模糊数学4(模糊性随机性隶属函数)

1、1.1 模糊子集的定义及运算模糊子集的定义及运算1.2 水平截集、分解定理、扩张原则水平截集、分解定理、扩张原则1.3 最大隶属原则及其应用最大隶属原则及其应用1.4 隶属函数的确定隶属函数的确定1.4.1 随机性与模糊性随机性与模糊性确定数学：经典数学确定数学：经典数学数学数学不确定数学不确定数学1. 随机数学：随机数学： 概率统计学、博弈论、排队论、概率统计学、博弈论、排队论、随机微分方程、时序分析等随机微分方程、时序分析等2. 模糊数学：模糊数学：3. 复杂性复杂性数学：数学： 混沌系统中的混沌系统中的混沌混沌；热力学；热力学系统中的系统中的熵熵；经济管理系统中；经济管理系统中不可逆不可

2、逆；自然科学中的；自然科学中的非线性非线性高隆昌高隆昌：数学及其认识数学及其认识、数学纵横数学纵横 吉林大学图书馆主页吉林大学图书馆主页图书图书/电子图书电子图书 超星图书馆超星图书馆随机性：事件有明确含义随机性：事件有明确含义（即概念上有明确的界线），（即概念上有明确的界线），但试验之前不知道试验结束时该事件是否发生，该事件但试验之前不知道试验结束时该事件是否发生，该事件发发生与否表现出不确定生与否表现出不确定的性质。的性质。高维的确定性问题作为低维的随机问题，具有时间性！高维的确定性问题作为低维的随机问题，具有时间性！ 如：掷硬币时，如：掷硬币时，“国徽向上国徽向上”这一事件有明确的定义。

3、这一事件有明确的定义。在在00，11闭区间上取值的概率分布函数描述随机性闭区间上取值的概率分布函数描述随机性模糊性：概念本身没有明确的外延模糊性：概念本身没有明确的外延，一个对象是否属，一个对象是否属于这个概念难以确定，因而造成于这个概念难以确定，因而造成划分的不确定性划分的不确定性。客观的、本源性存在！客观的、本源性存在！如：如： “ “病得不轻病得不轻” ” ？ “ “张三张三病得不轻病得不轻”。在在00，11闭区间上取值的隶属函数描述模糊性闭区间上取值的隶属函数描述模糊性随机性：事件有明确含义随机性：事件有明确含义（即概念上有明确的界线），（即概念上有明确的界线），但试验之前不知道试验结

4、束时该事件是否发生，在但试验之前不知道试验结束时该事件是否发生，在该事件该事件发生与否发生与否上表现出不确定的性质，具有时间性。上表现出不确定的性质，具有时间性。模糊性：概念本身没有明确的外延模糊性：概念本身没有明确的外延，一个对象是否属，一个对象是否属于这个概念难以确定，由于于这个概念难以确定，由于概念外延的模糊而造成的不概念外延的模糊而造成的不确定性，确定性，具有客观性具有客观性。概率论和模糊数学都是研究和处理不确定的现象，都概率论和模糊数学都是研究和处理不确定的现象，都不满足二值逻辑，不满足二值逻辑，都是映射在都是映射在0，1闭区间上闭区间上。 概率论：概率论：广义的因果律概率规律，广义

5、的因果律概率规律， 承认承认偶然偶然性，必然现象扩大到偶然现象。性，必然现象扩大到偶然现象。模糊数学：模糊数学：广义的排中律隶属规律广义的排中律隶属规律。 承认承认亦此亦彼亦此亦彼性，清晰现象扩大到模糊现象。性，清晰现象扩大到模糊现象。 模糊集合论及其应用模糊集合论及其应用. 汪培庄汪培庄随机试验：随机试验：每一次试验下，试验结束时，事件每一次试验下，试验结束时，事件A 发生与否必须确定发生与否必须确定AA发生的次数发生的频率总试验次数隶属函数的确定方法包括主观断定（直觉）、归纳推隶属函数的确定方法包括主观断定（直觉）、归纳推理、理、模糊统计试验模糊统计试验、对比排序对比排序、神经网络、遗传算

