高中三年级数学泰州市2016届高中三年级上学期第一次模拟考试数学试题(卷)

1、江苏省泰州市2016届高三上学期第一次模拟考试数学试题一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.1 .已知集合AXX2W1,集合B2,1,0,1,2，则AIB.【答案】1,0,1【解析】试题分析：Axx2w1=-1,1,B2,1,0,1,2，则AIB1,0,1考点：集合运算2 .如图，在复平面内，点A对应的复数为乙，若三i（i为虚数单位），则z2Z1FA.（第2题）【答案】2i【解析】试题分析：A-1,2,z112i,z2i,z2z1i（12i）i2iZ1考点：复数运算23 .在平面直角坐标系xOy中，双曲线y21的实轴长为.2【答案】2.2【解析】试题分析：由双曲线方程得，aJ2

2、,则实轴长为2a2J2考点：双曲线性质4 .某校共有教师200人，男学生800人，女学生600人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本，已知从男学生中抽取的人数为100人，那么n【答案】2001,n 2002【解析】试题分析：男学生占全校总人数8001,那么独2008006002n考点：分层抽样5 .执行如图所示的伪代码，当输入a,b的值分别为1,3时，最后输出的a的值为Reada,bi1Whilei2aabbabii1EndWhilePrinta（第5题）试题分析：第一次循环，a 1 34,b 4 1 3,i 1 1 2,第二次循环，a 4 1 5考点：伪代码6 .甲乙两人下

3、棋，若甲获胜的的概率为为 .-4【答案】-5【解析】试题分析：“乙不输棋”的对立事件为“甲获胜”考点：概率7 .已知直线y kx（k 0）与圆C : （x 2）2k -1【答案】-21,甲乙下成和棋的概率为 2 ,则乙不输棋的概率 55一，4,P （乙不率棋）=1-P （甲获胜）=-5y2 1相交于A,B两点，若 AB -V5 ,则5-2kl2试题分析：圆心C2,0,半径为1,圆心到直线距离d'1,而ABJ5,得.k2152k依）2325.下载可编辑考点：直线与圆位置关系a的取值范围是8 .若命题“存在xR,ax24xa<0”为假命题，则实数【答案】（2,）试题分析：由题意得a0

4、,V164a20,解得a2考点：命题真假9 .如图，长方体ABCDA1B1clD1中，。为BD1的中点，三棱锥OABD的体积为V1,四棱锥OADD1A的体积为V2,则¥的值为.试题分析：设长方体长宽高分别为a,b,c,32ab2cabc1bc1aabcV116,V22考点：棱锥体积b0,a2 b2 0 ,10 .已知公差为2的等差数列an及公比为2的等比数列bn满足a则a3b3的取值范围是1【答案】（，2）【解析】试题分析:a1n0,a2b2al22b10,0a1bl2D,b12,b22b14,a3b3a222b2a2b22b20242,则83心的取值范围是(，2)考点：等差数列与等

5、比数列综合x11 .设f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)2xIn,记anf(n5),则数列4an的前8项和为.【答案】16【解析】试题分析：a1a2a3a4%a6a7a8f(4)f(3)f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)44f(4)24In164考点：奇函数性质12 .在平面直角坐标系xOy中，已知点A,B分别为x轴，y轴上一点，且AB2,若点uuumuuuuP(2,何，则APBPOP的取值范围是.【答案】7,11试题分析:设0>=B(Q=办/+*=4,AP=(l-az=(2/一切,Q+S?十西二W-R3布"二45"2a居%.令g=田得(

6、立方心才尸4庐=4.W简得2M一立必+£4二口，A=至一4父?M(一句/012424444解得6-46,则9+而一引的取值范围是考点：直线与圆位置关系13 .若正实数x,y满足(2xy1)2(5y2)(y2),则x2y的最大值为【解析】t,(t 0),则试题分析：令x2y(2yt2)2(5y2)(y2),(4125)y2(88t)y80,因此(88t)232(4t25)02t24t700t1322，当t1号时，y”应2T0,x3524/20,因此x妾的最大值为述i4t251712.212、,2162y21考点：判别式法求最值14 .已知函数f(x)Asin(x)cos-xcos(6x

