第2章连续信号处理

1、测试信号分析与处理测试信号分析与处理课程课程 第二章第二章 连续时间信号分析连续时间信号分析 第一节第一节 周期信号分析周期信号分析 第二节第二节 非周期信号的频域分析非周期信号的频域分析第三节第三节 周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换第四节第四节 采样信号分析采样信号分析 第一节第一节 周期信号分析周期信号分析v信号分析就是要研究信号如何表示为各分量的叠信号分析就是要研究信号如何表示为各分量的叠加，并从信号分量的组成情况去考察信号的特性。加，并从信号分量的组成情况去考察信号的特性。 v只要知道周期信号在一个周期内的特性，也就可只要知道周期信号在一个周期内的特性，也就可以了解到它所具有的

2、全部特性。所以，对周期信以了解到它所具有的全部特性。所以，对周期信号的研究往往是在一个周期内进行。号的研究往往是在一个周期内进行。 第一节第一节 周期信号分析周期信号分析v一个信号也可以对于某一基函数集找出此信号在一个信号也可以对于某一基函数集找出此信号在各基函数中的分量；各基函数中的分量；v一个基函数集即可构成一个信号空间，常用的则一个基函数集即可构成一个信号空间，常用的则是是正交函数集正交函数集 。v从数学上可以证明，任何一个连续函数都可以在从数学上可以证明，任何一个连续函数都可以在定义域里用某个正交函数集来表示。定义域里用某个正交函数集来表示。v若此函数集不仅是若此函数集不仅是正交而且完

3、备正交而且完备，则用他来表示，则用他来表示信号时将没有误差。信号时将没有误差。 第一节第一节 周期信号分析周期信号分析（一）用完备正交实变函数集来分解信号v函数f(t)与g(t)在区间 上正交的条件是v例例2-12-1在 内， 与 是正交的。v两个函数是否正交，必须指明在什么区间内。21( ) ( )0ttf t g t dt 21tt，t1sint1cos/201 第一节第一节 周期信号分析周期信号分析（二）用完备正交复变函数集来分解信号复变函数集 ,r=1,2,.,n在区间 上是正交函数集的条件是v例例2-2若 ，在 内，指数函数集 是正交函数集。证明：v三角函数集三角函数集和指数函数集指

4、数函数集是应用最广的完备正交集。21tt，)(tgrjikjidttgtgdttgtgttjittji，0)()()()(2121*111Ttt，112T2101，netjnmnmnTdteedteetjmTtttjntjmTtttjn，0)(1*第一节第一节 周期信号分析周期信号分析一、三角函数形式的傅里叶级数一、三角函数形式的傅里叶级数 用完备正交函数集对周期信号分解，即可得到周期信号的傅里叶展开式。进行傅立叶展开的周期函数进行傅立叶展开的周期函数f(t)f(t)必须满足必须满足狄里赫利狄里赫利（DirichletDirichlet）条件）条件，即即在周期 内，函数f(t)1）若有间断点存

5、在，则间断点数目必须有限； 2）极大值和极小值数目应该是有限个； 3）应是绝对可积的，即 在工程实践中所遇到的周期信号一般都满足狄里赫利条件。 , 3 , 2 , 1sincos111ntntn，111Ttt，dttfTtt111)(第一节第一节 周期信号分析周期信号分析周期信号f(t)的三角级数形式的傅立叶展开式其中，0112111210111( )coscos2sinsin2(cossin)nnnf taatatbtbtaantbnt1111111110111111( )2( )cos (1, 2, 3, , )2( )sin tTttTnttTntaf t dtTaf tntdtnTbf

6、 tntdtT111T第一节第一节 周期信号分析周期信号分析例例2-3 2-3 周期矩形脉冲信号，如图所示。他在区间内的数学表达式为 1, /2( )0, /2/2Etf ttT11/2, /2TT第一节第一节 周期信号分析周期信号分析二、指数函数形式的傅里叶级数二、指数函数形式的傅里叶级数在在 内可以用指数函数集来表示周期信号内可以用指数函数集来表示周期信号f(t)f(t)。式中式中 111Ttt，11111( )() jntnf tF netttT 111111111111111( )1()( )tTjnttTtjnttTtjntjnttf t edtF nf t edtT第一节第一节 周

