中考数学二轮复习专题：动态几何问题

1、中考数学二轮复习专题何问题动态几中考数学二轮复习专题：动态几何问题第一部分真题精讲【例1】如图，在梯形A8CQ中，AD=3,DC=598c=10,梯形的高为4.动点M从4点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点C运动;动点N同时从C点出发沿线段8以每秒1个单位长度的速度向终点。运动.设运动的时间为,(秒).(1)当MNAB时，求的值;(2)试探究：,为何值时,MVC为等腰三角形.【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都

2、有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M,N是在动，意味着BM,MC以及DN,NC都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定MN/AB时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。【解析】解：（1）由题意知，当M、N运动到，秒时，如图，过D作DE/AB交BC于E点,则四边形码是平行四边形.丁AB/DE,AB/MNDE/MN（根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将MN放在三角形内，将动态问题转化成平行时候的静态问题），笠二若.（这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键）舒耍解得Y【

3、思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=NC即可，于是就漏掉了MN=MC,MC=CN这两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形,定不要忘记分类讨论的思想，两腰一底一个都不能少。具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解【解析】（2）分三种情况讨论：当=时，如图作NF1BC交BC于F,则有MC = 2FC即.（利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质）CD53cosZC=一53f10-2f=2x,5当MN=MC时，如图，过M作WCO于H.则 CV = 2CH ,当MC=CN时，则10-2.10t=综上所述，当,岑或？时，AA/N

4、C为等腰三角形.例2在4ABC中，ZACB=45.点D(与点B、C不重合)为射线BC上一动点，连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.(1)如果AB=AC.2(2)如果AB千AC,BC上运动.(1)中结1CF所在直线相交于点P,设AC = 4V2,BC = 3f(3)若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CD，求线段CP的长.(用含工的式子表示)【思路分析1】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并未给出那个“静止点”，所以需要我们去分析由D运动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。由题我们发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的,于是利用角度的互余关系进行传

5、递，就可以得解。【解析(1)结论：CF与BD位置关系是垂直;证明如下：AB=AC,ZACB=45,AZABC=45.由正方形ADEF得AD=AF,VZDAF=ZBAC=90,AZDAB=ZFAC,AADABAFAC,：.ZACF=ZABD.:.ZBCF=ZACB+ZACF=90.gpCFBD.问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑【思路分析2这一问是典型的从特殊到一般的特殊的条件就行，于是我们和上题二BGDe垂线,就可以变成第一问的条件,然后一样求解。(2)CFBD.(1)中结论成立.理由是:过点A作AGLAC交BC于点G,，AC=AG可证：AGADACAFazacf=zAGD=45ZBCF=

6、ZACB+ZACF=90.即CFBD【思路分析3这一问有点棘手，D在BC之间运动和它在BC延长线上运动时的位置是不一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X还是4-X分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP.（3）过点A作AQ1BC交CB的延长线于点Q,点D在线段BC上运动时，:ZBCA=45,可求出AQ=八CQ=4.ADQ=4-x,易证AQDs/DCP,工2=空,QBDDQAQ CPx =-94f4：.CP=+x4点D在线段BC延长线上运动时，VZBCA=45,可求出AQ=CQ=4,ADQ=4+x.过A作AGAC交CB延长线于点G,则MGDsAACF.CFBD,AQDs

7、aDCP”,A/K。A。/*w/.CP=+xP4【例3】已知如图，在梯形ABCD中9ADBC,AD=2,BC=4,点M是AD的中点,MBC是等边三角形.（1）求证：梯形”8是等腰梯形；（2）动点八2分别在线段8C和上运动，且NMPQ=6。保持不变.设PC=x,MQ=y9求y与x的函数关系式;（3）在（2）中，当y取最小值时，J形状，并说明理由.【思路分析D本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重点还是在考察几何方面。第一问纯静态问题，自不必说，只要证两边的三角形全等就可以了。第二问和例1一样是双动点问题，所以就需要研究在P,Q运动过程中什么东西是不变的。题目给定NMPQ=60,这

