离散型随机变量及其分布

1、1. 离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律2. 三种重要的离散型随机变量的概率分布三种重要的离散型随机变量的概率分布3. 小结小结2.2 2.2 离散型随机变量及其分布律离散型随机变量及其分布律且且满满足足条条件件的的概概率率为为事事件件即即取取各各个个可可能能值值的的概概率率值值为为所所有有可可能能取取的的不不同同设设离离散散型型随随机机变变量量., 2, 1,), 2 , 1( kpxXPxXXkxXkkkk1. 1. 离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律定义定义1. ,.,2 , 1, 0kpk2. , 11kkp则称则称,.2 , 1,kpxXPkk为随机变量为随机变量

2、X的的概率分布律，简称分布律概率分布律，简称分布律. Xkp1x2xkx1p2pkpX的分布律也可用如下的表格形式来表示：的分布律也可用如下的表格形式来表示：.X.XX.0.700.80.75.的的分分布布律律试试求求是是一一个个随随机机变变过过量量次次其其中中罚罚中中的的次次数数，则则记记罚罚球球两两以以的的概概率率为为次次未未罚罚中中则则第第二二次次罚罚中中，若若第第一一罚罚中中的的概概率率为为若若第第一一次次罚罚中中则则第第二二次次，中中的的概概率率为为若若罚罚球球两两次次，第第一一次次罚罚以以下下规规律律一一篮篮球球运运动动员员罚罚球球有有据据以以往往的的资资料料知知道道，某某解解例例

3、1X 所有可能取的值为所有可能取的值为0，1，2.70. 0)|(,80. 0)|(,75. 0)(ABPABPAP于是分布律为于是分布律为以以A记事件第一次罚球时罚中记事件第一次罚球时罚中, 以以B记事件第二记事件第二次罚球时罚中次罚球时罚中,则有则有 0XP 1XP.325. 025. 070. 075. 020. 0)()|()()|( APABPAPABP)(ABP或将分布律写成或将分布律写成 0.6 0.075 0.325 0 1 2 Xkp 2XP)()|(APABP . 6 . 075. 080. 0 )(BABAP)()(BAPBAP )(BAP)()|(APABP .075.

4、 025. 030. 0 线条图线条图概率直方图概率直方图另外还可用图形来表示分布律：线条图、概率直方图另外还可用图形来表示分布律：线条图、概率直方图.0.20.40.60120.0750.3250.60.20.40.6012PXPX2.2.三种重要的离散型随机变量的概率分布三种重要的离散型随机变量的概率分布 (1) 两点分布两点分布设随机变量设随机变量 X 只可能取只可能取a与与b两个值两个值 , 它的分它的分布律为布律为Xkpap 1bp则称则称 X 服从服从 两点分布两点分布(其中其中 0p1) 当当a=0，b=1时时两点分布称为两点分布称为 (01) (01) 分布分布即：即：设随机变

5、量设随机变量 X 只可能取只可能取0与与1两个值两个值 , 它的它的分布律为分布律为Xkp0p 11p则称则称 X 服从服从 (01) 分布分布或或伯努利分布伯努利分布. .(其中其中 0p1)实例实例1 “抛硬币抛硬币”试验试验,观察正、反两面情观察正、反两面情况况. 随机变量随机变量 X 服从服从 (01) 分布分布., 1)(eXX , 0,正正面面当当 e.反反面面当当 eXkp012121其分布律为其分布律为实例实例2 200件产品中件产品中,有有190件合格品件合格品,10件不合格件不合格品品,现从中随机抽取一件现从中随机抽取一件,那末那末,若规定若规定 , 0, 1X取得不合格品

6、取得不合格品,取得合格品取得合格品.则随机变量则随机变量 X 服从服从(0 1)分布分布.Xkp0120019020010 两点分布是最简单的一种分布两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有任何一个只有两种可能结果的随机现象两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点都属于两点分布分布.说明说明（2）二项分布二项分布1) 重复独立试验重复独立试验将试验将试验 E 重复进行重复进行 n 次次, 若各次试验的结果互若各次试验的结果互不影响不影响 , 即每次试验结果出现的概率都不依赖于其即每次试验结果