7、)(其中A为常数，(冗,0),若实数Xi,X2,X3满足：Xix2x3,x3Xi2冗，f(Xi)f(x2)f(*3),则的值为.-2【答案】31解析】试题分析！因为防s技cos（多一冷=/与皿工+为一:出破工+%所以当2o2234/曲（万+扣心+多工0时，7=0）周期为2m由再巧四及&）二"与）=得天一百二2以与毛一百2兀矛盾,因此Hsin（K+e）-；sin（x+/）=0,由于所以考点：三角函数图像与性质二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在ABC中，角A,B的对边分别为a,b,向量m（cosA,sinB）,n（cosB,s

8、inA）.(1)若acosAbcosB,求证：m/n；.AB.(2)若mn,ab,求tan的值.2AB【答案】(1)详见解析(2)tan12【解析】试题分析：(1)因为m/nsinAcosAsinBcosB,所以由正弦定理得acosAbcosBsinAcosAsinBcosB,得证(2)由mncosAcosBsinAsinB0cos(AB)0,又ab得AB,从而tantan14试题解析：证明：（1）因为acosAbcosB,所以sinAcosAsinBcosB,所以m/n.（2）因为mn,所以cosAcosBsinAsinB0,即cos(AB)0,因为ab,所以AB,又A,B(0,)，所以AB

9、(0,)，则AB,12分2AB所以tan2tan-1414分考点：正弦定理,向量平行与垂直16.如图，在三麴iPABC中，PACBAC90,PAPB,点D,F分别为BC,AB的中点.（1）求证：直线DF /平面 PAC ;（2）求证：PF【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行，一般从平面几何中进行寻找，如三角形中位线性质，本题点D,F分别为BC,AB的中点，故DF/AC再应用线面平行判定定理即可（2）线线垂直证明，一般利用线面垂直的判定及性质定理，经多次转化进行论证：先从平面几何中找垂直，PAPB

10、,F为AB的中点，PFAB,再利用线面垂直判定定理进行转化，由已知条件ACAB及ACAP,转化到AC平面PAB,再转化到ACPF,因此得到PF平面ABC,即ADPF.试题解析：证明（1）二点D,F分别为BC,AB的中点，DF/AC,又.DF平面PAC,AC平面PAC,，直线DF/平面PAC.(2)PACBAC90,ACAB,ACAP,又ABIAPA,AB,AP在平面PAB内，AC平面PAB,8分3 PF平面PAB,ACPF,4 PAPB,F为AB的中点，PFAB,5 ACPF,PFAB,ACIABA,AC,AB在平面ABC内,PF平面ABC,12分6 AD平面ABC,ADPF.14分考点：线面

11、平行判定定理，线面垂直的判定及性质定理17 .一个玩具盘由一个直径为2米的半圆。和一个矩形ABCD构成，AB1米，如图所示.小球从A点出发以v的速度沿半圆O轨道滚到某点E处后，经弹射器以6v的速度沿与点E切线垂直的方向弹射到落袋区BC内，落点记为F.设AOE弧度，小球从A到F所需时间为T.(1)试将T表示为的函数T(),并写出定义域;(2)求时间T最短时cos的值.（1）T（）5v6vsin6v'cos【解析】试题分析：（1）小球从A到F所需时间为T分两段计算:Aeef,5v6v而ae,ef必过1圆心O,所以EF1,从而T()sin''Aeef5v6v5v6vsin工，

12、又由矩形限制6v得定义域二三44(2)利用导数求函数最值:先求导数1cos5v6vsin226sin5cos-230vsin(2cos3)(3cos2)77_230vsin,再求导函数零点cos23,列表分析得结论当cos时间T最短试题解析：解：（1）过O作OGOF匹sin1sin1sinAe所以T（）Ae5vEF（写错定义域扣6v5v6vsin6v33九-,44分）T()5v16vsin5v2cos6sin5cos226vsin30vsin(2cos3)(3cos2)cc.230vsin记cos。2,0产，吗,344(7,0)0(0,4)4T()-0+T()Z-2故当cos§时，时

