第6章常微分方程数值解法

1、第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 1 引言引言 2 欧拉法和改进的欧拉法欧拉法和改进的欧拉法3 龙格库塔法龙格库塔法4 阿达姆斯方法阿达姆斯方法5 二阶线性常微分方程边值问题的数值解二阶线性常微分方程边值问题的数值解第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 相关定义相关定义微分方程：微分方程：包含自变量，未知函数及未知函包含自变量，未知函数及未知函数的导数或微分的方程。数的导数或微分的方程。常微分方程：常微

2、分方程：在微分方程中，自变量的个数在微分方程中，自变量的个数只有一个。只有一个。偏微分方程偏微分方程：含有多个自变量的微分方程。含有多个自变量的微分方程。第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 相关定义相关定义阶数：阶数：微分方程中出现的未知函数的最高微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数。阶导数的阶数。线性微分方程：线性微分方程：如果未知函数如果未知函数y及其各阶导及其各阶导数都是一次的。数都是一次的。非线性微分方程：非线性微分方程：一阶常微分方程一阶常微分方程第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6

3、 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 典型方程的解法：可分离变量法，常系数齐典型方程的解法：可分离变量法，常系数齐次线性方程的解法，常系数非齐次线性方程次线性方程的解法，常系数非齐次线性方程的解法的解法 。 但能求解的常微分方程仍然是有限的，但能求解的常微分方程仍然是有限的，大多数的常微分方程是不可能给出解析解的。大多数的常微分方程是不可能给出解析解的。如如 1)0(,22yyyyxy第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 从实际问题中归纳出来的微分方程，从实际问题中归纳出来的微分方程，通常主要依靠数值解法来解决。也

4、就是通常主要依靠数值解法来解决。也就是求在某些点上满足一定精度的近似解。求在某些点上满足一定精度的近似解。 本章主要讨论本章主要讨论一阶常微分方程一阶常微分方程初值初值问题在区间问题在区间a，b上的数值解法。上的数值解法。00( , )()dyf x ydxy xy(61) 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 存在唯一定理：存在唯一定理： 如果函数如果函数f(x，y)在带形区域在带形区域R： axb，-y+ 上为上为x，y的连续函数的连续函数，且对任意的，且对任意的y满足满足李普希茨李普希茨(Libusize)条件条件 |

5、f(x,y1)-f(x,y2)|L|y1-y2| (62) 对对R内任意两个内任意两个y1，y2都成立，都成立，则方程的解则方程的解y=y(x)在在a，b上存在且唯一。上存在且唯一。第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 对对常微分方程初值问题的数值解法就是常微分方程初值问题的数值解法就是要算出精确解要算出精确解y(x)在一系列在一系列离散结点离散结点a=x0 x1x2xn=b处的处的函数值函数值y(x0), y(x1), y(x2), , y(xn)的的近似值近似值y0,y1, y2, yn 。1 常微分方程数值解法的建立常

6、微分方程数值解法的建立 00( , )()dyf x ydxy xy(61) 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 图 6.1第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 基本出发点就是离散化。基本出发点就是离散化。 数值解法的基本特点：采用数值解法的基本特点：采用“步进式步进式”，即求解过程顺着结点排列的次序一步一即求解过程顺着结点排列的次序一步一步地向前推进。步地向前推进。 描述这类算法，要求给出一个递推描述这类算法，要求给出一个递推式。建立这类递推公式的基本

7、方法就是式。建立这类递推公式的基本方法就是数值微分、数值积分、泰勒展式等离散数值微分、数值积分、泰勒展式等离散化方法。化方法。第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 | 单步迭代法：单步迭代法：计算计算yi+1时只用到时只用到xi+1, xi, yi。代表：龙格代表：龙格库塔法库塔法|多步迭代法：计算多步迭代法：计算yi+1时除用到时除用到xi+1, xi, yi，还用到还用到xi-p, yi-p (p=1,2, k)。代表：亚当斯法代表：亚当斯法第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程