7、出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果它各次试验的结果, 则称这则称这 n 次试验是次试验是相互独立相互独立的的, 或称为或称为 n 次次重复独立重复独立试验试验.2) n 重重伯努利试验伯努利试验.1)(),10()(.)(,:pAPppAPBernoulliEAAE 此此时时设设试试验验伯伯努努利利为为则则称称及及只只有有两两个个可可能能结结果果设设试试验验伯努利资料伯努利资料. , 重重伯伯努努利利试试验验 nnE复复的的独独立立试试验验为为则则称称这这一一串串重重次次独独立立地地重重复复地地进进行行将将实例实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面抛一枚硬币观察得到正面或反面. 若将硬若将硬

8、币抛币抛 n 次次,就是就是n重伯努利试验重伯努利试验.实例实例2 抛一颗骰子抛一颗骰子n次次,观察是否观察是否 “出现出现 1 点点”, 就就是是 n重伯努利试验重伯努利试验.3) 二项概率公式二项概率公式,发生的次数发生的次数重伯努利试验中事件重伯努利试验中事件表示表示若若AnX所所有有可可能能取取的的值值为为则则 X., 2, 1, 0n,)0(时时当当nkkX .次次次次试试验验中中发发生生了了在在即即knA 次次kAAA, 次次knAAA 次次1 kAAAA A 次次1 knAAA次次的的方方式式共共有有次次试试验验中中发发生生在在得得knA,种种 kn且两两互不相容且两两互不相容.

9、nknknnkpqpknpqnqpnkX 1110称这样的分布为称这样的分布为二项分布二项分布.记为记为).,(pnBX次次的的概概率率为为次次试试验验中中发发生生在在因因此此knAknkppkn )1(pq 1记记knkqpkn 的分布律为的分布律为得得 X二项分布二项分布1 n两点分布两点分布注意注意: 贝努里概型对试验结果没有等可贝努里概型对试验结果没有等可能的要求，但有下述要求：能的要求，但有下述要求：（1）每次试验条件相同；）每次试验条件相同；二项分布描述的是二项分布描述的是n重贝努里试验中出现重贝努里试验中出现“成功成功”次数次数X的概率分布的概率分布.（2）每次试验只考虑两个互逆

10、结果）每次试验只考虑两个互逆结果A或或 ， A 且且P(A)=p ， ； pAP1)(（3）各次试验相互独立）各次试验相互独立. .例如例如 在相同条件下相互独立地进行在相同条件下相互独立地进行 5 次射击次射击,每每次射击时击中目标的概率为次射击时击中目标的概率为 0.6 ,则击中目标的次则击中目标的次数数 X 服从服从 B (5,0.6) 的二项分布的二项分布.5) 4 . 0(44 . 06 . 015 324 . 06 . 025 234 . 06 . 035 4 . 06 . 0454 56 . 0Xkp012345.,400,02. 0,率率试试求求至至少少击击中中两两次次的的概概

11、次次独独立立射射击击设设每每次次射射击击的的命命中中率率为为某某人人进进行行射射击击解解,X设击中的次数为设击中的次数为).02. 0 ,400( BX则则的分布律为的分布律为X,)98. 0()02. 0(400400 kkkkXP .400, 1 , 0 k因此因此1012 XPXPXP399400)98. 0)(02. 0(400)98. 0(1 .9972. 0 例例2?)20, 1 , 0(20.20, 2 . 0.1500,一级品的概率是多少一级品的概率是多少只只中恰有中恰有只元件只元件问问只只现在从中随机地抽查现在从中随机地抽查品率为品率为级级已知某一大批产品的一已知某一大批产品

12、的一小时的为一级品小时的为一级品用寿命超过用寿命超过某种型号电子元件的使某种型号电子元件的使按规定按规定 kk分析分析 这是不放回抽样这是不放回抽样.但由于这批元件的总数很但由于这批元件的总数很大大, 且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.2020,重重伯伯努努利利试试验验只只元元件件相相当当于于做做检检查查验验一一级级品品看看成成是是一一次次试试把把检检查查一一只只元元件件是是否否为为例例3解解,20 只只元元件件中中一一级级品品的的只只数数记记以以 X),2 . 0,20(

