第三章概率空间

1、一、知识回顾二 、随机变量三 、分布函数四、概率分布五、一些重要分布1、离散型分布下图是一个n=20，p=0.125的二项分布示意图： 泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。如机场、车站等在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数、汽车站台的候客人数、单位面积内电脑平显示屏上的黑斑数、保险公司一段时间内的保单树、天津爆炸放射性物质的衰变数等等。 泊松分布也属于离散性分布。泊松分布函数（3）二项分布与泊松分布的关系（泊松定理） 设随机变量X服从二项分布B(n,p)，当n+时，X近似地服从泊松分布P()，即：其中，=np只有当p的值很小，一般小于0.1时，用泊松分布取代二项分布所产

2、生的误差才会比较小泊松分布的数学期望E(X)=，方差D(X)=p0.1时候的情况p 0是分布的一个参数，常被称为率参数（即每单位时间内发生某事件的次数。指数分布的区间是0,)。 如果一个随机变量X呈指数分布，则可以写作：X Exp（）。指数分布（是一种连续概率分布。这种分布表现为均值越小，分布偏斜的越厉害。其中0为常数，则称随机变量X服从参数为的指数分布。密度函数的图象如下图所示数学期望E(X)=1/，方差为D(X)=1/2。指数分布的分布函数图象如下图所示：可以看到的值越大，曲线的 斜率变化 越快（3）正态分布其中，-x+，且-+，为参数。则称随机变量X服从参数为（，2）的正态分布，记作XN

3、(，2)若=0，2=1，则称N（0,1）为标准正态分布。正态分布的特点：变化而不变时，图像沿着X轴移动，图像的形状不改变。如图：不变而改变时，图像的位置不变，但形态发生改变。越大图像就越胖。注意 概率密度函数，概率分布函数统一描述随机变量的概率特性；被扩充的样本点处的概率密度被定义为零； 对于离散型随机变量（随机向量），有时候为了表述的方便，也用离散变量表示，而不进行扩充，此时概率特性用概率质量函数表示。1、概率质量函数（pmf: probability mass function）任何一种离散型随机变量都可以统一地用概率质量函数表示其他事件的概率通过概率质量函数计算得到连续型随机变量不可以用

4、概率质量函数表示。六、分布函数2、概率分布函数(cdf: cumulative distribution function)3、概率密度函数(pdf: probability density function) 连续型随机变量的概率密度函数（在不至于混淆时可以简称为密度函数）是一个描述这个随机变量的输出值，在某个确定的取值点附近的可能性的函数。记作 ： 随机数据的概率密度函数：表示瞬时幅值落在某指定范围内的概率，因此是幅值的函数。它随所取范围的幅值而变化。（1）定义（2）多元概率密度函数（3） 概率密度函数f(x) 的性质：（4）一个十分重要概率密度函数： 正态分布是重要的概率分布。它的概率密

5、度函数是：（5）概率密度函数应用 随机变量X的n阶矩是X的n次方的数学期望，即 X的方差 更广泛的说，设g为一个有界连续函数，那么随机变量g(X)的数学期望第二节 随机变量的数字特征一、数学期望1、0-1分布；2、泊松分布；3、均匀分布；指数分布自己证明二、离散二、离散型随机变量数字型随机变量数字特征特征三、三、连续型随机变量数字特征连续型随机变量数字特征四、切比雪夫不等式第三节 随机向量与联合分布离散型随机向量连续型随机向量混合型随机向量1、随机向量 2、随机向量和随机变量的关系 随机向量包含了单个分量随机变量的完全信息 随机向量还包含单个分量随机变量之间的相关信息二、联合概率分布函数 随机

6、变量X和Y的联合分布函数是，设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数：F(x,y) = P(X=x) 交 (Y P(X=x, Y=y)称为二维随机变量(X,Y)的分布函数1、定义n维维随机变量及其数学特征随机变量及其数学特征2、联合分布3、联合概率分布 的几何意义 如果将二维随机变量(X,Y)看成是平面上随机点的坐标，那么分布函数F(x,y)在(x,y)处的函数值就是随机点(X,Y)落在以点(x,y)为顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率。4、联合概率分布 - 离散情况5、联合概率分布 - 连续情况6、联合分布的案例7、联合概率密度8、联合密度函数、联合分布函数、概率密度函

7、数的区别 从定义上看，对于二维随机变量（X,Y)，若存在一个非负函数f（x，y），使对存在（x，y）属于R的平方，其分布函数F(x，y）=f(u,v)的二元积分，则称（X,Y）为二维连续型随机变量，f（x,y)为（X,Y)的密度函数（概率密度），或X与Y的联合密度函数。 可以看出概率密度函数和联合密度函数是一样的，只是说法不同。 联合分布函数定义：设（X,Y）是二维随机变量，（x,y）属于R的平方，则称F（x，y）=PX=x,Y=y为（X,Y)的分布函数，或X与Y的联合分布函数。 也即是联合分布函数只是一系列数据的分布规律问题，而联合密度函数是事件发生概率的累积问题，这是二者的不同。三、边缘概

8、率（1）边缘密度 （2）四、随机向量的其它定义五、随机事件独立和相关的随机事件独立和相关的定义定义1、定义3、相互独立的随机变量的性质定理2-4第四节 条件数学期望一、离散型随机变量的条件数学期望二、连续型随机变量的条件数学期望例子：相关计算下一页继续三、条件数学期望的性质1、性质性质（2）证明（离散型证明见P26页）2、推论四、条件数学期望的应用 条件数学期望在概率论与数理统计中有重要的作用，在实际问题中也有大量应用 例如某少体校要在小学中选拔一批小学生进行重点培养，为我国篮球，排球运动准备后备力量对一个运动员来说，他（她）的身高显然是一个非常重要的因素于是问题产生了，在一大群各项素质（包括目前的身高）都差不多的七八岁的小朋友中，用什么办法来选拔一批将来（十年以后）身材会比较高的幼苗进行重点培养呢？科学工作者发现了小孩的足长与他（她）长大后的身高之间有密切的关系我国的