矩阵的相似对角化

1、1第五章 相似矩阵5.2 矩阵的相似对角化5.2 矩阵的相似对角化矩阵的相似对角化一、相似矩阵的基本概念与性质一、相似矩阵的基本概念与性质二、矩阵相似对角化的概念与问题分析二、矩阵相似对角化的概念与问题分析三、矩阵相似对角化的方法步骤三、矩阵相似对角化的方法步骤四、矩阵相似对角化的应用四、矩阵相似对角化的应用2第五章 相似矩阵5.2 矩阵的相似对角化一、相似矩阵的基本概念与性质一、相似矩阵的基本概念与性质1. 相似矩阵的概念相似矩阵的概念定义定义对于对于 n 阶矩阵阶矩阵 A 和和 B ，,1BPAP 则称则称 A 与与 B 相似相似，称对称对 A 所进行的运算所进行的运算 为对为对 A 进行

2、进行相似变换相似变换。PAP1 称可逆矩阵称可逆矩阵 P 为把为把 A 变成变成 B 的的相似变换矩阵相似变换矩阵。记为记为.BA若存在可逆的若存在可逆的 n 阶方阵阶方阵 P 使得使得或者称或者称 A 相似于相似于 B，注注矩阵相似是矩阵相似是矩阵等价矩阵等价的一种特殊情况。的一种特殊情况。3第五章 相似矩阵5.2 矩阵的相似对角化一、相似矩阵的基本概念与性质一、相似矩阵的基本概念与性质1. 相似矩阵的概念相似矩阵的概念2. 相似矩阵的性质相似矩阵的性质(1) 反身性反身性性质性质; AA(2) 对称性对称性 若若 则则 ; AB, BA(3) 传递性传递性 若若 则则 . CA, BA,

3、CB(4). )()(BrAr 若若 则则 , BA(5). |BA 若若 则则 , BA4第五章 相似矩阵5.2 矩阵的相似对角化定理定理若若 n 阶矩阵阶矩阵 A 与与 B 相似，则相似，则 A 与与 B 有相同的特征多项式有相同的特征多项式,证明证明因因 A 与与 B 相似，即存在可逆的矩阵相似，即存在可逆的矩阵 P 使得使得,1BAPP |1IPAP 即即 A 与与 B 有相同的特征多项式。有相同的特征多项式。从而从而 A 与与 B 有相同的特征值。有相同的特征值。故故|IB |)(|1PIAP |11PIPPAP |1PIAP . |IA 一、相似矩阵的基本概念与性质一、相似矩阵的基

4、本概念与性质1. 相似矩阵的概念相似矩阵的概念2. 相似矩阵的性质相似矩阵的性质5第五章 相似矩阵5.2 矩阵的相似对角化二、矩阵相似对角化的概念与问题分析二、矩阵相似对角化的概念与问题分析定义定义对于对于 n 阶矩阵阶矩阵 A，则称则称 A 可可相似对角化相似对角化 ；若存在可逆的若存在可逆的 n 阶方阵阶方阵 P， 使得使得记为记为.6第五章 相似矩阵5.2 矩阵的相似对角化.1 PBPk若存在可逆矩阵若存在可逆矩阵 P 使使,1BPAP kkPBPPBPPBPA111 则则1 PPAkk.121 PaaaPknkk,1 PBPA则则特别地，特别地，,21 naaaB若若二、矩阵相似对角化

5、的概念与问题分析二、矩阵相似对角化的概念与问题分析好处好处( (之一之一) )7第五章 相似矩阵5.2 矩阵的相似对角化例例证明矩阵证明矩阵 不能相似对角化。不能相似对角化。 aaaA11证证( (反证法反证法) ),3211aaaPAP 假设存在可逆矩阵假设存在可逆矩阵 P ，使得，使得即得即得,1 PPA故它们有相同的特征值，故它们有相同的特征值，由矩阵由矩阵 A 与与 L L 相似，相似，,321aaaa , Ia ,)(1IaPIaPA 矛盾！矛盾！故矩阵故矩阵 A 不能相似对角化。不能相似对角化。8第五章 相似矩阵5.2 矩阵的相似对角化1. 问题分析问题分析(1) L L 如何构成

6、如何构成？L L 的主对角线上的元素由的主对角线上的元素由 A 的全部特征值构成。的全部特征值构成。由于由于 是是 L L 的的 n 个特征值，个特征值，naaa,21而而 A 与与 L L 相似，相似，因此因此 就是就是 A 的的 n 个特征值个特征值 .naaa,21 naaaPAP000000211记为记为. 所考虑的问题是寻找可逆的所考虑的问题是寻找可逆的 n 阶方阵阶方阵 P ，使得，使得即即二、矩阵相似对角化的概念与问题分析二、矩阵相似对角化的概念与问题分析9第五章 相似矩阵5.2 矩阵的相似对角化1. 问题分析问题分析(2) P 如何构成如何构成？P 的列向量由的列向量由 A 的