8、数值解法常微分方程数值解法 2 欧拉法和改进的欧拉法欧拉法和改进的欧拉法 一、欧拉法基本思想一、欧拉法基本思想离散结点离散结点a=x0 x1x2xn=b， h= xi-xi-1 xi=x0+ih积分曲线上每一点积分曲线上每一点(x,y)的切线的斜率的切线的斜率y(x)等等于函数于函数f(x,y)在该点的值在该点的值00( , )()dyf x ydxy xy第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 y-y0=f(x0,y0)(x-x0) y1=y0+f(x0,y0)(x1-x0)=y0+f(x0,y0)hy-y1=f(x1,y1

9、)(x-x1) y2=y1+f(x1,y1)(x2-x1)=y1+f(x1,y1)h第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 100( ,)()0,1,2,iiiiyyhf x yyy xi欧拉公式欧拉公式（折线法）（折线法）第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 例例1 用欧拉法求初值问题用欧拉法求初值问题2(0)0yxyy的数值解的数值解(取取h=0.1)。 解解 因为因为2100.1 ()0,0,1,2,iiiiyyxyyi2( , )(0)0,0.1f

10、x yxyyh故由欧拉计算公式得故由欧拉计算公式得 (64) 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 表 61 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 图 6.3 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 欧拉法优点：欧拉法优点：形式简单，计算方便，形式简单，计算方便， 欧拉法缺点：欧拉法缺点：比较粗糙，精度也低。特比较粗糙，精度也低。特别当别当y=y(x) 的曲线曲率较大时，欧拉法的曲线曲率较

11、大时，欧拉法的效果更差。的效果更差。第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 00( , )()dyf x ydxy xy,1iixxx11),(iiiixxxxdxyxfdxy两两边边积积分分，得得hyxfxxyxfdxyxfiiiixxiiii),()( ),(),(11 用左矩形求积公式，得用左矩形求积公式，得hyxfxyxyiiii),()()(1故故第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 00( , )()dyf x ydxy xy,1iixxx11)

12、,(iiiixxxxdxyxfdxy两两边边积积分分，得得）（）（用用梯梯形形求求积积公公式式，得得),(),(2h)(),(),(21),(111111 iiiiiixxiiiiyxfyxfxxyxfyxfdxyxfii）（故故),(),(2h)()(111iiiiiiyxfyxfxyxy第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 二、改进的欧拉法二、改进的欧拉法111 ( ,)(,)20,1,2,1iiiiiihyyf x yf xyin(65) 这样得到的点列仍为一折线，只是用这样得到的点列仍为一折线，只是用平均斜率来代替原

13、来一点处的斜率。平均斜率来代替原来一点处的斜率。第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 注意：欧拉公式是关于注意：欧拉公式是关于yi+1的显式的显式;而改进而改进的欧拉公式中的的欧拉公式中的yi+1以隐式给出，且以隐式给出，且yi+1含含在函数在函数f(xi+1 , yi+1)中。中。具体做法是：先用欧拉公式求出一个具体做法是：先用欧拉公式求出一个y(0)i+1作为初始近似，然后再用改进的欧拉公式作为初始近似，然后再用改进的欧拉公式进行迭代，即进行迭代，即(0)1(1)( )111( ,) ( ,)(,)20,1,2,iiii

14、kkiiiiiiyyhf x yhyyf x yf xyk第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 直到满足直到满足 (1)( )11(1)11kkiikiiyyyy(为预给精度为预给精度)否则取否则取 再转到下一步计算。再转到下一步计算。 这里必须特别说明，因为初值问题满足李普这里必须特别说明，因为初值问题满足李普希茨条件希茨条件| ),(),(2|)1(11)(11 kiikiiyxfyxfh|L2)1(1)(1 kikiyyh|),(),(2(),(),(2|)1(11)(11)(1)1(1 kiiiiikiiiiikik

15、iyxfyxfhyyxfyxfhyyy第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 当当h足够小时，可使得足够小时，可使得 12hLq 于是有于是有(1)( )( )(1)11112(1)(2)11(1)(0)11kkkkiiiikkiikiiyyq yyqyyqyy当当k时，有时，有qk0，故公式，故公式(66)收敛。收敛。第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 三、三、 预估校正法预估校正法 所谓预估校正法，就是先用欧拉法算出所谓预估校正法，就是先用欧拉法算出y