6、法等。、神经网络、遗传算法等。特点特点：事件事件A 是确定的，但是确定的，但事件事件A 是否发生不定。是否发生不定。 服从服从频率稳定性频率稳定性，频率稳定所在的数值称为，频率稳定所在的数值称为事件事件A 发生的概率发生的概率。模糊逻辑及其工程应用模糊逻辑及其工程应用. 美国美国 Timothy J. Ross著著 钱同惠等译钱同惠等译.电子工业出版社，电子工业出版社，200100uAuA“”的次数对 的隶属频率总试验次数特点特点：元素：元素 是确定的，但是否属于是确定的，但是否属于 不定。不定。0uA模糊统计试验：模糊统计试验：目的是目的是 用确定性手段研究不确定性用确定性手段研究不确定性每

7、一次试验下，模糊概念明确化。每次试验都确定一每一次试验下，模糊概念明确化。每次试验都确定一个普通集合个普通集合 ， 表示模糊概念的一个近似的外延。表示模糊概念的一个近似的外延。对元素对元素 是否属于是否属于 作出明确判断。作出明确判断。A0uAA 服从服从隶属频率稳定性隶属频率稳定性，频率稳定所在的数，频率稳定所在的数值值称为元称为元素素 对模糊子集对模糊子集 的隶属度的隶属度。0uA元素元素 是确定的，但是否属于是确定的，但是否属于 不定。不定。0uA模糊统计试验的四个要素：模糊统计试验的四个要素： 给定论域给定论域U； ? 固定元素固定元素 一个一个运动着运动着的普通集合的普通集合 ，每做

8、一次试验都确定模，每做一次试验都确定模糊概念的一个近似外延，对应着一个普通集合糊概念的一个近似外延，对应着一个普通集合 。 (),( )AAF Uu00,()?AuUuAA000()AuAuuA“”的次数对 的隶属频率总试验次数随机试验：随机试验：每一次试验下，试验结束时，事件每一次试验下，试验结束时，事件A 发生与否必须确定发生与否必须确定 特点特点：事件事件A 是确定的，但是确定的，但事件事件A 是否发生不定。是否发生不定。 特点特点：元素：元素 是确定的，但是否属于是确定的，但是否属于 不定。不定。0uA模糊统计试验：用确定性手段研究不确定性模糊统计试验：用确定性手段研究不确定性每一次试

9、验下，模糊概念明确化。每次试验都确定一每一次试验下，模糊概念明确化。每次试验都确定一个普通集合个普通集合 ， 表示模糊概念的一个近似的外延。表示模糊概念的一个近似的外延。对元素对元素 是否属于是否属于 作出明确判断。作出明确判断。A0uAA 每次试验确定一个普通集合每次试验确定一个普通集合 。A模糊统计试验的四个要素：模糊统计试验的四个要素： 给定论域给定论域U； ? 固定元素固定元素 一个运动着的普通集合一个运动着的普通集合 （每做一次试验有一个（每做一次试验有一个 ） (),( )AAF Uu00,()?AuUuAA000()AuAuuA“”的次数对 的隶属频率总试验次数例例1：年龄论域：

10、年龄论域U=0,100， ( )?AAu，“青年人”，027(27)?Au，129次试验，武汉建筑材料学院次试验，武汉建筑材料学院 ，张南伦先生，张南伦先生经济管理中的模糊数学方法经济管理中的模糊数学方法 图书馆图书馆 主页主页 超星图书馆超星图书馆试验结果分析试验结果分析试试验验数数据据入团入团成年成年退团退团3136武汉大学，西安工业大学武汉大学，西安工业大学人们对事物的认识往往从二元对比开始，由二人们对事物的认识往往从二元对比开始，由二元对比确定顺序，由此顺序便可以确定隶属函元对比确定顺序，由此顺序便可以确定隶属函数的大体形状。但二元对比不满足传递性。数的大体形状。但二元对比不满足传递性

11、。 “性格好性格好”：由：由“张三张三” “李四李四”， “李四李四” “王五王五” ，无法推出，无法推出“张三张三” “王五王五” 。如何在二元对比排序的基础上，确定整体排序？如何在二元对比排序的基础上，确定整体排序？利用二元对比排序法建立隶属函数？利用二元对比排序法建立隶属函数？应用模糊数学方法应用模糊数学方法杨印生，杨印生，2001 模糊集合论及其应用模糊集合论及其应用，汪培庄，汪培庄，1983设有设有x，y，等元素需要按某种特性排序，先在等元素需要按某种特性排序，先在二元对比二元对比之中之中建立比较级建立比较级，然后再用比较级设法，然后再用比较级设法建立某一规则建立某一规则，最后按这个