7、期信号分析周期信号分析例例2-4 2-4 周期对称方波如图所示。它在一个周期内的表达式为111, /4( ), /4/2EtTf tETtT第一节第一节 周期信号分析周期信号分析三、三、 周期信号的功率谱周期信号的功率谱信号能量信号能量能量有限信号能量有限信号 ：平均功率：平均功率：功率有限信号：信号功率有限信号：信号f(t)f(t)在时间（在时间（-,+）上的平）上的平均功率均功率 2( )Ef tdt/22/21lim( )TTTPf tdtT2( )f tdt 212211( )TTPf tdtTT第一节第一节 周期信号分析周期信号分析v周期信号f(t)的平均功率与傅里叶系数有右示关系

8、v这是周期信号的帕斯瓦尔（Parseval）公式。它说明周期信号的平均功率等于直流、基波和各次谐波分量有效值的平方和。v 与 的关系图，称为周期信号的功率谱,表示信号各次谐波分量的功率分布规律。 1112122201220121( )1()212tTtnnnnnnnPft dtTaabccF第一节第一节 周期信号分析周期信号分析四、周期信号频谱的基本性质四、周期信号频谱的基本性质 v线性线性 v延时性延时性 v频移特性频移特性 第二节第二节 非周期信号的频域分析非周期信号的频域分析一、信号的卷积一、信号的卷积v任意一个函数任意一个函数都可以分解为一系列矩形窄脉冲分量之和。v卷积积分 dtffd

9、tfftftf)()()()()()(第二节第二节 非周期信号的频域分析非周期信号的频域分析卷积积分的图解法卷积积分的图解法 v变量置换、折叠、移位变量置换、折叠、移位 )(1tft0-11a)(2tft012)(tf)(tf0-2-11b)(2f)(第二节第二节 非周期信号的频域分析非周期信号的频域分析第二节第二节 非周期信号的频域分析非周期信号的频域分析v相乘、积分相乘、积分第二节第二节 非周期信号的频域分析非周期信号的频域分析二、二、 非周期信号的傅里叶变换非周期信号的傅里叶变换v频谱函数频谱函数v原函数原函数 111111/2/2( )limlim( )( )nTTjntTTj tFT

10、 Ff t edtf t edt1110( )( )lim()21( )2jntnnjntnj tf tF eFdeF第二节第二节 非周期信号的频域分析非周期信号的频域分析v傅立叶正变换傅立叶正变换v傅立叶反变换傅立叶反变换 ( ) ( )( )j tFf tf t edtF1( ) ( )( )2j tf tFFed-1F第二节第二节 非周期信号的频域分析非周期信号的频域分析三、典型非周期函数的傅里叶变换三、典型非周期函数的傅里叶变换v单位冲激函数的傅里叶变换单位冲激函数的傅里叶变换 v单边指数函数的傅里叶变换单边指数函数的傅里叶变换 式中，式中， 0 ( )( )( )1j tjtt ed

11、tt edtF0, 0( ), 0attf tet02222() ( )1( )atj tjf teedtajajaaFe F221( )( )arctan()Faa 第二节第二节 非周期信号的频域分析非周期信号的频域分析v单位阶跃函数的傅里叶变换单位阶跃函数的傅里叶变换 由于 时，u(t)不符合绝对可积条件，即不存在 ，不能直接进行傅里叶变换。为了解决这问题，可以由单边指数函数的极限状态来逼近函数u(t)。 t ( )u t dt0lim1, 0( )0, 0ataetu 第二节第二节 非周期信号的频域分析非周期信号的频域分析 222202 ( )lim1( )1( )ajau tjaaje

12、 F第二节第二节 非周期信号的频域分析非周期信号的频域分析v复指数函数的傅里叶变换复指数函数的傅里叶变换 该函数不符合绝对可积条件，可借助于冲激函数的傅里叶变换对 。 0( )jtf te0()002()2()jtedt 1( )12j tted-1F2( )j 第二节第二节 非周期信号的频域分析非周期信号的频域分析 002()jte F000cos ()()t 000sin ()()tj 第二节第二节 非周期信号的频域分析非周期信号的频域分析四、傅里叶变换的性质四、傅里叶变换的性质（一）线性特性（一）线性特性若若则则（二）对称特性（二）对称特性若若有有（三）延时特性（三）延时特性若若有有 (