16、i+1的预估值的预估值y(p)i+1，然后再用改进欧拉法进，然后再用改进欧拉法进行一次迭代便得到校正值行一次迭代便得到校正值y(c)i+1，即，即( )1( )( )111( ,) ( ,)(,2piiiicpiiiiiiyyhf x yhyyf x yf xy(67) 预估预估校正校正并取并取 ( )11ciiyy第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 虽然式虽然式(67)仅迭代一次，但因进行了仅迭代一次，但因进行了预先估计，故精度却有较大的提高。预先估计，故精度却有较大的提高。 在实际计算时，还常常将式在实际计算时，还常常

17、将式(67)写成写成下列形式：下列形式： 121112( ,)(,)()20,1,2,iiiiiikf x ykf xh yhkhyykki(68)第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 图 6.4 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 例例 2求解初值问题求解初值问题 2(0)1,01,0.1xyyyyxh 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 解：现分别用欧拉公式和改进的欧拉解：现分别

18、用欧拉公式和改进的欧拉公式进行计算。公式进行计算。 这里欧拉公式的具体形式为这里欧拉公式的具体形式为121111222()()2iiiiiiiixkyyxhkyhkyhkhyykk 其解析解为其解析解为 21yx第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 表 62 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 2.4误差估计 初值问题(61)的等价积分方程为11()()( , ( )iixiixy xy xf x y x dx(69) 若对式(69)右端的积分采用各种不

19、同的近似计算方法，就可以得到初值问题(61)的各种不同的数值解法。 例 如积分采用左矩形公式111( , ( )( ,)()()()( ,)iixiiiixiiiif x y x dxf x yxxy xy xhf x y第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 用yi、yi+1分别代替y(xi)、y(xi+1)便得到欧拉公式(63)。 若积分采用梯形公式11111( , ( ) ( ,)(,)()2iixiiiiiixf x y x dxf x yf xyxx 在进行误差分析时，我们假设yi=y(xi)，考虑用yi+1代替y(

20、x i+1)而产生欧拉公式和改进的欧拉公式的精确度。 设初值问题(61)的准确解为y=y(x)，则利用泰勒公式 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 123()()()()()2!()3!iiiiiiy xy xhhy xhy xyxhyx 1. 欧拉公式的截断误差 由式(63)知 1( ,)()( ,)iiiiiiiyyhf x yy xhf x y(611) (610) 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 比较式(610)和(611)得2112()(

21、)2!()iiihy xyyxO h(612) 2. 改进的欧拉公式的截断误差 由式(65)知11111 ( ,)(,)2() ( , ()(,)2iiiiiiiiiiihyyf x yf xyhy xf x y xf xy(613)第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 对(69)式右端的积分采用梯形公式并根据梯形公式的误差可得到1113()() ( , ()(, ()2( )12iiiiiihy xy xf x y xf xy xhf(614)其中(xi，xi+1)，比较式(613)和(614)得1111113() (,

22、()(,)2( )12iiiiiihy xyf xy xf xyhf(615) 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 因此 31111311311()()( )212(1)()( )12()()iiiiiiiihLhy xyy xyfhq y xyfy xyO h第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 所以，改进的欧拉公式的截断误差为O(h3)，也即改进的欧拉法为二阶的。 可以验证，预估校正公式(67)与改进的欧拉公式的截断误差相同，均为O(h3)。这里略去

23、证明。 例 2求解初值问题 2(0)1,01,0.1xyyyyxh第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 3 龙格库塔法龙格库塔法 3.1 泰勒级数展开法 我们还是假设yi=y(xi)，利用泰勒级数展开求y(xi+1)。式(610)就是y(xi+1)的泰勒展开式，若取右端前有限项作为y(xi+1)的近似值，就可得到计算y(xi+1)的各种不同截断误差的数值公式。 例 如，取前两项可得到第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 y(xi+1)y(xi)+hy(xi

24、) =y(xi)+hf(xi，y(xi) =yi+hf(xi，yi) 若取前三项，可得到截断误差为O(h3)的公式 212()()()()2()( , ()( , ()( , ()( , ()2iiiiiiixiiiiyiihy xy xhy xyxy xhf x y xhfx y xf x y xfx y x第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 这里 y(xi)=f(xi，y(xi) y(xi)=fx(xi，y(xi)+fy(xi，y(xi)y(xi) =fx(xi，y(xi)+f(xi，y(xi)fy(xi，y(xi)

