一元函数微积分基本练习题及答案

1、11、求 lim (cos x) 7.x_0x2(et2 -1)dt、求极限 lim-6x 0 sin xx - arctan x3、 lim2x >0 sin x (arctan x)limx )01'sin x5、limx , ：.x t2 2(0et dt)2x 2t2.e dt、lim xex-1)x. 07、1lim (1x2ex)1Osxx0x. x -x limx 111 - x ln x9、lim(tan"exx 011、13、14、(sin 2x) ln( 11lim (2x - 1)(ex x )二limx 1x 1e -1sin 3(1 -x) 1

2、-1)3x2)-1)f(x)= 1 2x"A10121户，(a,b,c>0,¥1).,12 、lim (- - cot x) x >0 x在x = 0点连续，则A=0、导数题1、设y =x2 sin x,求 y * 2、已知方程xy -ex+ey =0确定了隐函数y = y(x)，求y.3、求函数f (x) =x3(x -5)2的单调区间与极值.4、要造一圆柱形油罐，体积为 V,问底半径r和高h等于多少时，才能使表面积最小, 这时底直径与高的比是多少？5、f (x) =(x1)(x2)(x n).求 f (n)(x)6、xx = yy 求 dy17、F(x)=x

3、i sint2dt 求 F <x)sinxL ¥e +1 x > 08、设f(x)=求a,b使f(x)在x=0点可导.14ax + b x < 09、设 f(x)可导且 f(0)= f(1) = 1 .若 y= f(2sin2x)2 f (sin2x)求 dyx=0、e2x10、设 y = arctanexIn J2-,求 y.,1 e2x11、设x=yy,求 dy.x2xn12、设f(x)=(1+x+)en为正整数，求f(x)的极值.2!n!13、设 f (x)在 x=0 点连续，f(0)#0,又 f2(x)在 x = 0 点可导且f2(x)'|xy= f

4、(0)，求 f'(0).114、设 f(x)在0,1上连续，(0,1)内可导，f(0)=f(1) = 0, f(1)=1.证明：三巴三(0,1)使2f ( ) =1 15、设函数f(x)>0且二阶可导，y = inf(x),则y" = 16、 ysin x-cos(x y) =0 ,贝U dy = 17、y =xsinx,求 y18、求函数y = J的极值1 x219、y=sin(x + y ),求 dydx220、y = (sin x cosx ,求曳dx21、求过原点且与曲线y=山相切的切线方程。x 522、y = (In x)lnx,求 yax b ,x 123、

5、设f(x) V 2<试求a,b使f (x)在x =1点连续、可导.x , x 1f (sin x) sin xdy24、设 f 可导，y = e()f(e )，求 dydx25、设 xy2 +ey = cos(x + y2)，求 dy26、设 y = arccosVl - x2，贝tj y =27、设 f (x) =x(x 1)(x 2)(x100),则(0)=28、设 f(x)二阶可导，f “(x) >0, f(0)=0.证明： Ux) 在(叫0)和(0,+oc )上都单增. x x>0, 一、29、设f(x)=i+x在x = 0点可导，求a,b .2x b x ： 0ax

6、xaax30、设丫= x +a +a ，求 y .31、设函数 y =y(x)由方程 ex* cos(xy) =0确定，则 dyx=0= 32、设 f (x) =ln(1+x),贝U f(10)(0)= 33、设f(u)是u的已知可导函数，求函数y= f(ax)bf(x)的导数，其中a与b均为不等于1的正数。xx34、求满足关系式10 f (t)dt=x + f0tf(x-t)dt的可微函数f(x)，.、1.，f (x hx)、金35、设 f (x) >0在(0 严)内可导且 lim f (x) =1.若 lim (=-)=ex，求 f(x).x > 二h，。 f (x)36、设

7、y = arcsin(asin x)，求 y'及 y10x37、设 F(x)=£ f(t)dt,其中 f(t)连续，求 F'(x) xx39、设'f (t 一 x)dt = sin(3x - 2x)其中 f 连续求 f (x) 0Jj什40、设 f(x)=j；sin x , xl0 求 f),f(0)0, x =02x4 dt41、计算q 2dx x ,1 . t二、积分题1、求 farccosxdx.、求名取3、求 j，1 - x2dxexdxx_xe e15、1°dx2 x 1 -xdx、.x(1 % x)7、ln(1 、. x)dx8、求心形线

8、r 二 a(1+ cose)在第二象限所围成的面积.9、证明曲线2-a3a(a > 0)上任一点的切线介于两坐标轴间的一段长度为常数。10、x3 - 3x 3的极值，并求出该曲线介于极值点间的曲边梯形面积。11、计算2 e cos xJIdx 12 、 fxe .dx,e2x -113、计算ln(1 x)dx.x14dxx2.x2-915、已知1f(0)=1, f(2)=3, f'(2) =5 ,计算 I = °xf "(2x)dx16、求y =sin x (0 <x <n)与x轴所围图形绕y =1的旋转体积。17、xarctanxdx18、dxx

9、19、dx.x(1 x)20TC ,、2二 cosx - coS5 xdx221、In x , 2 dx (1 -x)22xdx(x2 1) . 1 - x223、Jt 02 J-sinxdx224、求圆x2+(y-5)2=16绕x轴旋转所成环体的体积Varctan xIn sin x ,25、 f_ dx =26、求 2dxx(1 x)sin2 x27、求y =sin *与y =sin 2x在b,兀上所围图形的面积28、若sec2 x是f (x)的一个原函数，则 Jxf(x)dx= 2 .2129、V8 -2x dx30、 (ln ln x +)dx_ 2ln x31、在曲线y=e"

10、; (x至0)上找一点，使过该点的切线与两坐标轴所夹平面图形的面积最大, 并求出该面积值。四、证明题1、证明不等式：当x>1时，ex > xe.2、证明f (x) = (1 * )x在(0,+力)内严格单增 x设函数f(x)在0,1上连续，且f(0) = f(1),试证，对于n =2,3，存在&wQ±1,3、 n一1使得 f( n)= f('n). n设函数y = y(x)在任一点x处的增量为yy = y ：十口4、 八',1+x2其中当Ax t 0时，ct是Ax的高阶无穷小量，y(0)=冗.试求y(1)的值。5、设 f (0) = 0 , f "(x) <0 ,证明：Vx1, x2 A0 ,都有 f (x1 +x2) < f (x1 ) + f(x2) O6、设f(x)=(x-1【x2Jx-31x4),则方程f'(x )=0有几个不同的实根?并证明之。7、设f(t)为连续的奇函数，试问g(x)=，f(t)dt的奇偶性如