必修二第三章直线与方程知识点总结及练习(答案)

1、必修二第三章直线与方程1直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是|0 °<a< 180 °2直线的斜率定义：倾斜角不是 90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即k tan 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当直线I与x轴平行或重合时,a =0° , k = tan0 ° =0;当直线I与x轴垂直时，a = 90 ° , k 不存在.当0 ,90 时，k 0 ；当90 ,180 时，k

2、 0 ；当90时，k不存在。过两点的直线的斜率公式：k奂_(% x2) P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1 工x2注意下面四点：(1)当xiX2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°(2) k与Pl、P2的顺序无关；(3) 以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4) 求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。3直线方程点斜式：y y1 k(x xj直线斜率k,且过点 冷 注意：当直线的斜率为0°时，k=0,直线的方程是y=y1。当直线的斜率为 90。时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因I上每一点的横坐标都等于 X

3、1,所以它的方程是 X=X1。斜截式：y kx b，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为 b两点式： _土 土为 x2 ,y1 y2直线两点 冷 , x2 ,y2 y2 y1 X2 人截矩式： 1其中直线1 a b与x轴交于点(a,0),与 y轴交于点(0,b),即1与x轴、y轴的截距分别为a,b。-般式：Ax By C 0a, b不全为0注意：各式的适用范围特殊的方程如：圧行于X轴的直线：y b b为常数；平行于y轴的直线：x a a为常数；6两直线平行与垂直当i l1 : y k1x b1, l2 : y k2x b2时，l1 /12 k1 k2,b1 b2 ；11 12kt k?1注意：利

4、用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。 7两条直线的交点l1 : A1x B y C1 0 I2 : A2X IB2 y C2 0相交交点坐标即方程组 A1X B1y C1 0的一组解。A2X B2y C20方程组无解li /I2 ；方程组有无数解li与12重合8两点间距离公式：设A(xi,yj,(X2,y2)是平面直角坐标系中的两个点,那么 |AB| J(X2 Xi)2® yi)29点到直线距离公式：一点P x0,y0到直线li : Ax By C 0的距离d 冷。_ By。c| vA2 btio两平行直线距离公式两条平行线直线li和l2的一般式方程为li : Ax

5、By Ci 0，I2: Ax By C2 0,那么li与丨2的距离为d F C2Ja2 b2直线的方程i.设a，b，c是互不相等的三个实数， 如果Aa，a3、B b,b3、Cc,c3在同一直线上，求证：a+b+c=0.证明/ AB、C三点共线，.kAB=kAC,3. 3.abab33a c，化简得 a2+ab+b2=a2+ac+c2,a c/ b2-c2+ab- ac=0， b-c a+b+c=0，/ a、b、c 互不相等，b-c工0，二 a+b+c=0.2.假设实数x,y满足等式(x-2) 2+y2=3,那么y的最大值为xB. 3C. 3答案 D3.求经过点A-5，2且在x轴上的截距等于在

6、y轴上的截距的2倍的直线方程;解 当直线l在x、y轴上的截距都为零时，设所求的直线方程为y=kx.将-5，2代入y=kx中，得k=-，此时，直线方程为52y=- x,5即 2x+5y=0.当横截距、纵截距都不是零时,设所求直线方程为2a2 =1,将-5 , 2代入所设方程，解得a=-丄,a2此时，直线方程为x+2y+仁0.综上所述，所求直线方程为4.直线l经过点P3, 2且与x , y轴的正半轴分别交于x+2y+1=0 或 2x+5y=0.A B两点， OAB的面积为12,求直线l的方解 方法一 设直线l的方程为-上1 a> 0, b > 0a bA(a,0), B(0, b),a

7、b 24,32 解得1.a ba 6,b 4.所求的直线方程为6 1,即2x+3y-i2=°.方法二 设直线l的方程为y-2=k(x-3).令y=0,得直线I在x轴上的截距a=3- 2 ,令x=0,得直线I在y轴上的截距b=2-3 k. k32 (2-3 k)=24.解得 k=- 2.二所求直线方程为 y-2二-(x-3).即 2x+3y-12=0.k332，假设直线I : x+my+n=0与线段PQ有交点，求m的与线段PQ有交点，所求m的取329.线段PQ两端点的坐标分别为-1，1、 2, 取值范围.值范围是-2 w m .32方法二 过P、Q两点的直线方程为y-仁 (x+1),即

8、y = x + 4 ,代入x+my+n=0, 2 133整理，得x=- 7m .由-1 w- 7m w 2,解得-2 wmW .m 3m 332两直线方程例 1 直线 L:ax+2y+6=0 和直线 l2:x+(a-1) y+a2-1=0, 1试判断丨1与l 2是否平行;211丄I 2时，求a的值.解 1方法一 当 a=1 时，11： x+2y+6=0,1 2： x=0, I 1 不平行于 l 2： 当 a=0 时，11: y=-3, I 2: x- y-1=0, 11 不平行于 12;当a工1且a工0时，两直线可化为21 aa1I 1 / 1 221 a ，解得 a=-1,3(a 1)综上可

