求导积分与微分方程数值解(第次课)

1、1第三讲第三讲 求导积分与微分方求导积分与微分方程数值解程数值解内容：内容：本讲针对一元微积分学补充极限、导数、本讲针对一元微积分学补充极限、导数、 积分相关运算；介绍积分相关运算；介绍Funtool符号计算器符号计算器目的：目的：学习极限学习极限 / 导数导数 / 积分相关函数的指令实积分相关函数的指令实 现，为学习微分方程数值解作准备现，为学习微分方程数值解作准备要求：要求：能够解决高等数学中的极限能够解决高等数学中的极限/导数导数/积分求解积分求解 问题；了解并会使用问题；了解并会使用Funtool符号计算器符号计算器掌握极限掌握极限(左、右极限左、右极限) 函数函数 limit掌握导数

2、掌握导数(1阶导、高阶导、偏导阶导、高阶导、偏导) 函数函数 diff掌握积分掌握积分(不定积分、定积分、数值积分不定积分、定积分、数值积分) 函数函数 int trapz quad quadl quad8第三讲 极限、导数、积分(补充)2第三讲第三讲 求导积分与微分方求导积分与微分方程数值解程数值解求极限、求导数与求积分. 极限极限, ,导数导数, ,积分是我们在高等数学学习中接触积分是我们在高等数学学习中接触过的过的最基本也是最重要最基本也是最重要的概念的概念. .一方面它们是很多一方面它们是很多数学工具的基础数学工具的基础( (比如微分方程比如微分方程););另一方面它们又另一方面它们又

3、是工程计算和科学研究直接面对的问题是工程计算和科学研究直接面对的问题. . 微分微分( (导数导数) )运算比较简单运算比较简单, ,任何一个由基本初任何一个由基本初等函数经过四则及复合运算构成的函数等函数经过四则及复合运算构成的函数, ,都可以用都可以用导数公式和求导法则算出它们的导数导数公式和求导法则算出它们的导数. . 积分运算则相对复杂得多积分运算则相对复杂得多, ,仍有许多函数仍有许多函数“积积不出来不出来”,”,由于它们的原函数无法由基本初等函数由于它们的原函数无法由基本初等函数经过四则及复合运算构成经过四则及复合运算构成, ,计算这类计算这类定积分问题定积分问题我我们也只能采用们

4、也只能采用数值方法数值方法. . 借助借助 MATLAB MATLAB 我们得以快速解决这些问题我们得以快速解决这些问题! !3第三讲第三讲 求导积分与微分方求导积分与微分方程数值解程数值解基本调用格式：基本调用格式：limit(f)功能功能:计算计算limit(f,x,a)功能功能:计算计算limit(f,x,inf)功能功能:计算计算limit(f,x,a,right)功能功能:计算计算limit(f,x,a,left)功能功能:计算计算求极限运算的调用格式lim( )0f xxlim( )f xxalim( )f xxlim( )f xxalim( )f xxa注意：注意：默认默认x趋于

5、趋于0；在左，右极限在左，右极限不相等，或有不相等，或有一个不存在时，一个不存在时，默认为求右极默认为求右极限；限；4第三讲第三讲 求导积分与微分方求导积分与微分方程数值解程数值解求极限运算的应用示例应用示例（熟悉应用类型应用示例（熟悉应用类型）：）：例例1 求极限求极限syms x; y=(1+tan(x)/(1+sin(x)(1/x3); limit(y)例例2 求极限求极限syms n; y=(1+1/n)n; limit(y,n,inf) 例例3 求极限求极限syms x; y=5*x+log(sin(x)+exp(sin(x); limit(y,x,3,left)311ta nlim

6、()1s in0 xxxxs inlim5ln (s in)3xxxexlim(11)nnn 5第三讲第三讲 求导积分与微分方求导积分与微分方程数值解程数值解求导数运算的调用格式1 一元函数求导一元函数求导基本调用格式：基本调用格式：diff(f) 功能功能-求函数求函数f的一阶导数的一阶导数diff(f,n) 功能功能-求函数求函数f的的n阶导数阶导数应用示例：应用示例：例例4 求求的一阶、二阶导数的一阶、二阶导数syms a b x;y=(a*x+tan(3*x)(1/2)+sin(x)*cos(b*x);d1y=diff(y), disp(*), pretty(d1y), disp(*)

