定轴转动动量矩定理和守恒定律

1、v1质点的动量矩质点的动量矩vmrprLvrLLrxyzom 质量为质量为 的质点以的质点以速度速度 在空间运动，某在空间运动，某时对时对 O 的位矢为的位矢为 ，质，质点对点对O的动量矩的动量矩mrvsinvrmL 大小大小 的方向符合右手法则的方向符合右手法则L角动量单位：角动量单位：kgm2s-1一一 动量矩动量矩 Lrpmo 质点以质点以 作半径为作半径为 的圆周运动，相对圆心的圆周运动，相对圆心rJmrL22 刚体定轴转动的动量矩刚体定轴转动的动量矩2iiirmLOirimivJL ziiirm)(2刚体所受的外力矩等于刚体角动量的变化率刚体所受的外力矩等于刚体角动量的变化率.121

2、221dLLJJtMtt将上式变形后积分将上式变形后积分tJMdd由刚体定轴转动定律由刚体定轴转动定律tLtJMddd)(dLJtMd)(dd二二 刚体定轴转动的动量矩定理刚体定轴转动的动量矩定理12d21LLtMtt冲量矩冲量矩tMttd21动量矩定理动量矩定理: 作用在刚体上的冲量矩等于作用在刚体上的冲量矩等于刚体动量矩的刚体动量矩的增量增量.tLMdd 动量矩守恒定律是自然界的一个基本定律动量矩守恒定律是自然界的一个基本定律. 内力矩不改变系统的动量矩内力矩不改变系统的动量矩. 守恒条件守恒条件0M若若 不变，不变， 不变；不变；若若 变，变， 也变，但也变，但 不变不变.JJLJ讨论讨

3、论exinMM 在在冲击冲击等问题中等问题中 L常量常量0MJL ，则，则若若=常量常量三三 动量矩守恒定律动量矩守恒定律 许多现象都可许多现象都可以用角动量守恒来以用角动量守恒来说明说明.花样滑冰花样滑冰跳水运动员跳水跳水运动员跳水点击图片播放LABABCC常平架上的回转仪常平架上的回转仪应用事例应用事例精确制导精确制导vo以子弹和沙袋为系统以子弹和沙袋为系统动量守恒；动量守恒；角动量守恒；角动量守恒；机械能机械能不不守恒守恒 .讨讨 论论子子弹弹击击入入沙沙袋袋细细绳绳质质量量不不计计子子弹弹击击入入杆杆ov以子弹和杆为系统以子弹和杆为系统机械能机械能不不守恒守恒角动量守恒；角动量守恒；动

4、量动量不不守恒；守恒；voompTR圆圆锥锥摆摆圆锥摆系统圆锥摆系统动量动量不不守恒；守恒；角动量守恒；角动量守恒；机械能守恒机械能守恒 例例1一质量为一质量为 m 的登月飞船，在离月的登月飞船，在离月球表面高度球表面高度 h 处绕月球作圆周运动飞船采处绕月球作圆周运动飞船采用如下登月方式：当飞船位于点用如下登月方式：当飞船位于点 A 时，它向时，它向外侧短时间喷射出粒子流，使飞船与月球相外侧短时间喷射出粒子流，使飞船与月球相切地到达点切地到达点 B , 且且OA 与与 OB 垂直飞船所垂直飞船所喷气体相对飞船的速度为喷气体相对飞船的速度为 试问：登月飞船在登月过程中所需消耗燃料试问：登月飞船

5、在登月过程中所需消耗燃料的质量的质量 是多少是多少? ?14sm1000. 1umkg1020. 14mkm100h14sm1000. 1ukm7001R2sm62. 1g0vAvBBvuvhORA已知已知 解解 设飞船在点设飞船在点 A 的速度的速度 , 月球质月球质量量 mM ,由万有引力和由万有引力和牛顿定律牛顿定律0v12120sm6121)(hRgRv0vAvBBvuvhORAhRmhRmmG202M)(v2MRmGg 21)(220vvvAu0vAvBBvuvhORA 飞船在飞船在A点以相对点以相对速度速度 向外喷气的短向外喷气的短时间里时间里 , 飞船的质量飞船的质量减少了减少了

6、 而为而为 , 并并获得速度的增量获得速度的增量 , 使飞船的速度变为使飞船的速度变为 , 其值为其值为vAvmmRmhRmBvv)(01sm7091)(RhR0Bvv 质量质量 在在 A 点和点和 B 点只受有心力作用点只受有心力作用 , 角动量守恒角动量守恒m 飞船在飞船在 A点喷出气体后，在到达月球的点喷出气体后，在到达月球的过程中，机械能守恒过程中，机械能守恒RmmGhRmmGMM21212B2AvmvmRmmGhRmmGMM21212B2AvmvmRmGhRmGMM222B2Avv即即1sm6151Av于是于是121sm100)(202Avvv而而vmum)(kg120ummv 例例

7、2 质量很小长度为质量很小长度为l 的均匀细杆，可的均匀细杆，可绕过其中心绕过其中心 O并与纸面垂直的轴在竖直平面并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动内转动当细杆静止于水平位置时，有一只当细杆静止于水平位置时，有一只小虫以速率小虫以速率 垂直落在距点垂直落在距点O为 l/4 处，并背处，并背离点离点O 向细杆的端点向细杆的端点A 爬行设小虫与细杆爬行设小虫与细杆的质量均为的质量均为m问：欲使细杆以恒定的角速问：欲使细杆以恒定的角速度转动，小虫应以多大速率向细杆端点爬行度转动，小虫应以多大速率向细杆端点爬行?0vl/4Ol0712 v解解虫与杆的虫与杆的碰撞前后，系统角碰撞前后，系统角动量守恒动量守

8、恒220)4(1214lmmllmvl0712 v由角动量定理由角动量定理tJtJtLMddd)(dddtrmrmrmltmgrdd2)121(ddcos22考虑到考虑到t)712cos(247cos2dd00tltgtrvvlg Lmg cos21L 例例3 如图，一如图，一长长L、质量为、质量为m的细的细棒可绕其一端自由转棒可绕其一端自由转动，开始时棒处于水动，开始时棒处于水平位置，求棒转到与平位置，求棒转到与水平线成角度水平线成角度 时的时的角速角速度、角加速度度、角加速度应用转动定律应用转动定律解解 231mLJ cos2mgLM JM cos23Lg 求求 Lmg cos21Lsin

9、3Lg021d2JM220)31(21dcos2mLmgL应用动能定理求应用动能定理求 Lmg cos21L刚体的其他运动形式刚体的其他运动形式讨讨 论论进动：进动：高速旋转的物体，其自转轴绕另一个轴高速旋转的物体，其自转轴绕另一个轴 转动的现象。转动的现象。 进动原因进动原因 LLLd LdpGGrM 刚体受重力矩刚体受重力矩 OZdt 时间内角动量增量时间内角动量增量 tMLdd 因因 LL d所以自转轴发生转动，产生进动。所以自转轴发生转动，产生进动。r用角动量定理研究进动用角动量定理研究进动 LLLd LdsinLdpGOZdsindLL dsinJ 由角动量定理由角动量定理 tMLdd 所以所以 tpdd sinJM 进动角速度进动角速