9、知，a=-1时，I1 / I 2，否那么I1与I 2不平行11: y =- x -3, 12： y= x -( a+1),方法二 由 A1B>AB=0，得 a a-1-1 X2=0，由 AG-AG 工 0,得 a(a2-1)-1 X 6 工 0,11 / I 2a(a 1) 1 202a(a2 1)1 602a2 a 202a=-1,a(a21)6故当a=-1时，I" 12,否那么丨1与12不平行.2方法一 当a=1时，I 1：x+2y+6=0, 12： x=0, 11与I 2不垂直，故a=1不成立.当 a工 1 时，11： y =- a x-3, 12： y = x -( a

10、+1), 由 21 a2丄=-11 aa=2.3方法二 由 AA+BB2=0，得 a+2(a-1)=0a=2 .3例3直线I过点P3, 1且被两平行线I1：x+y+1=0, I2：x+y+6=0截得的线段长为5,求直线I的方程.解方法一假设直线I的斜率不存在，_那么直线I的方程为x=3，此时与l2的交点分别是A 3, -4，B3, -9丨，截得的线段长| AB=|-4+9|=5,符合题意.假设直线I的斜率存在时，那么设直线I的方程为y=k(x-3)+1,分别与直线li,丨2的方程联立,由yk(x3)1 ,解得A3k2 14kxy 10k1 , k18分由yk(x3)1,解得B3k7 19kxy

11、 60k1 k1由两点间的距离公式，得23k 2 3k 7 21 4k+k 1 k 1k 11 9kk 1=25,解得k=0,即所求直线方程为y=1.综上可知，直线I的方程为x=3或y=1.方法二 设直线 I 与丨1,丨2分别相交于 A(x1, y1), B(x2, y2),那么 X1+y1+1=0, X2+y2+6=0,两式相减，得(X1-X2)+( y1-y2)=56 分又(X1- X2) 2+( y1- y2) 2=25联立可得X1 X2 5或X1 X2 0 ,10分y1y20 y1 y2 5由上可知，直线I的倾斜角分别为0°和90°,故所求的直线方程为x=3或y=1

12、.例4求直线11： y=2x+3关于直线I:y=x+1对称的直线I 2的方程.解 方法一 由y 2x 3 知直线L与I的交点坐标为-2，-1，y x 1设直线 I 2的方程为 y+1= k(x+2),即 kx- y+2k-1=0.在直线I上任取一点1，2，由题设知点1，2到直线丨1、丨2的距离相等, 由点到直线的距离公式得k 2 2k 1 _22 3|解得k= 1 ( k=2舍去)，二直线丨2的方程为x-2y=0.2方法二设所求直线上一点 P x, y,那么在直线I 1 上必存在一点P1X0,y。与点P关于直线I对称.由题设：直线PP与直线I垂直，且线段PP的中点3?11P2 U,2在直线I上

13、.x0 x，变形得X。 y 1,22y y。 x x。yo x 12 2代入直线I 1：y=2x+3,得x+1=2X (y-1)+3,整理得x-2 y=0.所以所求直线方程为 x-2y=0.直线与方程1. 设直线I与x轴的交点是P,且倾斜角为，假设将此直线绕点 P按逆时针方向旋转45° ,得到直线的倾斜角为 +45 °，那么 A.0 ° << 180°B.0 ° << 135°C.0°<< 135 °D 0°<< 135°答案D2.曲线y=x3-2

14、x+4 在点1，3处的切线的倾斜角为 A30 °B45 °C.60 °D120 °答案B3.过点M-2，m，N m, 4的直线的斜率等于1，那么m的值为()A.1B.4C1或3D.1 或 4答案A4.过点P-1，2且方向向量为a=-1 , 2的直线方程为 A2x+y=0B. x-2 y+5=0C. x-2 y=0D. x+2y-5=0答案A5. 一条直线经过点 A-2 , 2，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1,那么此直线的方程为 .答案 x+2y-2=0 或 2x+y+2=0f 典例剖析例 1 三点 A 1，-1 丨，B 3, 3，C 4，5. 求证

15、：A B、C三点在同一条直线上.证明/ A 1，-1 丨，B 3，3，C4，5，/ kAB=2,3 1kBC= 54=2， kAE=kBC，3 A B、C三点共线.例 2 实数 x, y 满足 y=x2-2x+2 (-1 <x< 1).试求：-_3的最大值与最小值.x 2解 由的几何意义可知，它表示经过定点P -2，-3丨与曲线段AB上任一点x,y的直线的斜率k,x 2如图可知：kpA< k< kpB,由可得：A 1，1，B-1，5， 4 < k< 8,故 心的最大值为8，最小值为4 .3x 23例3求适合以下条件的直线方程：1经过点P3，2，且在两坐标轴上