8、个度数的意义在哪里？其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系，所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系.怎么证相似三角形呢？当然是利用角度咯.于是就有了思路.【解析】（1）证明：.*AMBC是等边三角形MB=MC,ZMBC=ZMCB=60M是AD中点 1AM=MD丁AD/BC ZAMB=/MBC=60,/DMC=ZMCB=60 二AAMB/DMC AB=DC，梯形ABCD是等腰梯形.（2 ）解：在等边ambc中，MB=MC=BC=4,/MBC=NMCB=g。,NMPQ=60 /BMP+NBPM=NBPM+ZQPC=120（这个角度传递非常重要，大家要仔细

9、揣摩） /BMP=/QPC/BMPs/CQPPC_CQ丽一而PC=x,MQ=yBP=4-x,QC=4-yx4y一.厂0（设元以后得出比例关系,轻松化成二次函数的样子）【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问所得的二次函数，很轻易就可以求出当X取对称轴的值时Y有最小值。接下来就变成了“给定PC=2,求PQC形状”的问题了。由已知的BC=4,自然看出P是中点,于是问题轻松求解。(3)解:尸以为直角三角形1z)=炉2)+3当y取最小值时,x=PC=2，尸是8C的中点，MPBC,而NMPQ=60,/ZCP0=30,二ZPQC=90以上三类题目都是动点问题，这一类问题的关键就在于当

10、动点移动中出现特殊条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解。如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的。当动的不是点，而是一些具体的图形时，思路是不是一样呢?接下来我们看另外两道题.【例4】已知正方形S中，E为对角线切上一点,过点作EFLBD交BC于F,连接G为QP中点，连接EG,CG(1)直接写出线段EG与CG的数量关系;(2)将图1中旬即绕8点逆时针旋转45。，如图2所示，取“中点G,连接EG.CGf你在(1)中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明.（3）将图1中ME尸绕3点旋转任意角度,如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否

11、仍然成立？（不要求证明）B【思路分析1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从旋转45到旋转任意角度,要求考生讨论其中的不动关系。第一问自不必说，两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等。第二问将aBEF旋转45之后，很多考生就想不到思路了。事实上，本题的核心条件就是G是中点，中点往往意味着一大票的全等关系，如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。连接AG之后,抛开其他条件,单看G点所在的四边形ADFE,我们会发现这是一个梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法，自然想到过G点做AD,EF的垂线。于是两个全等的三角形出现了。(1)CG=EG(2)(1)中结论没有发生

12、变化，即.证明：连接AG,过G点作WAD于M,与印的延长线交于N点.在ADAG与ADCG中,AD=CD,ZADG=NCDG,DG=DG,SDAGADCG.AG=CG在ADMG与AFNG中,乙DGM=4FGN、FG=DG、DG=ANFG, ADMGAFNG MG=NG在矩形出中,AM=EN在RLMG与HAEVG中，AM=EN,MG=NG,AG=EG【思路分析2】第三问纯粹送分，不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。但是我们不应该止步于此。将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因，如果4BEF任意旋转，哪些量在变化，哪些量不变呢？如果题目要求证明，应该如何思考。建议有余力的同学自己研究一下，笔

13、者在这里提供一个思路供参考：在4BEF的旋转过程中，始终不变的依然是G点是FD的中点。可以延长一倍EG到H,从而构造一个和EFG全等的三角形，利用BE=EF这一条件将全等过渡。要想办法证明三角形ECH是一个等腰直角三角形，就需要证明三角形EBC和三角形CGH全等,利用角度变换关系就可以得证了。(3)(1)中的结论仍然成立.例5已知正方形ABCD的边长为6cm,点E是射线BC上的一个动点，连接AE交射线DC于点F,将ABE沿直线AE翻折，点B落当股1时，CF=cm,（2）当些=2时，求sinNDAB，的值;CE（3）当箓=x时（点C与点E不重合）,请CE写出ABE翻折后与正方形ABCD公共部分产