12、规则进行总体排序。，最后按这个规则进行总体排序。相对比较法：相对比较法： （1）求出二元相对比较级；）求出二元相对比较级； （2）建立相及矩阵，确定总体排序；）建立相及矩阵，确定总体排序； （3）确定隶属函数。）确定隶属函数。 给定论域给定论域U=x，y，z，如何建立模，如何建立模糊子集的隶属函数？糊子集的隶属函数？ 设有设有x，y，等元素需要按某种特性排序，先在二元等元素需要按某种特性排序，先在二元对比之中建立比较级，然后再用比较级设法建立某一规对比之中建立比较级，然后再用比较级设法建立某一规则，最后按这个规则进行总体排序。则，最后按这个规则进行总体排序。 对给定的一对元素（对给定的一对元素

13、（x，y），如果存在数对），如果存在数对 ，满足，满足( ),( )yxfxfy0( )1,0( ) 1yxfyfx使得在使得在x 和和 y 的对比中，如果的对比中，如果 x 具有某种特性的程度定具有某种特性的程度定为为 的话，那的话，那 y 具有该特性的程度便是具有该特性的程度便是 ，即即 是是 x 和和 y 对该特性的二元相对比较对该特性的二元相对比较级，简称级，简称二元相对比较级二元相对比较级。( )xfy( )yfx( ),( )yxfxfy( ),( )(0.8,0.5)( ),( )(0.4,0.7)( ),( )(0.3,0.5)yxzyxzfxfyfyfzfzfx(0.8,0.

14、5)长子与次子的二元比较级是：长子与次子的二元比较级是：它的意思是，它的意思是，长子与次子长子与次子相对照，如果把相对照，如果把长子长子像父亲的像父亲的程度定为程度定为0.8的话，那么的话，那么次子次子像父亲的程度应该定为像父亲的程度应该定为0.5。0.8与与0.5。不是他们像父亲程度的绝对度量，而是具。不是他们像父亲程度的绝对度量，而是具有相对性。有相对性。相对比较法：（相对比较法：（1）求出二元相对比较级求出二元相对比较级； （2）建立相及矩阵，确定总体排序；）建立相及矩阵，确定总体排序； 用二元比较级建立所谓相及矩阵，以便进行总用二元比较级建立所谓相及矩阵，以便进行总体排序，令体排序，令

15、( )()max( ),( )yyxfxxfyfyfx则显然有则显然有( )( ),( )( )()1,( )( )yyxxyxfxfyfxfyxfyfxfy()1xfx且且( / )( / )( / )( / )( / )( / )( / )( / )( / )f x xf x yf x zf y xf y yf y zf z xf z yf z zxxyyzz相对比较法：（相对比较法：（1）求出二元相对比较级求出二元相对比较级； （2）建立建立相及矩阵相及矩阵，确定总体排序；，确定总体排序；（3）确定总体排序确定总体排序：对相及矩阵的：对相及矩阵的每一行取其最小值每一行取其最小值（横向）（

16、横向），再按所得数从大到小排出优劣次序（纵向）。，再按所得数从大到小排出优劣次序（纵向）。( ),( )(0.8,0.5),( ),( )(0.4,0.7)( ),( )(0.3,0.5)yxzyxzfxfyfyfzfzfx( )()max( ),( )yyxfxxfyfyfx4/713/5min()1xfx( / )( / )( / )( / )( / )( / )( / )( / )( / )f x xf x yf x zf y xf y yf y zf z xf z yf z zxxyyzz( )0.8()1max 0.5,0.8max( ),( )yyxfxxfyfyfx1( )0.5

17、5()8max 0.8,0.5max( ),( )xyxfyyfxfxfy5/8( )0.5()1max( ),( )max 0.3,0.5zxzfxxfzfzfx1114/73/51134175Axyz( / )( / )( / )( / )( / )( / )( / )( / )( / )f x xf x yf x zf y xf y yf y zf z xf z yf z zxxyyzz1115/814/73/5114/713/5min本例的结论：长子最像父亲，幼子次之，本例的结论：长子最像父亲，幼子次之，次子最不像父亲。次子最不像父亲。确定总体排序：确定总体排序：对相及矩阵的对相及矩阵