7、线性无关的特征向量构成。的线性无关的特征向量构成。设设 , ),(21npppP 即即则由则由 有有,PAP APP 1,),(),(2121ppppppAnn 于是有于是有), 2 , 1(nipapAiii 又因为又因为 P 可逆，可逆，且且 线性无关，线性无关，故故,0 ipnppp,21因此因此 是是 A 的的 n 个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量 .nppp,21, ),(),(221121nnnpapapapApApA 即即二、矩阵相似对角化的概念与问题分析二、矩阵相似对角化的概念与问题分析10第五章 相似矩阵5.2 矩阵的相似对角化A 有有 n 个线性无关的特征向量，个线

8、性无关的特征向量，推论推论如果如果 n 阶矩阵阶矩阵 A 有有 n 个不同的特征值，则矩阵个不同的特征值，则矩阵 A 可以可以相似对角化。相似对角化。定理定理n 阶矩阵阶矩阵 A 能够相似于对角矩阵能够相似于对角矩阵 的充分必要条件是的充分必要条件是1. 问题分析问题分析2. 矩阵可相似对角化的条件矩阵可相似对角化的条件即即 A 每个特征值所对每个特征值所对应的线性无关的特征向量的个数应的线性无关的特征向量的个数必须恰好等于必须恰好等于该特征该特征值的值的重数重数。二、矩阵相似对角化的概念与问题分析二、矩阵相似对角化的概念与问题分析11第五章 相似矩阵5.2 矩阵的相似对角化三、矩阵相似对角化

9、的方法步骤三、矩阵相似对角化的方法步骤步骤步骤(1) 求求 n 阶方阵阶方阵 A 的特征值的特征值,21r ;,21rsss其其重数重数分别为分别为(2) 对每一个特征值对每一个特征值 求矩阵求矩阵 A 特征向量，特征向量，,i 并找出其中线性无关的特征向量，其并找出其中线性无关的特征向量，其最大个数最大个数为为;it(3) 若若 则则 A 不能相似对角化；不能相似对角化；,iist (4) 若若, ), 2, 1(ristii 从而有从而有;1PAP 则以这些特征向量作为列向量构成矩阵则以这些特征向量作为列向量构成矩阵 P，12第五章 相似矩阵5.2 矩阵的相似对角化 其中其中 1s个个2s

10、个个rs个个三、矩阵相似对角化的方法步骤三、矩阵相似对角化的方法步骤步骤步骤(4) 若若, ), 2, 1(ristii 从而有从而有;1PAP 则以这些特征向量作为列向量构成矩阵则以这些特征向量作为列向量构成矩阵 P，13第五章 相似矩阵5.2 矩阵的相似对角化三、矩阵相似对角化的方法步骤三、矩阵相似对角化的方法步骤(2) 因因 是是 的基础解系中的解向量，的基础解系中的解向量，ip0)( XIA 故故 的的ip因此因此 P 也也不是唯一不是唯一的。的。(3) 由于由于 的根只有的根只有 n 个个( (重根按重数计算重根按重数计算) )，所以所以0| IA 则则 是唯一是唯一的。的。如果不计

11、特征值的排列顺序，如果不计特征值的排列顺序，几点说明几点说明(1) P 中的列向量中的列向量( (即即特征向量特征向量) )nppp,21的排列顺序要与的排列顺序要与特征值的顺序一致。特征值的顺序一致。取法不是唯一的。取法不是唯一的。14第五章 相似矩阵5.2 矩阵的相似对角化例例试将矩阵试将矩阵 相似对角化。相似对角化。 aaaA1解解令令,0| AI ( (三重根三重根) )得得 A 的特征值为的特征值为,1a 由由,0)(1 XAI 得得 A 的特征向量为的特征向量为,01000121 kkX, )0(2221 kk显然，最多能找到显然，最多能找到两个两个线性无关的特征向量，线性无关的特

12、征向量，因此矩阵因此矩阵 A 不能相似对角化。不能相似对角化。15第五章 相似矩阵5.2 矩阵的相似对角化例例将矩阵将矩阵 相似对角化，并求相似对角化，并求.100A解解(1)由由,0| AI 得得 A 的特征值为的特征值为,12 ,21 对对 ,21 对对 ,12 取取特征向量特征向量,)1, 1, 1(1TX ,101011021 P令令 .1121 PAP则则 ( (重根重根) )( (单根单根) )取取特征向量特征向量,)0, 1, 2(2TX ,)1, 0, 0(3TX 16第五章 相似矩阵5.2 矩阵的相似对角化解解,1 PPA有有(2)由由,1PAP 1100100 PPA 12