7、d2y=diff(y,2), disp(*) , pretty(d2y), 1 2()(ta n 3)s inc o s ()fxa xxxb x6第三讲第三讲 求导积分与微分方求导积分与微分方程数值解程数值解求导数运算的调用格式2 多项式拟合求导（多项式拟合求导（表达式未知或不易求导表达式未知或不易求导）方法说明：方法说明：先利用先利用polyfit将函数拟合成多项式函数，然后利用将函数拟合成多项式函数，然后利用多项式函数求导命令多项式函数求导命令polyder求导或求导或diff求导求导应用示例：应用示例：例例5 用用5阶多项式拟合函数阶多项式拟合函数并求并求x=2处的二阶导函数值处的二阶

8、导函数值x=0:.1:8; y=cos(x).*log(3+x.2+exp(x.2); p=polyfit(x,y,5),y2=polyval(p,x); plot(x,y,b,x,y2,r); legend(y,y2,2); %产生数据点，拟合成5阶多项式函数，并作图比较p1=polyder(p); p2=polyder(p1); ans1=polyval(p2,2),%利用多项式函数专用求导函数polyder求导，并代值y2=poly2sym(p,x), y2d2=diff(y2,2), ans2=subs(y2d2,2),%利用通用求导函数diff求导，并代值22cos( )ln(3)x

9、xxe7第三讲第三讲 求导积分与微分方求导积分与微分方程数值解程数值解求导数运算的调用格式3 参数方程求导参数方程求导方法说明：方法说明：对参数方程对参数方程x=x(t);y=y(t);先求出先求出dy/dt和和dx/dt然后代入公式然后代入公式dy/dx= dy/dt / dx/dt 即可即可应用示例：应用示例：例例6 求参数方程求参数方程syms t; x=t*(1-sin(t); y=t*cos(t);ezplot(x,y); grid on;dx=diff(x,t); dy=diff(y,t); dydx=dy/dx; pretty(dydx)%下面在下面在t=4.1处作出参数方程的切

10、线（导数）处作出参数方程的切线（导数）hold on; t=4.1; x=eval(x); y=eval(y); plot(x,y,ro);k=eval(dydx); line(x,x+1,y,y+k,color,r)(1sin)co sxttytt8第三讲第三讲 求导积分与微分方求导积分与微分方程数值解程数值解求导数运算的调用格式4 多元函数求导多元函数求导方法说明：方法说明：对指定变量求导，求偏导数对指定变量求导，求偏导数应用示例：应用示例：例例7 求求 对对z 的偏导数的偏导数syms a b x y z;u=a*exp(b*x+y+z2);pretty(diff(u,z)例例8 对对s

11、yms x y;z=x3*y2+sin(x*y);diff(z,x,3)2bxyzuae33 2sin(),zx yxyzx3求9第三讲第三讲 求导积分与微分方求导积分与微分方程数值解程数值解求导数运算的应用示例例例9 以以 为例验证罗必塔法则：为例验证罗必塔法则：syms a b xf=ax-bx;g=x;l1=limit(f/g,x,0)df=diff(f,x);dg=diff(g,x);l2=limit(df/dg,x,0)if l1=l2disp(罗必塔罗必塔法则得到验证！法则得到验证！)end0limxxxabx10第三讲第三讲 求导积分与微分方求导积分与微分方程数值解程数值解求不定

12、积分运算的调用格式1 不定积分不定积分方法说明：方法说明：int(f)对默认变量积分；对默认变量积分；int(f,v)对指定变量积分对指定变量积分应用示例：应用示例：例例10 计算计算syms x; y=1/(sin(x)2*cos(x)2); pretty(int(y)例例11 计算计算syms a x; y=1/(a2-x2); pretty(int(y,x)例例12 计算二重不定积分计算二重不定积分syms x y; F=int(int(x*exp(-x*y),x),y)221 sincosxxdx221 ()axdxxyxedxdy11第三讲第三讲 求导积分与微分方求导积分与微分方程数