13、间T最短.14分考点：函数实际问题，利用导数求函数最值18 .已知数列an,bn满足2Sn2曲,其中&是数列烝的前n项和.2 .一1一一(1)若数列an是首项为一，公比为-的等比数列，求数列bn的通项公式；3 3(2)若bnn,a23,求数列an的通项公式；(3)在(2)的条件下，设cn曳，求证：数列cn中的任意一项总可以表示成该数bn列其他两项之积.1【答案】(1)bn(2)ann1(3)详见解析2【解析】试题分析：(1)先根据等比数列通项公式得2 . 1 n 1 i 1 nan -( -)n 12( 1n，再根据等比数列前3 33n项和公式得Sn2(1 (1)n 332(11 n(

14、1)n，代入 2& (an 2)bn 得 3bn磊an 21 ( 1)n32(3)n2)由题意得2Sn nan 2n ,因此利用Sn与an关系得2Sm(n1)an 12,2an(n 1)an 1 nan2 即 nan (n 1)an 12,an 1nann 1n(n 1)(n2),利用累加法得ann 1n 1a21k 1k21an3 2n 4n 1 n 1an1 (3)因为Cnn 1一一，所以由n,解不定方程，首先先分离n(k 1) ,再根据整数性质，可 k nn(n2).21.试题解析：解：(1)因为an-(-)n13321°1(1 (1)n, 232(1(1)nq33n1

15、1(3)2S所以bn -an 21(3)n12( 3)n 2 2若 bn n ,则 2Sn nan 2n , 2Sn 1 (n 1)an 1 2,两式相减得2an 1 (n 1)an 1 nan(n 1)an 1 2 ,当n 2时，(n 1闻1 (n 2)为2,两式相减得(n 1)an 1 (n 1)an 12(n1)an,即 an 1an 1又由 2sl a1 2 , 2S2 2a2 4得现3,所以数列烝是首项为2,公差为1的等差数列,故数列an的通项公式是an n10分n 1(3)由(2)得 cn 对于给定的,若存在k,tn,k,tn 1只需 n1即1 1n11(1 t),即一1 皿一,则

16、 ktn(k 1), k n '12分n(n 2),，对数列cn中的任意一项cnn 1 -,都存在cnnn2 2n2 n2 n2n 1立/日使得2ncnci 1cn2 2n -16分考点：等比数列通项公式及前n项和公式，累加法求和，不定方程正整数解219.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O:x2y24,椭圆C:24为椭圆右顶点.过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B,C两点，直线AB与圆O的另一交点为P,直线PD与圆。的6另一父点为Q,其中D(6,0).设直线AB,AC的斜率分别为k1,k2.5(1)求kM的值；(2)记直线PQ,BC的斜率分别为kpQ,kBc,是否存在常数，使

17、得kpQkBc?若存在，求值；若不存在，说明理由；(3)求证：直线AC必过点Q.【答案】(1) k1k25、(3)详见解析2试跑方析>两个斜率？涉及到摘圆，且也c关于原点对称，因此设点业标耒而斜率1避B<%,用,则a-%珈），自在二鼻芋，再根据之十%】=1，消去需1得士.1（2）吃一与2礴-44u.0-嘘_2_+由题意知，可利用直线，日的斛率总分别表示点比P坐标1/=2空二2打=斡广扬=rr:1+佑1+依与=坐瞪小了=邳>>劣=:,再根据两点斜率公式裳示/：%=?二唾3?叱上寸6二找出兵=（t3）实质证三点共线，即证如二坛，由（2）可得51+年5直线叫米程为工片瑞工）与

18、圆方程联立可得'广普"/=看从而16%：；£：；）去再由结论僵儿阉一片16封+12 yo2试题解析：解：（1）设B（xo,y0）,则C（Xo,y°）,迎4所以k1k22yoyoyo-2；Xo2 xo2xo4121Xo4Xo22(2)联立K(x 2)2 得(1y 4k2 )x24 kl2x4(k21)0,解得Xp2(k21 kJ),yp k1(xp12)4k11 k12 'yk1(x2)得（1224k1 )x_ 2216k1x 4(4k11) o,解得xB2(4k；1 4k22yB k1(XB-2)Ukr4k12y2kik Vp 1 kiXb4ki2