18、的每一行取其最小值（横向每一行取其最小值（横向），），再按所得数从大到小排出优劣次序（纵向）。再按所得数从大到小排出优劣次序（纵向）。1. 隶属函数的确定过程，本质上是客观的，但又允许隶属函数的确定过程，本质上是客观的，但又允许人为的技巧人为的技巧；2. 在某些场合，隶属函数可以通过模糊统计试验来加在某些场合，隶属函数可以通过模糊统计试验来加以确定；以确定；3. 在某些场合，用二元对比排序的方法可以确定隶属在某些场合，用二元对比排序的方法可以确定隶属函数的大致形状；函数的大致形状；4. 在某些场合，隶属函数可以作为一种推理的产物出在某些场合，隶属函数可以作为一种推理的产物出现，如各种特殊三角函

19、数的隶属函数是推理产生的；现，如各种特殊三角函数的隶属函数是推理产生的；5. 可以通过专家评分的方法确定；可以通过专家评分的方法确定；6. 利用神经网络、遗传算法确定隶属函数；利用神经网络、遗传算法确定隶属函数；7. 待定系数法待定系数法。卡夫曼收集了常用的隶属函数卡夫曼收集了常用的隶属函数28个。个。这里归为三大类：这里归为三大类：1. S 函数（偏大型）函数（偏大型）2. Z 函数（偏小型）函数（偏小型）3. 函数（中间型）函数（中间型）经济管理中的模糊数学方法经济管理中的模糊数学方法 图书馆主页图书馆主页 超星图书馆超星图书馆应用模糊数学方法应用模糊数学方法杨印生，杨印生，20011.

20、S函数（偏大型）函数（偏大型）220,2,2( ; , )1 2,21,xaxaabaxbaS x a bxaabxbbaxb S 函数是函数是 x 的连续不减函数，且的连续不减函数，且1(; , )22abSa b“年老年老”可定义为：可定义为：( )( ;50,70)O xS x2abab1x02. Z 函数（偏小型）函数（偏小型）22( ; , )1( ; , )1,1 2,22,20,Z x a bS x a bxaxaabaxbaxaabxbbaxb Z 函数是函数是 x 的连续不增函数，且的连续不增函数，且1(; , )22abZa b“年轻年轻”可定义为：可定义为：( )( ;2

21、5,50)Y xZ x1ab2abx03. 函数（中间型）函数（中间型） 函数是函数是 x 的连续函数，且的连续函数，且( ; , )1b a b“中年中年”可定义为：可定义为：( )( ;10,40)M xxbab1xba0( ;, )( ; , )( ; ,)S x ba bxbx a bZ x b baxb由于隶属函数与所研究的实际问题的自然由于隶属函数与所研究的实际问题的自然属性密切相关，极大地依赖于实际应用的背属性密切相关，极大地依赖于实际应用的背景，所以，隶属函数具有多样性和对背景的景，所以，隶属函数具有多样性和对背景的敏感性。敏感性。 人类长期积累起来的丰富的领域知识以及大人类长

22、期积累起来的丰富的领域知识以及大量的定性信息将有助于隶属函数的有效确定量的定性信息将有助于隶属函数的有效确定,隶属函数的构造和隶属度的确定。隶属函数的构造和隶属度的确定。在实际工程中，我们可以结合在实际工程中，我们可以结合隶属度分布隶属度分布与与实际物理意义实际物理意义的关系，利用的关系，利用待定系数法待定系数法来选来选取分布。取分布。 第第1步：确定论域步：确定论域第第2步：确定步：确定隶属度为隶属度为 1 和为和为 0 的论域元素的论域元素第第3步：确定最模糊点步：确定最模糊点( 隶属度为隶属度为 0.5 )第第4步：确定隶属函数的整体结构步：确定隶属函数的整体结构第第5步：确定分布的对称

23、性步：确定分布的对称性第第6步：确定过渡带的形式步：确定过渡带的形式第第7步：综合上述分析结论，确定隶属度分布，步：综合上述分析结论，确定隶属度分布， 估计分布参数。估计分布参数。分析问题背景，进行抽象总结。分析问题背景，进行抽象总结。第第1步：确定论域步：确定论域 选择适当的论域，将降低后续工作的复杂程度和选择适当的论域，将降低后续工作的复杂程度和算法工作量。算法工作量。 确定论域时，一方面，要求所确定的论域要紧密确定论域时，一方面，要求所确定的论域要紧密结合实际背景并要完全映射所研究的变量范围；另一结合实际背景并要完全映射所研究的变量范围；另一方面，又要求在有限论域内利用尽可能少的论域元素