13、值解程数值解求定积分运算的调用格式2 定积分定积分-解析解法解析解法方法说明：方法说明：int(f,x,a,b) 依据微积分基本公式计算依据微积分基本公式计算应用示例：应用示例：例例13 计算计算syms a x;f=sqrt(x2+a);pretty(int(f,x,-2,2)例例14 对变上限函数对变上限函数 求导求导 syms t x;f= sqrt(1-t2);pretty(diff(int(f,t,0,x2)( )bafx dx21222()xadx21220(1)xtdt12第三讲第三讲 求导积分与微分方求导积分与微分方程数值解程数值解求定积分运算的调用格式3 定积分定积分-数值解

14、法数值解法方法说明：方法说明：当定积分当定积分-符号解法失效时，必须用定积分符号解法失效时，必须用定积分-数值解数值解法来近似计算定积分的值。矩形公式法来近似计算定积分的值。矩形公式sum，复合梯复合梯形公式形公式trapz，复合辛普森公式复合辛普森公式quad/quad8的区别的区别在于替代等距曲边梯形的方式不同：在于替代等距曲边梯形的方式不同：13第三讲第三讲 求导积分与微分方求导积分与微分方程数值解程数值解求定积分运算的应用示例应用示例：应用示例：sum使用一次用于求向量或矩阵每一列的和，若使使用一次用于求向量或矩阵每一列的和，若使用两次则先按列求和再按行求和用两次则先按列求和再按行求和

15、(行列总和行列总和)例例15 矩形法计算矩形法计算 在在x=0与与x=10之之间所围面积间所围面积dx=0.1; x=0:dx:10; y=-x.2+115;sum(y(1:length(x)-1)*dx( 的近似值的近似值)2115yx 1020(115)xdx14第三讲第三讲 求导积分与微分方求导积分与微分方程数值解程数值解求定积分运算的调用格式trapz(x,y)用复合梯形公式计算定积分，用复合梯形公式计算定积分，x为积分变量分点向为积分变量分点向量，量，y为被积函数分点函数值向量为被积函数分点函数值向量quad(fun,a,b,tol,trace)用复合辛普森公式计算定积分，用复合辛普

16、森公式计算定积分，fun为被积函数表为被积函数表达式字符串或达式字符串或m函数文件名，函数文件名，a，b是积分下上限，是积分下上限，tol表示精度表示精度(缺省缺省0.001)，trace=1图示积分过程图示积分过程(默默认认=0不显示不显示) %quadl采用采用Lobatto算法，精度和速度要优于算法，精度和速度要优于quad %quad8采用采用8阶阶NewtonCotes算法，精度优于算法，精度优于quad15第三讲第三讲 求导积分与微分方求导积分与微分方程数值解程数值解求定积分运算的应用示例例例16 用两种方法求定积分用两种方法求定积分x=2:.1:5;y=log(x)./(x.2)

17、;tt=trapz(x,y) %复合梯形公式复合梯形公式 fun=inline( log(x)./(x.2) ,x);ss=quad(fun,2,5) %复合辛普森公式复合辛普森公式522ln/xx dx16第三讲第三讲 求导积分与微分方求导积分与微分方程数值解程数值解Funtool符号计算器-界面17第三讲第三讲 求导积分与微分方求导积分与微分方程数值解程数值解Funtool符号计算器-功能图形化符号函数计算器的使用：图形化符号函数计算器的使用：f= 为图形窗口1的控制函数，其缺省值为x；g= 为图形窗口2的控制函数，其缺省值为1；x= 为两窗口函数的自变量取值范围，缺省-2*pi,2*pi

18、a= 为常数，缺省值为1/2。df/dx 计算函数f对x的导法式，并赋给f。int f 计算函数f的积分函数，并赋给f。simple f 计算函数f的最简表达式，并赋给f。(syms x) simplify(cos(x)2+sin(x)2); simplify(x2+5*x+6)/(x+2); expand(cos(x+y); expand(x-2)*(x-4); syms x y; factor(x3-y3); factor(x3+3*x2+3*x+1); num f 取表达式f的分子，并赋给f。den f 取表达式f的分母，并赋给f。1/f 求f的倒数函数，并赋给f。finv 求f的反函数，并赋给f。18第三讲第三讲 求导积分与微分方求导积分与微分方程数值解程数值解Fu