25、类似地，若取前k项作为y(xi+1)的近似值，便得到截断误差为O(hk)的数值计算公式。这些公式的计算必须依赖于求y(xi)的k阶导数，除非f(x，y)足够简单，否则直接用泰勒展开法求解较为复杂。但是泰勒级数展开法的基本思想是许多数值方法的基础。 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 3.2 龙格库塔法 前面已经知道，初值问题(61)等价于11()()( , ( )()(, ()01iixiixiiiy xy xf x y x dxy xhf xh y xh 龙格库塔法的基本思想是：用f(x，y)在几个不同点的数值加权平均来

26、代替f(xi+h，y(xi+h)的值，而使截断误差的阶尽可能高。 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 1. 二阶龙格库塔公式 将预估校正公式(68)改写成更一般的形式11 122121()( ,)(,)iiiiiiyyhkkkf x ykf xh yhk(616) 适当选取%、1、2%的值，使截断误差y(x i+1)-y i+1的阶数尽可能高。这里仍假定yi=y(xi)，显然 1()iky x第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 2. 四阶龙格库塔公式

27、二阶龙格库塔公式是由使用在两个不同点上的函数值的线性组合而得到的。同样，我们用四个不同点上的函数值的线性组合就可得到四阶龙格库塔公式。设 yi+1=yi+h(1k1+2k2+3k3+4k4) (620) 这里k1、k2、k3、k4为四个不同点上的函数值，分别设其为 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 k1=f(xi，yi) k2=f(xi+1h，yi+11k1h) k3=f(xi+2h，yi+21k1h+22k2h) k4=f(xi+3h，yi+31k1h+32k2h+33k3h) 其中1、2、3、4、1、2、3、11、2

28、1、22、31、32、33均为待定系数。 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 类似于前面的讨论，把k2、k3、k4分别在xi点展成h的幂级数，代入线性组合式(620)中，将得到的公式与y(xi+1)在xi点上的泰勒展开式比较，使其两式右端直到h4的系数相等，经过较复杂的运算便可得到关于i，i，ij的一组特解 1=2=11=22=1/2 21=31=32=0 3=33=1 1=4=1/6 2=3=1/3 (622) 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 从

29、而得到常用的标准四阶龙格库塔公式：121334311234( ,)(,)22(,)22(,)(22)6iiiiiiiiiikf x yhhkf xykhhkf xykkf xh yhkhyykkkk(623)第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 图 6.5 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 表 63第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 4 阿达姆斯方法阿达姆斯方法 我们已经知道，初值

30、问题(61)等价于积分方程(69)，即11()()( , ( )nnxnnxy xy xf x y x dx第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 对积分式分别采用矩形公式和梯形公式可得到欧拉公式和改进的欧拉公式，截断误差分别为O(h2)和O(h3)。为此，我们自然可以想到，若用更高次的插值多项式来代替f(x，y)，则所得公式的精度会更高。这就是线性多步法的起源思想。 本章前面介绍的方法称为单步法，因为在计算yi+1时，只用到前面yi的值。而对于线性多步法是要利用前面已经算出的若干个值yi-k，yi-1，yi来求yi+1。 现

31、用k次多项式Pk(x)来代替f(x，y(x) 111()( )( )( )iiiixxiikkxxy xy xP x dxR x dx(624) 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 舍去余项 并设yi=y(xi)，而yi+1为y(xi+1)的近似值，于是可得到线性多步法的计算公式1( )iixkkxRR x dx11( )iixiikxyyP k dx第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 4.1 阿达姆斯(Adams)显式 取q+1个基点xi，xi-1，

32、xi-q，并作牛顿后差插值多项式见式(438)，则0( )( 1)qmmqimtPxfm其中ixxth将式(627)代入式(626)得1100( 1)iiqxmmiiixmqmimimtyydxfmyhf (628) 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 这里 10( 1),0,1,2,mmtdtmqm(629) 式(628)称为阿达姆斯显式。 对于余项 1112(2)10( )( 1)()( )iixqqxqqtqqRR x dxhydt 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值

33、解法常微分方程数值解法 112(2)10( 1)( )()(,)qqqtqqi qiRhydtxx 亦即 2(2)15(5)3( )251( )720qqqqRhyRh y 显然当q=3时 (630) 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 m是多项式积分，易算出结果如下： m01234m11/25/123/8251/270例如 130432101(1)(2)613()6 48t ttdtttt第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 为了易于在电子计算机上实现