13、 BX则则因此所求概率为因此所求概率为.20, 1 , 0,)8 . 0()2 . 0(2020 kkkXPkk012. 00 XP058. 01 XP137. 02 XP205. 03 XP218. 04 XP175. 05 XP109. 06 XP055. 07 XP022. 08 XP007. 09 XP002. 010 XP时时当当11,001. 0 kkXP图示概率分布图示概率分布例例4 4 经验表明人们患了某种疾病，有经验表明人们患了某种疾病，有30%30%的人的人不治自愈不治自愈. .医药公司推出一种新药，随机选医药公司推出一种新药，随机选10 10 个个患此病的病人服用新药，已

14、知其中患此病的病人服用新药，已知其中9 9人很快就痊人很快就痊愈了愈了. .设各人自行痊愈与否相互独立设各人自行痊愈与否相互独立. .试推断这些试推断这些病人是自愈的，还是新药起了作用病人是自愈的，还是新药起了作用. .解解 假设新药毫无作用，则一个病人痊愈的概假设新药毫无作用，则一个病人痊愈的概率为率为p=0.3.以以X记记10个病人中自愈的病人数，则个病人中自愈的病人数，则XB(10,0.3).000138. 0)7 . 0() 3 . 0(91099 XP（3）泊松分布泊松分布 ).(,.0, 2 , 1 , 0,!e, 2, 1, 0 XXkkkXPk记为记为布布的泊松分的泊松分服从参

15、数为服从参数为则称则称是常数是常数其中其中值的概率为值的概率为而取各个而取各个的值为的值为设随机变量所有可能取设随机变量所有可能取 泊松资料泊松资料泊松分布的背景及应用泊松分布的背景及应用二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的察与分析放射性物质放出的 粒子个数的情况粒子个数的情况时时, ,他们做了他们做了2608次观察次观察( (每次时间为每次时间为7.5秒秒) )发现发现放射性物质在规定的一段时间内放射性物质在规定的一段时间内, , 其放射的粒其放射的粒子数子数X服从泊松分布服从泊松分布. . 电话呼唤次数电话呼唤次数交通事故次数交通

16、事故次数商场接待的顾客数商场接待的顾客数地震地震火山爆发火山爆发特大洪水特大洪水 在生物学在生物学、医学医学、工业统计、保险科学及工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等话呼唤次数等, 都服从泊松分布都服从泊松分布.（4 ）泊松定理）泊松定理 设随机变量设随机变量X X服从二项分布，其分布服从二项分布，其分布律为律为 ，k=0,1,2,n.k=0,1,2,n.又设又设np= ,( = ,( 是常数是常数) )，则有，则有二项分布与泊松分布有

17、以下的关系二项分布与泊松分布有以下的关系.knkppknkXP )1(0 knknnppknkXP )1(limlim.,.,2 , 1 , 0,!nkkek 该定理于该定理于1837年由法国数学家泊松引入！年由法国数学家泊松引入！单击图形播放单击图形播放/ /暂停暂停ESCESC键退出键退出二项分布二项分布 泊松分布泊松分布)( nnp 可见，当可见，当n充分大充分大, ,p又很小时又很小时, ,可用泊松可用泊松分布来近似二项分布！分布来近似二项分布！ 由泊松定理，由泊松定理，n重贝努里试验中稀有事件重贝努里试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布出现的次数近似地服从泊松分布. 我们把在每

18、次试验中出现概率很小的事我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作件称作稀有事件稀有事件. 如地震、火山爆发、特大如地震、火山爆发、特大洪水、意外事故等等洪水、意外事故等等例例 某一地区，一个人患某种疾病的概率为某一地区，一个人患某种疾病的概率为0.010.01，设各人患病与否相互独立，设各人患病与否相互独立. .现随机抽取现随机抽取200200人，求其中至少人，求其中至少4 4人患这种病的概率人患这种病的概率. .解解以以X记记200人中患此病的人数，人中患此病的人数，. 201. 0200 np 由由于于所求概率为所求概率为314 XPXP 302!21kkke查泊松分布表（附表）查泊松分布