19、 1 ' PQ -6 2(k； 1) 6P 工2 一51 k；55kl24始1.5.5.5.所以kPQ kBC ,故存在常数，使得kPQ kBC22268(3)当直线PQ与x轴垂直时，Q(-,),558则kAQ 5 1 k2,所以直线 AC必过点Q .6 2 2510分5ki ,6、当直线PQ与x轴不垂直时，直线 PQ方程为：y 1L(x ), 4 kl2 15y联立2 x5kl62 (X ) 口4k1 15 ,解得y2 4xQ2(16k2 1) 16K2 1 ,yQ16kl16k2 1 '所以kAQ16kl16k2 12(16kl2 1)4klk2,故直线AC必过点Q .16

20、分16kl21(不考虑直线PQ与x轴垂直情形扣1分)考点：直线与圆位置关系，直线与椭圆位置关系41220.已知函数fxax-x,x(0,),gxfxfx.2(1)若a0,求证：(i) fx在f(x)的单调减区间上也单调递减；(ii) gx在(0,)上恰有两个零点；(2)若a1,记gx的两个零点为x1,x2,求证：4x1x2a4.【答案】(1)(i)详见解析(ii)详见解析(2)详见解析【解析】试题分析：(1)(i)先确定导函数的单调减区间：因为f(x)4ax3x,所以f(x)的递i、一i、，减区间为(0,一),再确定x(0,一)时,2、3a2、3af(x).3,.24axxx(4axi)0,(

21、ii)_43gxax4axx0ax34ax210(x0),变量分离得d3.2ix4x,一(x2ax22,x0),利用导数研究函数i(x)32x竺-得当xx2(0,2)时，i(x)单调递增,i(x)值域为(0,(2,)时，i(x)单调递增，且i(4)0i(x)值域为)；因此y0)与i(x)有两个交点，所以i(x)在(0,)上恰有两个零点.(2)由零点存在定理确定xi,x2取值范围:i(0)i(xi)i2ai(g)，、一，、ii(4)0i(x2)以(9),所以02x292195a22试题解析：证：(i)(i)因为fxax4(x)4ax3由(4ax3x)i2ax2i0得f(x)的递减区间为，_1.Q

22、9当x°)时，f(x)4axxx(4axi)0,所以fx在f(x)的递减区间上也递减.(ii)解i：gx4axi23-x(4axx)4ax3i24ax-x2x,4ax4ax3x0得ax34ax2i0,令(x)ax34ax2因为a0,且(0)i-x2i2i,则(x)22i3ax8ax一,20,所以(x)必有两个异号的零点,记正零点为x0,则x(0,x0)时,(x)0,(x)单调递减；x(x0,)时,(x)0,(x)单调递增,若(x)在(0,)上恰有两个零点，则(x°)0,2i2i由(x0)3ax08ax0-0得3ax08ax0-32174所以(Xo)axox0,又因为对称轴为

23、x，所以9393(0)0,一87所以Xo，所以(X。)333.21又(x)ax4aXx12323a%12zax(x21,7、八O(xo4)0，331 28)-x(ax21)1,8中的较大数为(M)0,故a0gx在(0,)上恰有两个零点.10分1 234312一 x (4ax x) ax 4ax - x x,2 21 23.21-x x 0 得 ax 4ax - x 1 0,22解2：gxfxfxax4因为x0,由gxax44ax3“321令(x)ax4ax-x1,若gx在(0,)上恰有两个零点，则(x)在(0,)上恰有两个零点,2时，由(x)0得a0,此时/、1(X)-x1在(0,)上只有一个

24、零点，不合2时，由(x)3ax4ax2110得,2a3/2x4x令1(X)32x4xx22-x2x则/、1(x)一，2_2x(x5x8)(x2)2522M(x-)(x2)20'当x(0,2)时,(x)单调递增，且由y2x4,y8值域知2(x)值域为(0,当x(2,)时,1(x)单调递增,1(4)0,由2x4,y8值域知x2(x)值域为(因为a0,所以12a0,而1(x)有两个交点，所以1(x)在(0,)上恰有两10个零点.(2)解1:由(2)知，对于(x)ax3,214ax-x1在(0,2)上恰有两个零点x1，x2,不妨设XiX2,又因为(0)8(67a)0,所以012分又因为0,1-

