惯性矩、静矩-形心坐标公式

1、§ I-1截面的静矩和形心位置图1-1如图I- 1所示平面图形代 表一任意截面，以下两积分SzAydAzdAA1-1分别定义为该截面对于z轴和y 轴的静矩。静矩可用来确定截面的形 心位置。由静力学中确定物体重 心的公式可得SyycZczdAAA利用公式I -1，上式可写成ycZczdAAASzSyA 1-2或SzSyAyeAzc1-3ycZcAA1-4如果一个平面图形是由假设干个简单图形组成的组合图形，那么由静矩的定义可知，整个图形对某一坐标轴的静矩应该等于各简单图形对同一坐标轴的静矩的代数和。即:SznAi ycii 1nSyAi zcii 1I-5式中Ai、yci和zci分别表示

2、某一组成局部的面积和其形心坐标，n为简 单图形的个数。将式I- 5代入式1-4，得到组合图形形心坐标的计算公式 为nA i y ci i 1nAii 1Ai Zcii 1nAii 11-60.6miy0.12mCii0.4mI1yc.CynO1IyInz訂C n0.2m例题1-1图a所示 为对称T型截面，求该截 面的形心位置。解：建立直角坐标系 zOy,其中y为截面的对称 轴。因图形相对于y轴对 称，其形心一定在该对称 轴上，因此Zc = 0,只需计 算yc值。将截面分成I、 n两个矩形，那么Ai =0.072m2, An=0.08m2yi =0.46m, yn=0.2mycAy。i 1nAi

3、 1A yiAi yiiAAii°.°72 °.46 O.°8 020.323m0.0720.08§ I - 2惯性矩、惯性积和极惯性矩如图I- 2所示平面图形代表一任意截面，在图 形平面内建立直角坐标系zOy。现在图形内取微面积 dA, dA的形心在坐标系zOy中的坐标为y和z,到 坐标原点的距离为p。现定义y2dA和z2dA为微面积 dA对z轴和y轴的惯性矩，PdA为微面积dA对坐标 原点的极惯性矩，而以下三个积分Iz y2dAzAIy z2d AyA图1-2I P p2d AA 1-7分别定义为该截面对于z轴和y轴的惯性矩以及对坐标原点的

4、极惯性 矩2 2 2由图丨-2可见， y z，所以有a pdAA(y2Z2)dA Iz IyI- 8即任意截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原点的两任 意正交坐标轴的惯性矩之和。另外，微面积dA与它到两轴距离的乘积zydA称为微面积dA对 y、z轴的惯性积，而积分Iyz AzydAi_9 定义为该截面对于y、z轴的惯性积。从上述定义可见，同一截面对于不同坐标轴的惯性矩和惯性积一般是不同的。惯性矩的数值恒为正值，而惯性积那么可能为正，可能为 负，也可能等于零。惯性矩和惯性积的常用单位是 m4或mm4。§1-3惯性矩、惯性积的平行移轴和转轴公式图1-3一、惯性矩、惯性积的平行 移轴

5、公式图I- 3所示为一任意截面， z、y为通过截面形心的一对正交 轴，乙、yi为与z、y平行的坐标 轴，截面形心C在坐标系ZiO yi 中的坐标为b, a，截面对 z、y轴惯性矩和惯性积为lz、Iy、 lyz，下面求截面对Zi、yi轴惯性矩 和惯性积 Izi、lyi、lyizi。ziIz a2A zI - ioIyiIyb2AI - ii同理可得式i- io、i - ii称为惯性矩的平行移轴公式F面求截面对yi、zi轴的惯性积gzi。根据定义AziyidAA(z b)(y a)dAzydA a zdA b ydA ab dAAAAAI yz aSy bSz abAabAI - i2由于z、y轴

6、是截面的形心轴，所以Sz = Sy = 0，即yiziyz式I - i2称为惯性积的平行移轴公式。二、惯性矩、惯性积的转轴公式图I - 4所示为一任意截面，z、y为过任一点O的一对正交轴，截面对z、y轴惯性矩Iz、Iy和惯性积Iyz。现将z、y轴绕O点旋转a角以逆时针方向为正得到另一对正交轴 乙、yi轴，下面求截 面对Zi、yi轴惯性矩和惯性积1可、1 yi、人佰。Izi图I - 4Iz IyI-IjLcos22Iyzsin 21- 13同理可得IyiIz ly2cos 2I yz sin 21- 14Iz丨y2 sin 22式I - 13、1- 14称为惯性矩的转轴公式，式I- 15称为惯性

7、积的转轴公式。%ZiI yz cos21-15§ I - 4形心主轴和形心主惯性矩一、主惯性轴、主惯性矩由式1-15可以发现，当 a=0o，即两坐标轴互相重合时,1泪Iyz ；当a= 900时，山引Iyz，因此必定有这样的一对坐标轴， 使截面对它的惯性积为零。通常把这样的一对坐标轴称为截面的主惯 性轴，简称主轴，截面对主轴的惯性矩叫做 主惯性矩。假设将z、y轴绕0点旋转a角得到主轴Zq、yo，由主轴的定义由式I1- 16及三角公式可得Iz IyIy)22Iyzcos2 0sin2 0将此二式代入到式I - yo的主惯性矩Iz Iy2Iz Iy2,(Iz Iy)213、1-144i y

8、z便可得到截面对主轴Zq、IzoIyo1、(lzIy)241；1I )2 4I 2yyz1-17IzIyIyozo2sin2 olyzC0S2 o0从而得2Iyztan 2 aIIzy i-16上式就是确定主轴的公式，式中负号放在分子上，为的是和下面两式 相符。这样确定的a角就使得Izo等于Imax。二、形心主轴、形心主惯性矩 通过截面上的任何一点均可找到一对主轴。通过截面形心的主轴 叫做形心主轴，截面对形心主轴的惯性矩叫做形心主惯性矩。例题I - 5求例I- 1中截面的形心主惯性矩。 解：在例题I- 1中已求出形心位置为zC 0yC 0.323m过形心的主轴zo、yo如下列图，zo轴到两个矩形形心的距离分别为aI 0.137maII 0.123m截面对zo轴的惯性矩为两个矩形对zo轴的惯性矩之和，