13、1011021112101011021100100100.122120121202222101100101100101100 例例将矩阵将矩阵 相似对角化，并求相似对角化，并求.100A17第五章 相似矩阵5.2 矩阵的相似对角化则则 P 可逆，可逆，解解(1) 令令,210101111),(321 XXXP且且,4311APP ,1012 X例例设三阶方阵设三阶方阵 A 的三个特征值为的三个特征值为 且且,4, 3, 1321 对应的特征向量分别是对应的特征向量分别是,0111 X求矩阵求矩阵 A 和和.1 A,2113 X18第五章 相似矩阵5.2 矩阵的相似对角化11 PP11 PP(2

14、) 因此有因此有 111022131214312101011111PPA;82231337921 1 A.62293399251241 19第五章 相似矩阵5.2 矩阵的相似对角化证证(1) 由题意可知：由题意可知：n 维基本向量维基本向量 是是 A 的特征向量，的特征向量，neee,21,211 nAPP 例例设任意非零设任意非零 n 维向量都是维向量都是 n 阶方阵阶方阵 A 的特征向量，的特征向量，证明证明 A 为数量阵。为数量阵。令令,),(21IeeePn 即即,21 nA 则存在则存在 使得使得n ,2120第五章 相似矩阵5.2 矩阵的相似对角化例例设任意非零设任意非零 n 维向

15、量都是维向量都是 n 阶方阵阶方阵 A 的特征向量，的特征向量，证证(2) 又又 n 维向量维向量 也是也是 A 的特征向量，的特征向量，T)1, 1, 1( 证明证明 A 为数量阵。为数量阵。故存在故存在 使得使得, , A即即 111 n 21 111 ,21 n因此因此,IA 即即 A 为数量阵。为数量阵。21第五章 相似矩阵5.2 矩阵的相似对角化例例四、矩阵相似对角化的应用四、矩阵相似对角化的应用1. 人口流动问题人口流动问题22第五章 相似矩阵5.2 矩阵的相似对角化第一年末城乡人口为第一年末城乡人口为解解(1) 设最初城市和农村人口分别为设最初城市和农村人口分别为,00zy ,8

16、 . 01 . 0,2 . 09 . 0001001zyzzyy,8 . 01 . 02 . 09 . 00011 zyzy即即第第 k 年末城乡人口为年末城乡人口为,8 . 01 . 02 . 09 . 011 kkkkzyzy即即,8 . 01 . 02 . 09 . 000 zyzykkk,8 . 01 . 02 . 09 . 0 A记记则有则有,00 zyAzykkk23第五章 相似矩阵5.2 矩阵的相似对角化(2) 由由,0| AI 求得求得 A 的特征值为的特征值为,7 . 0,121 它们对应的特征向量分别为它们对应的特征向量分别为,1131,123121 XX令令,111231

17、 P则则,21111 P且且,7 . 00011 PAP,7 . 00011 PPA因而有因而有.7 . 00011 PPAkkk24第五章 相似矩阵5.2 矩阵的相似对角化(3) 第第 k 年末城乡人口为年末城乡人口为 00zyAzykkk 0017 . 0001zyPPkk 0021110001111231zyzy故故,07 . 0k当当 时，时， k,)(2310000 zyzy即当即当 时，城与农村的人口之比为时，城与农村的人口之比为 2: :1 . k25第五章 相似矩阵5.2 矩阵的相似对角化 由由 A 的特征值为的特征值为,7 . 0,121 对应的特征向量分别为对应的特征向量分

18、别为,1131,123121 XX故第故第 k 年末城乡人口为年末城乡人口为 00zyAzykkk1Xazy 注注本题还可以直接利用本题还可以直接利用特征值特征值与与特征向量特征向量的性质来求解的性质来求解( (线性无关线性无关) )有有,2100XbXazy 21XAbXAakk 2211XbXakk ,231 aa.1:2: zy,)7 . 0(21XbXak 26第五章 相似矩阵5.2 矩阵的相似对角化例例求解求解常系数常系数线性线性常微分常微分方程组方程组四、矩阵相似对角化的应用四、矩阵相似对角化的应用1. 人口流动问题人口流动问题2. 微分方程组求解问题微分方程组求解问题其中，其中，, )(txxii .d)(dttxxii 设想设想:假如假如微分微分方程组为方程组为 ,333222111xxxxxx 则它们是三个独立则它们是三个独立其解非常容易得到其解非常容易得到.的齐次型的齐次型微分微分方程方程,27第五章 相似矩阵5.2 矩阵的相似对角化解解(1) 将微分方程组改写为矩阵形式将微分方程组改写为矩阵形式令令 )()()()(321txtxtxtX简记为简记为,X 32133212321146635333xxxxxxxxxxxx则微分方程组则微分方程组 可改写为可改写为 )()()()(321txtxtx