24、方面，又要求在有限论域内利用尽可能少的论域元素来表征客体的模糊特性，以降低算法的复杂程度。来表征客体的模糊特性，以降低算法的复杂程度。 第第2步：步：确定确定隶属度为隶属度为 1 和为和为 0 的论域元素的论域元素1. 如果可知论域中某部分元素将肯定属于所讨论的如果可知论域中某部分元素将肯定属于所讨论的模糊子集模糊子集 ，也即这部分元素是对应模糊概念的确定，也即这部分元素是对应模糊概念的确定内涵，那么这部分元素的隶属度即可被赋予内涵，那么这部分元素的隶属度即可被赋予 1 。 使隶属度等于使隶属度等于 1 的论域区间称为的论域区间称为“主值区间主值区间”或或模糊子集的模糊子集的“核核”。一个点时

25、以该元素为主值点一个点时以该元素为主值点 ： “大约大约0.8” 、“圆块圆块”论域上的一个值区间论域上的一个值区间 ： “年轻年轻 ” 、 “年老年老 ” 、 “青青年年” 第第2步：步：确定确定隶属度为隶属度为 1 和为和为 0 的论域元素的论域元素一个点时以该元素为主值点一个点时以该元素为主值点 ： “大约大约0.8” 、“圆块圆块”论域上的一个值区间论域上的一个值区间 ： “年轻年轻 ” 、 “年老年老 ” 、 “青青年年” 在函数形式上，主值区间的大小将直接影响隶属在函数形式上，主值区间的大小将直接影响隶属函数曲线的顶部形状。函数曲线的顶部形状。 肯定肯定某一点某一点隶属度必定为隶属

26、度必定为1且优越显著，选择顶且优越显著，选择顶部尖锐的隶属函数部尖锐的隶属函数(三角、中间型三角、中间型(型型)； 只能肯定只能肯定一段区间一段区间隶属度必定为隶属度必定为1且优越显著，且优越显著，则选择顶部平坦的隶属函数则选择顶部平坦的隶属函数(梯形、梯形、 S 型、型、 Z 型型)第第2步：步：确定确定隶属度为隶属度为 1 和为和为 0 的论域元素的论域元素2. 如果论域中某部分元素肯定不属于所讨论的模糊如果论域中某部分元素肯定不属于所讨论的模糊集合，那么这部分元素的隶属度即可被赋予集合，那么这部分元素的隶属度即可被赋予 0 。例如模糊子集引例中的例如模糊子集引例中的“方块方块”临界的隶属

27、度为临界的隶属度为 0 的论域元素和隶属度为的论域元素和隶属度为1 的元素的元素一起决定了过渡带的范围一起决定了过渡带的范围 。第第3步：步：确定最模糊点确定最模糊点( 隶属度为隶属度为 0.5 ) 如果论域中某部分元素最无法肯定是否属于模如果论域中某部分元素最无法肯定是否属于模糊集合，即它们的不确定性最大，那么这部分元素糊集合，即它们的不确定性最大，那么这部分元素的隶属度即可被赋予的隶属度即可被赋予 0.5 ，这些论域元素就是模糊，这些论域元素就是模糊集合中的最模糊点。集合中的最模糊点。 “半圆块半圆块”、 “高个子高个子”和和“矮个子矮个子”隶属度为隶属度为 0 和和 1 的临界点和最模糊点三点成线性排列，的临界点和最模糊点三点成线性排列，选择三角或梯形等形式的隶属函数；隶属度为选择三角或梯形等形式的隶属函数；隶属度为0和和1的的边界点和最模糊点成非线性排列，选择中间型边界点和最模糊点成非线性排列，选择中间型(型型)、 S 型、型、 Z 型等形式的隶属函数。型等形式的隶属函数。第第4步：确定隶属函数的整体结构步：确定隶属函数的整体结构2. 模糊概念模糊概念向下侧重，选择偏下型向下侧重，选择偏下型( Z 型型)、右半梯形、右半梯形； “以下以下”、“小于小于”等向下侧重的模糊概等向下侧重的模糊概念，念，例如：例如：“年轻年轻 ”1. 模糊概念模糊概念向上侧重，选择