13、 )( ) 1, 2, 3,n iiiia f ta FiF 11( )( ) nniiiiiia f ta FF ( )( ) f tFF ( )2() F tfF( )( ) f tFF00()( )j tf tteF第二节第二节 非周期信号的频域分析非周期信号的频域分析（四）频移特性（四）频移特性若若有有（五）时间尺度变化（五）时间尺度变化若若有有( )( ) f tFF00( )()j tf t eF1010101 ( )cos=()()2f ttFFF ( )( ) f tFF1()()f atF第二节第二节 非周期信号的频域分析非周期信号的频域分析（六）奇偶虚实性（六）奇偶虚实性当

14、当 为实函数时为实函数时（七）微分特性（七）微分特性若若则则-( ) ( )( )cos( )sin( )( )j temFf t edtf ttdtjf ttdtRjI( )()( )()eemmRRII ( )f t ( ) ( )f tFF( ) (j )( )nnnd f tFdtF第二节第二节 非周期信号的频域分析非周期信号的频域分析（八）积分特性（八）积分特性若若 ，且满足，且满足 在在 处是有界处是有界的，或满足的，或满足 ，则，则否则否则（九）时域卷积定理（九）时域卷积定理 ( ) ( )f tFF( )/F(0)0F01( ) ( )tfdFjF1( ) (0) ( ) (

15、)tfdFFj F1212 ( )( ) ( )( )f tf tFFF第二节第二节 非周期信号的频域分析非周期信号的频域分析（十）频域卷积定理（十）频域卷积定理（十一）相关定理（十一）相关定理12121( )( ) ( )( )2f t f tFFF1212()( )( )()f tfdFFF第三节第三节 周期信号的傅立叶变换周期信号的傅立叶变换v周期信号是不满足绝对可积条件的，为了解决这个周期信号是不满足绝对可积条件的，为了解决这个问题，我们可同样借助于复指数函数的傅里叶变换问题，我们可同样借助于复指数函数的傅里叶变换对。对。 傅立叶级数展开式式中，两边傅立叶变换 1( )jntTnnft

16、F e111/2/211( )TjntnTTFft edtT11( )jntTnnjntnnftF eFeFFF1( )2()TnnftFn F第三节第三节 周期信号的傅立叶变换周期信号的傅立叶变换v周期信号傅里叶变换所得到的是频谱密度函数，在这里它是冲激函数，它表示在无穷小频带范围内（即谐频点）取得了无限大的频谱值，而不像傅里叶级数的相应系数所表示的是谐频分量的幅值。v例例2-52-5 求周期为 的周期单位冲激函数 的傅里叶级数和傅里叶变换。v讨论周期为 的矩形脉冲信号 与它一个周期内的信号 的傅里叶变换间的关系。 ( )Tt1T1T( )Tft0( )f 第四节第四节 采样信号分析采样信号

17、分析 一、连续时间信号的采样过程 第四节第四节 采样信号分析采样信号分析v连续时间信号经理想采样后，其理想采样信号连续时间信号经理想采样后，其理想采样信号 的频谱的频谱 的幅值将是连续时间信号频谱的幅值将是连续时间信号频谱 的的 倍，并倍，并 从开始，沿频率轴正、负方从开始，沿频率轴正、负方向，每隔一个采样频率向，每隔一个采样频率 重复一次。重复一次。 )(tfa)(aF( )aF1/sT第四节第四节 采样信号分析采样信号分析二、时域采样定理（香农采样定理）二、时域采样定理（香农采样定理） v“频率混迭”现象 v香农采样定理 要使采样信号的频谱不出现频率混迭就必须要求： 连续时间信号必须是带限信号； 采样器的采样频率必须满足 v实际工程应用中，采样频率一般大于连续时间信号中最高频率的2倍，可选4倍10倍。 第四节第四节 采样信号分析采样信号分析三、采样信号的恢复三、采样信号的恢复 低通滤波器特性 v采样信号频谱经过该理想滤波器后，就可以得到原连续时间信号的频谱。再由 恢复的连续时间信号 , 2( )0, 2sssTG)()()()(aaFGFY( )aF(