14、面积y与x的关系式，（只要写出,论,不轲题过程）.【思路分析】动态问题未必只有点的平移，图形的旋转，翻折（就是轴对称）也是一大热点。这一题是朝阳卷的压轴题，第一问给出比例为1,第二问比例为2,第三问比例任意，所以也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目。同学们需要仔细把握翻折过程中哪些条件发生了变化,哪些条件没有发生变化。一般说来，翻折中，角,边都是不变的，所以轴对称图形也意味着大量全等或者相似关系，所以要利用这些来获得线段之间的比例关系。尤其注意的是，本题中给定的比例都是有两重情况的，E在BC上和E在延长线上都是可能的，所以需要大家分类讨论，不要遗漏。【解析】(1)CF=6cm；(延长之后一

15、眼看出,EAZY)(2)如图1,当点E在BC上时，延长AB交DC于点M,VAB/7CF,工AABEBEABV些=2,ACF=3.CEVABCF,AZBAE=ZF.团又NBAE=NBAE,:.ZBrAE=ZF.:.MA=MF.设MA=MF=k,贝!|MC=k-3,DM=9-k.在RtZkADM中，由勾股定理得:k2=（9-k）2+62,解得k=MA=?.DM=|.（设元求解是这类题型中比晨重要的方法）:.sinZDAB,二处=9；AM13如图2,当点E在BC延长线上时，延长AD交WE于点N,同可得NA=NE.设NA=NE=m,贝|BN=12-m.m2=(12-m)2+62,解得m=AN=.2在R

16、tAABN中,由勾股定理,得N=2.2:.sinZDABzAN5(3)当点E在BC上时，y=N；x+1（所求4ABrE的面积即为4ABE的面积，再由相似表示出边长）当点E在BC延长线上时，y=1.【总结】通过以上五道例题，我们研究了动态几何问题当中点动，线动，乃至整体图形动这么几种可能的方式。动态几何问题往往作为压轴题来出，所以难度不言而喻,但是希望考生拿到题以后不要慌张，因为无论是题目以哪种形态出现，始终把握的都是在变化过程中那些不变的量。只要条分缕析,一个个将条件抽出来,将大问题化成若干个小问题去解决,就很轻松了.为更好的帮助考生,笔者总结这种问题的一般思路如T：第一、仔细读题，分析给定条

17、件中那些量是运动的，哪些量是不动的。针对运动的量，要分析它是如何运动的，运动过程是否需要分段考虑，分类讨论。针对不动的量，要分析它们和动量之间可能有什么关系，如何建立这种关系。第二、画出图形，进行分析，尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量的关系。如果没有静止状态，通过比例，相等等关系建立变量间的函数关系来研究。第三、做题过程中时刻注意分类讨论，不同的情况下题目是否有不同的表现，很多同学丢分就丢在没有讨论，只是想当然看出了题目所给的那一种图示方式，没有想到另外的方式，如本讲例5当中的比例关系意味着两种不一样的状况，是否能想到就成了关键。第二部分发散思考【思考1已知：如图(1),射线

18、AM/射线BN,AB是它们的公垂线，点。、。分别在、6N上运动(点。与点A不重合、点C与点8不重合),E是A3边上的动点(点后与A、8不重合)，在运动过程中始终保持DEVEC9且AD+DE=AB=a(1)求证：/SADEsABEC；(2)如图(2),当点石为A8边的中点时，求证：AD+BC=CD；设AE = m请探究:ABEC的周长是否与，1有关？若有关，请用含有，的代数式表示的出的周长；若无关，请说明理由.【思路分析】本题动点较多，并且是以和的形式给出长度。思考较为不易，但是图中有多个直角三角形，所以很自然想到利用直角三角形的线段、角关系去分析。第三问计算周长，要将周长的三条线段分别转化在一