19、表（附表）则则XB(200，0.01). 31kk-200)8 . 0()01. 0(k2001k利用泊松定理，利用泊松定理，.1429. 08571. 01 例例6 为了保证设备正常工作为了保证设备正常工作, 需配备适量的维修需配备适量的维修工人工人 (工人配备多了就浪费工人配备多了就浪费 , 配备少了又要影响生配备少了又要影响生产产),现有同类型设备现有同类型设备300台台,各台工作是相互独立的各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况我们也只考虑这种情况)

20、,问至少需配备多少工人问至少需配备多少工人 ,才能保证设备发生故障才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于但不能及时维修的概率小于0.01?解解.人人设需配备设需配备 N设设备备记记同同一一时时刻刻发发生生故故障障的的,X台台数数为为).01. 0 ,300(,BX那那么么所需解决的问题所需解决的问题,N是确定最小的是确定最小的使得使得合理配备维修工人问题合理配备维修工人问题由泊松定理由泊松定理得得,!e303 NkkkNXP故有故有 Nkkk03!e31,01. 0 . 8是是小的小的查表可求得满足此式最查表可求得满足此式最N个工人个工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的才能保证设备

21、发生故障但不能及时维修的概率小于概率小于0.01.故至少需配备故至少需配备8.01. 0 NXP .!303Nkkk即即例例8（课堂讨论）（课堂讨论） 设有设有80台同类型设备台同类型设备,各台工作各台工作是相互独立的发生故障的概率都是是相互独立的发生故障的概率都是 0.01,且一台设且一台设备的故障能由一个人处理备的故障能由一个人处理. 考虑两种配备维修工考虑两种配备维修工人的方法人的方法 , 其一是由四人维护其一是由四人维护,每人负责每人负责20台台; 其其二是由二是由3人共同维护台人共同维护台80.试比较这两种方法在设试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小备发生故障时不

22、能及时维修的概率的大小.解解 按第一种方法按第一种方法台中台中人维护的人维护的表示事件“第表示事件“第20i,201数数”的的台台台台中中同同一一时时刻刻发发生生故故障障人人维维护护的的记记“第第以以X)4 , 3 , 2 , 1( iAi以以发生故障时不能及时维修发生故障时不能及时维修”,而不能及时维修的概率为而不能及时维修的概率为则知则知80台中发生故障台中发生故障)()(14321APAAAAP .2 XP),01. 0 ,20( bX而而np 又又, 2 . 0 故有故有 22 . 0!)2 . 0(2kkkkXP.0175. 0 即有即有.0175. 0)(4321 AAAAP 按第

23、二种方法按第二种方法.80障障的的台台数数台台中中同同一一时时刻刻发发生生故故记记以以Y),01. 0 ,80( BY则有则有np 又又, 8 . 0 故故 80 台中发生故障而不能及时维修的概率为台中发生故障而不能及时维修的概率为 48 . 0!)8 . 0(4kkkkYP.0091. 0 离散型随机变量的分布离散型随机变量的分布 两点分布两点分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布两点分布两点分布1 n小结 nppn,1.0,10).,(,)10(), 2 , 1(., 0, 1,)10(21pnXXXXniiiXpnni参数为参数为服从二项分布服从二项分布那末那末分布并且相互独立分布并且相互独立它们都服从它们都服从次试验失败次试验失败若第若第次试验成功次试验成功若第若第设设每次试验成功的概率为每次试验成功的概率为立重复伯努利试验立重复伯努利试验次独次独对于对于分布的推广分布的推广二项分布是二项分布是 .)10(关系关系分布、泊松分布之间的分布、泊松分布之间的二项分布与二项分布与 )., 2 , 1 , 0(,e!)()1(,)(,nkknpppknkXPnnppnnpkknk 即即为参数的泊松分布为参数的泊松分布于以于以时趋时趋当