34、，常将式(628)中的 用各点的已知函数值表示。特别，当q=2时，有1121123(23165)12(5559379)24iiiiiiiiiiihyyfffhyyffff当q=3时，有 (631) (632) 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 4.2 阿达姆斯隐式 类似于4.1，取q+1个基点xi+1，xi，xi-q+1，并作牛顿后差插值多项式，则10( )( 1)qmmqimtP xfm(633) 其中 1ixxth第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解

35、法 将式(633)代入式(626)得 1110011001( 1)( 1)( 1),0,1,2,iiqxmmiiixmqmmiimmmtyydtfmtyhdtfmtdt mqm (634)其中 (635) 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 式(634)称为阿达姆斯隐式。 类似于阿达姆斯显式余项的求法，可得到阿达姆斯隐式的余项为2(2)111( ),qqqqi qiRhyxx (636) 例当q=3时 5(5)319( )720Rh y m的计算结果如下： m01234m1-1/2-1/12-1/24-19/720第第6

36、6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 若将式(634)中各阶差分mfi+1用各点的已知函数值表示，则可得到便于在电子计算机上实现的数值公式。 例如，当q=2时1111112(58)12(9195)24iiiiiiiiiiihyyfffhyyffff(637) (638) 当q=3时 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 4.3 阿达姆斯预估校正公式 我们常把阿达姆斯显式及隐式联立使用，即构造所谓阿达姆斯预估校正公式。现以q=2为例构造预估校正公式()111( )1

37、11(23165)12(58)12piiiiiciiiiihyyfffhyyfff(639) 并取 ( )11ciiyy第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 与同阶的龙格库塔方法相比较，阿达姆斯方法计算量小，公式简单，程序易于实现。但它的主要缺点是不能自动开始，开始的前几个值要依赖于其它方法获得。这里介绍两种计算开始值的方法。 (1) 用单步法中的数值方法求出开始值。 (2) 使用y(x)的泰勒展开式 200000()( )()()()()2!yxy xy xy xxxxx第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法

38、 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 例4 用阿达姆斯方法求初值问题2(0)0,01,0.1yxyyxh(640) 的数值解。 解 首先用泰勒展式求其三个点的值，因为 220( )( )( )12 ( )( )( )2( )( )( )0y xxyxyxy x y xyxyxy x yxx 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 表 64 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 设常微分方程组的初值问题为0( )( , )()y xf x y

39、y xs(641) 这里 21212( ),( ),( )( , )( , ),( , ),( , )( ,)TikTkTkyy xyxyxf x yf x yfx yfx yss ss第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 初值问题(641)与(61)式形式上完全相似。因此，对于(61)适用的数值计算公式，只要将其中的y0，y，f，都改写成相应的向量形式 s，y，f ，就能写出求解(641)的数值公式。 例如，初值问题(641)的标准四阶龙格库塔公式为112341213243(22)6( ,)(,)22(,)22(,)iii

40、iiiiiiihkykkkkkf x yhhkf xykhhkf xykkf xh yhk第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 5二阶线性常微分方程边值问题的数值解二阶线性常微分方程边值问题的数值解 设二阶线性常微分方程的边值问题为 y+p(x)y+q(x)y=f(x) y(a)=，y(b)=，axb (642) 其中p(x)，q(x)，f(x)为区间崐a，b上足够光滑的已知函数，且q(x)0，、为已知常数。第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 在上述条件

41、下，边值问题(642)式存在连续可微的解，且是唯一的。若采用差分方法来解边值问题，其基本步骤是： (1)将区间a，b“离散化”，即给a，b一个分划，此分划常考虑等距; (2)对每一个基点，将各阶导数用差商来近似表示，将微分方程转化为差分方程，进而转化为线性代数方程组; (3)解线性代数方程组，求得各基点上的近似解。第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 现具体给出求解边值问题(642)的方法步骤。 首先将区间a，b进行等距分划，即令 xi=a+ih，i=0，1，2，n 其中bahn一般称 0nxaxb为边界点，称x1，x2，xn-1为内 第第6 6章章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 第第6 6章章 常微分方程数