案：A2.如图所示，若圆内接四边形的对角线相交于E,则图中相似三角形有( )A. 1 对B. 2 对C. 3 对D. 4 对解析：由推论 1 知：/ADB=ZACB/ABD=ZACD/BA(C=ZBDC/CAD=ZCBDAEBADECAEDoBEC答案：B3.RtABC中 , /C= 90, /A= 30 ,AC=2 . 3,则此三角形外接圆半径为()A. 3B. 2C. 2

8、 3D. 4所以AB ADAE=AC即AB- AC= AD- AEC. 75n8解析：由推论 2 知AB为 Rt ABC的外接圆的直径，又AB=羔=4，故外接圆半COS 3U径r=1AB=2.答案：B解析：因为OD平分/BOC4.如图，已知AB是半圆O的直径，弦AD BC相交于P,若CD=3,AB=4,贝 U tan /BPD等于（）3A.44B.3C.3解析：连接BD则/BDP=亠亠PD3在 RtBPD中, cos /BPD=,= 丁，PB4 tan / BPD=答案：D二、填空题5.在OO中，已知/ACB=ZCDB=60,AC=3,则厶ABC勺周长是解析：由圆周角定理，得/A=ZD=ZAC

9、B=60 AB= BCABC为等边三角形.周长等于 9.答案：96如图，AB为半圆O的直径，OCL AB OD平分/BOC交半圆于点D, AD交OC于点E,则/AEC的度数是_9且/BOC=90,1410所以/BOD=2 /B0& 45所以/OAD=1 /BOD=22.5在 RtAEC中，/AOE=90, 则/AEO=90/OAE=67.5答案：67.57.如图所示，已知O0为厶ABC勺外接圆，AB= AC=6，弦AE交BC于D,若AD=4,则AE=_.解析：连接CE则/AEC=/ABC又厶ABC中 ,AB= AC,:丄ABC=/ACB/AEC=/ACBADC ACEAD ACACTA

10、EACAE=ADT9.答案：9三、解答题8.(2012 江苏高考)如图，AB是圆O的直径，D, E为圆O上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C,使BD= DC连结AC AE DE求证：/E=/C解：连结OD因为BD= DC O为AB的中点，所以OD/ AC于是/ODT/C.因为OB= OD所以/ODT/B.于是/B=/C因为点A,E, B, D都在圆O上，且D, E为圆O上位于AB异侧的E和/B为同弧所对的圆周角，故/E=/B.所以/E=/已知ABC内接于圆，D为BC中点，连接AD交BC于E.AE BE(1)EE=ED(2)AB- ACTAE+EB- EC证明：连接CD1 =/ 3, /

11、4=/ 5 ,两点，所以/C11ABEA CDE.A|= BED连接BDAE_BEECTDEAE- DE= BE - ECAE+BE- ECTAE+AE- DE=AEAE+ DE=AE- AD在厶ABDWAAEC中，D为BC的中点， / 1 = / 2.又/ACE/ACT /ADBAB AD ABD AEC苕AC即AB- ACTAD- AE由知：AB-ACTAE+EB-EC10如图，已知A B, C, D, E均在OO上，且AC为OO的直径.求/A+ZB+ZC+ZD+ZE的值；若OO的半径为,AD与EC交于点M且E, D为弧AC的三等分点，求MD勺长.解：连接OB OD OE则ZA+ZB+ZC+ZD+ZE1T2(ZCO+ZDOB-ZEO+ZAO+ZBOC