16、的截距相等；2经过点A-1，-3丨，倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍. 解 1方法一 设直线I在x, y轴上的截距均为a,假设a=0，即I过点0， 0和3，2， I的方程为y=-x，即2x-3y=0.3假设a工0，那么设l的方程为-ya b1，V l 过点3，2， 3a1， a=5，.l 的方程为 x+y-5=0,综上可知，直线l的方程为2x-3 y=0或x+y-5=0.方法二由题意知，所求直线的斜率k存在且k工0,2设直线方程为 y-2=k(x-3),令 y=0,得 x=3- 2 ,令 x=0,得 y=2-3k,k由 3- 2 =2-3 k，解得 k=-1 或 k=2, 直线 I 的方程

17、为：y-2=- x-3 丨或 y-2= _?(x-3), k33即 x+y-5=0 或 2x_3y=0.2由：设直线y=3x的倾斜角为，那么所求直线的倾斜角为 2/ tan =3, tan2 = 一 =- 3 .又直线经过点 A -1 , -3，、 1 tan24因此所求直线方程为 y+3二3 (x+1),即3x+4y+15=0.4例4 12分过点P2, 1的直线I交x轴、y轴正半轴于A、B两点，求使:1 AOE面积最小时l的方程；2| PA | PE|最小时I的方程.方法一设直线的方程为-y 1 ( a>2, b> 1),由可得2a11211 =1，. ab?8 二 SAaoe=

18、 ab a 4. ab2当且仅当2 = 1=1,即a=4, b=2时，Saob取最小值4,此时直线I的方程为彳a b 24=1,即 x+2y-4=0. 6 分2(2)由 2+丄=1,得 ab- a-2b=0, 变形得(a-2)( b-1)=2, a bI PA| I PE|=J(2a)2(10)2 (20)2 (1b)2=J(2a)21【(1 b)24 a2(a2) 4(b 1)当且仅当a-2=1, b-1=2,即a=3, b=3时，| PA | PE|取最小值4.此时直线I的方程为x+y-3=0. 方法二 设直线I的方程为y-1=k(x-2) ( k< 0),1那么I与x轴、y轴正半轴

19、分别交于 A 2 -,0、B0，1-2k k '1111-2 k= 一 X 4 ( 4k)() a 4+4=4.2k2当且仅当-4 k=- 1 ,即k=- 1时取最小值，此时直线k2I 的方程为 y-1=- 1 ( x-2),即 x+2y-4=0.2当且仅当 ±=4k2,即k=-1时取得最小值，此时直线I的方程为y-1=-( x-2),即x+y-3=0.k2活页作业一、选择题1. 过点1，3作直线I，假设经过点a, 0和0, b，且a N , b N,那么可作出的I的条数为A.1E.2C.3D.4答案 E2. 经过点P 1, 4的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小

20、，那么直线的方程为E.2 x+y-6=0D. x-2 y-7=0A. x+2y-6=0C. x-2y+7=0答案 B3. 假设点A2, -3是直线aix+biy+1=0和a2X+b2y+1=0的公共点，那么相异两点a , b和a?, b2所确定的直线方程是A.2 x-3 y+1=0B3x-2y+1=0C.2 x-3y-1=0D3x-2y-仁0答案 A二、填空题4. a > 0,假设平面内三点A 1,-a，B 2,a2，C 3,a3共线，_那么a= .答案 1+ 25. 两点 A-1，-5丨，B 3，-2，假设直线I的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，那么I的斜率是三、解答题6. 线段PQ两端

21、点的坐标分别为-1， 1、 2，2，假设直线I : x+my+n=0与线段PQ有交点，求m的 取值范围.解 方法一 直线x+my+n=0恒过A 0，-1丨点.1 112313121kAP=-2， kAc= ，那么- > 或-< -2，: -一 < me _ 且 0.0 1022m 2 m32又t m=0时直线x+my+mFO与线段PQ有交点，二所求 m的取值范围是-2 e me 1 .32方法二 过P、Q两点的直线方程为y-1= _ (x+1),即 y=x+4,代入 x+my+T=0,整理，得 x=- 7m .2 133m 37m21由-1 e -上工e 2,解得-2 e me丄.m 3327. 直线I与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足以下条件的直线I的方程:1过定点A-3，4； 2斜率为 丄.6解 1设直线I的方程是y=k(x+3)+4,它在x轴，y轴上的截距分别是-«-3，3k+4,k由，得3k+4 4 +3=± 6,k解得匕=-2或k2=- 8 .3 3直线I的方程为2x+3y-6