25、(657a10)0,9所以4X22所以4x216分解2：由(2)知12a因为x0,2)时,l（x）单调递增,(2)712'1(0)01(X1)12a尺），所以012'12分当X(2,)时,1（X）单调递增,8120i(4)01(X2)12a所以4X2所以4x1X216分考点：利用导数研究函数单调性，零点存在定理附加题21.A（几何证明选讲，本题满分10分）如图，圆。是ABC的外接圆，点D是劣弧BC的中点，连结AD并延长，与以C为切点的切线交于点P,求证之BDAC【答案】详见解析试题分析：由弦切角定理得PCDPAC,因此PCCDPCDPAC,从而，又PAACPC等弧对等弦，所以C

26、DBD,即PABDAC试题解析：证明：连结CD,因为CP为圆。的切线,所以PCDPAC,P是公共角，所以PCDPAC,所以PC CDPA ACPC因为点D是劣弧BC的中点，所以CD BD ,即PABDAC10分考点：三角形相似，弦切角定理21.B （矩阵与变换，本题满分10分)已知矩阵2的一个特征值为2,求M 2.x514试题分析：由矩阵特征多项式得(x 1)(x5） 0 一个解为2 ,因此x 3 ,再根据矩阵运算得M25 14试题解析：解:2代入(x 1) (x 5) 0,得 x 3矩阵MM25 1410分考点：特征多项式21.C （坐标系与参数方程，本题满分10在 平面直 角坐标 系xoy

27、中，已知直线x t 1C1 :72t 0为参数)与椭圆C2 :x a cosy 3sin（为参数，a 0）的一条准线的交点位于y轴上，求实数a的值.【答案】a2.2. 2sin 1试题分析：利用加减消元得直线C1普通方程：2xy9,利用平方关系cos2消参数得椭圆2C2普通方程上92x1(0a3),得准线：ya99a2，因此99=a22.2试题解析:解:直线Ci：2xy9,椭圆C2:1(03)，准线:考点:21.D9由Ta29得,2210分参数方程化普通方程（不等式选讲，本题满分11b7d6>27.【答案】详见解析试题分析：由均值不等式得12a10分)已知正实数a,b,c满足b2c31,

28、求证:试题解析:证明：因为正实数1b71.46bcb233嬴3，因此a,b,c满足ab2所以133/ab2c3，即ab2c327,所以，27abc1b4533a2b4c62710分考点：均值不等式22.如图，在直三棱柱ABC-ABC中，AC=3,BC=4,AB=5,AA=4.下载可编辑（1）设ADAB,异面直线AC与C所成角的余弦值为950,求的值;50（2）若点D是AB的中点，求二面角D-CBB的余弦值.【答案】（1）1或1.27345317【解析】试题分析：（1）利用空间向量研究线线角，先建立恰当的空间直角坐标系，设出各点坐标，表示出向量AC1及向量CD坐标，再根据向量数量积求出向量夹角，

29、最后根据线线角与向量夹角之间关系确定等量关系，求出的值（2）先根据方程组求出平面 CDB1的一个法向量及平面CBB1的一个法向量，再根据向量数量积求出向量夹角，最后根据二面角与向量夹角之间关系，求二面角的余弦值。试题解析：解：(1)由 AC = 3, BC = 4 , AB = 5 得 ACB 90°1 分以CA CB CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则A （3,0,0）, 一 uurC1 (0,0,4) , B(0,4,0),设 D(x,y,z)，则由 AD AB 得 CD (3 3 ,4 ,0),而UJUUAC1( 3,0,4)，9 109911

30、根据9-0|,99|解得,1或-5分505.25218953ULUF3UULTuu(2) CD(2,2,0), CB1(0,4,4),可取平面 CDB1 的一个法向量为 n1 (4,3,3);7分而平面CBB1的一个法向量为Urn2(10,0),并且Ur UUn1,n2 与二面角D- CB B相等,Ur UU所以二面角D CB1B的余弦值为cos cos n1,n21。分（第（1）题中少一解扣1分；没有交代建立直角坐标系过程扣1分.第（2 ）题如果结果相差符号扣1分.）考点：利用空间向量研究线线角及二面角23.已知k,mN*,若存在互不相等的正整数a1，a2,，am,使得aa2,a2a3,，amam,ama1同时小于k,则记f(k)为满足条件的m的最大值.(1) 求f(6)的值；(2)对于给定白正整