19、类关系当中，看是否为定值，如果是关于M的函数，那么就是有关，如果是一个定值，那么就无关，于是就可以得出结论了。【思考2】AA3C是等边三角形，尸为平面内的一个动点，BP=BA,若（rVNP3CV180。，且NPbC平分线上的一点D满足。8=04,（1）当8P与BA重合时（如图1）,ZBPD=；（2）当万尸在N4BC的内部时（如图2）,求N引晒的度数；写出N3尸。的度数，并画出相应的图形.B图1B图2C【思路分析】本题中，和动点P相关的动量有NPBC,以及D点的位置，但是不动的量就是BD是平分线并且DB=DA,从这几条出发，可以利用角度相等来找出相似、全等三角形。事实上，P点的轨迹就是以B为圆心

20、，BA为半径的一个圆,那D点是什么呢？留给大家思考一下【思考3如图：已知，四边形ABCD中，ADBC,DCBC,已知AB=5,BC=6,cosB=.点O为BC边上的一个动点，连结OD,以O为心，BO为半径的。O分别交边AB于点P,交线段OD于点M,交射线BC于点N,连结MN.(1)当BO=AD时，求BP的长；(2)点O运动的过程中，是否存在BP=MN的情况？若存在，请求出当BO为多长时BP=MN；若不存在，请说明理由;(3)在点O运动的过程中，以点C为圆心,cn为半径例 j请直接写出当份e存在时,0O与。翼关系，以及相应的。c半径Rr幺田CN的取值范围。【思路分析）这道题和其他题目不同点在于本

21、题牵扯到了有关圆的动点问题。在和圆有关的问题当中，时刻不要忘记的就是圆的半径始终相等这一个隐藏的静态条件。本题第一问比较简单，等腰梯形中的计算问题。第二问则需要用设元的方法表示出MN和BP,从而讨论他们的数量关系。第三问的猜想一定要记得分类分情况讨论。【思考4】在ABCD中，过点C作CELCD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转9。得到线段EF（如图1）(1)在图1中画图探究:当P为射线CD上任意一点(Pi不与C重合)时，连结EPi绕点E逆时针旋转9。得到线段EG.判断直线FCi与直线CD的位置关系，并加以证明;当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连结EP为将线段EP2绕点E逆时针旋转9

22、0得到线段EC2.判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.若AD=6,tanB=3AE=l,在的条件下，设CP1=X,SAP,FC=y,求y与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.【思路分析】本题是去年中考原题，虽不是压轴,但动点动线一起考出来，难倒了不少同学。事实上就在于如何把握这个旋转90的条件。旋转90自然就是垂直关系，于是又出现了一堆直角三角形，于是证角，证线就手到擒来了。第二问一样是利用平行关系建立函数式，但是实际过程中很多同学依然忘记分类讨论的思想，漏掉了很多种情况，失分非常可惜。建议大家仔细研究这道中考原题，按照上面总结的一般思路去拆分条件，步步为营

23、的去解答。第三部分思考题解析【思考1解析】(1)证明：DELEC9/.ZDEC=90/ZAE)+ZBEC=90.又二ZA=ZB=90,/ZAED+ZEDA=90.，ZBEC=AEDA.，A4DESEC.（2）证明：如图，过点E作EAV E是A3的中点，容易证明 B在 RfADEC 中，：DF = CF ,笛9R1EF=-CD.2 11 -(AD+BC)=-CD22，AD+BC=CD.(3)解：AAKO的周长=A+AO+OE=a+”BE=a-m.设AO=x,则。石=4-工.ZA=90,DE1=AE2+AD2.BPa2-lax4-a2=m2+x2.2*a一厂x-la由(1)知A4DESmeC9tr-nrA4)E的周长_AD_2a_a+mABEC的周长BEa-m*，ABEC的周长=23祉的周长二%.a+inBEC的周长与加值无关.【思考2答案】解：(1)NBPD=30；(2)如图8,连结C解一：；点O在NP8C的平分线上，AZ1=Z2.VAAKC是等边三角形，:.ba=bc=ac9z