高三数学平面向量一轮复习

1、向量一.知识清单向量有关概念1 .有向线段：叫做有向线段，它包含三个要素2 .向量：叫做向量3 .向量的长度（或模）：就是此向量的长度uur、r4 .向量的表布：表不向量，如AB或ar5 .零向量：叫做零向量，记作06 .单位向量：叫做单位向量7 .平行向量：叫做平行向量（也叫做共线向量）。如向量a与b平行（或rr共线），记作ab8.相等向量:叫做相等向量。如果向量a与b相等，记作a=b二.基础训练1 .在下列各命题中，真命题为（）A两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同B模为0的向量与任一向量平行C向量就是有向线段da=b是ab的必要不充分条件2 .下列命题中，假命题是（）uuiruur向

2、量AB与向量BA长度相等B两个相等向量若起点相同，则终点必相同C只有零向量的模等于0D共线的单位向量相等3 .已知下列命题：a=b,b=c,则a=c;若a中命题正确的序号是（A B4.在四边形ABCD43, C uru uur uuirAB DC ,且 AB D uuurAD ,则四边形ABCD三.强化训练D5.如图,DE、F分别是ABC的三边BGCA和AB的中点，试写出:uur（1）与EF平行的向量;uur（2）与EF相等的向量;1 .下列说法正确的是（）A方向相同或相反的向量是平行向量B零向量的长度是0C长度相等的向量叫相等向量D共线向量是在一条直线上的向量2 .下列命题中，真命题的个数为

3、（4rr,r,r,r若ab,则a=b或a=uurumr若ABDC,则A、B、GD是一个平行四边形的四个顶点一rrrrrr右a=b,bc,贝Ua=crrrrrr若ab,bc,则acA4B3C2D13 .下列命题，正确的是（rrrrCaba/brrDa0a02个交4 .如图，ABC皿边厂为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取点组成向量，则与uuurAC平行且长度为2 J2的向量个数是向量的加法与减法一.知识清单1.向量加法的定义已知向量a、b,在平面内任取一点与b的和，记作，既a+b=uuuuurA作ABa,BCb,则向量uur=AC,如图叫做a求两个向量和的运算，叫做。对于零向量

4、与任一向量a,任然有0+a=a+0=向量加法有法则与法瓦(1)向量加法的三角形法则根据向量加法的定义求向量的方法,叫向量加法的三角形法则,使用三角形法则特别要注,则由第一个向量的起点指uuu uuu uuua= AB ,b= BC ,c= CD 则意“首尾相接”，具体做法是：把用小写字母表示的向量，用两个大写字母表示(其中后面向量的起点与前一个向量的终点重合，既用同一个字母来表示)向最后一个向量终点的有向线段就表示这些向量的和。如uuuiunruuinuuura+b+c=ABBCCDAD。(2)向量加法的平行四边形法则向量加法还可以用平行四边形法则：先把两个已知向量的起点以这两个已知向量为作平

5、行四边形，则是这两个已知向量的和。以点A为起点作向量则以A为起点的对角线uuruuuruABa，ADAC就是a与b的和，记作a+b=AC向量的加法满足交换律、结合律(1)交换律：(2)结合律：以上运算对多个向量也是成立的到同一点，再b,以ARAD为邻边作YABCDuuiT2.向量的减法1.相反向量：与a的向量，叫做a的相反向量，记作。零向量的相反向量仍是。2.向量的减法：向量a加上向量b的,叫做a与b的差,记作：a-b。求两个向量差的运算2叫做uuu图，在平面内任取一点O,彳OAaa-b可以表示为从向量。已知a、b,如uuuOBb,则=a-b,既的终点指向向量的终点的向量，如图。(1)(2)(

6、3)(4)-(-a)=a;a+(-a)=(-a)+a=0a、b为相反向量，贝Ua=-b,b=-a,a+b=0;差向量是由减向量的终点指向被减向量的终点。二.基础训练uuuuuuuuruuuuuruuruur1.化简以下各式:uuuuuruur1)ABBCCA；(2)ABACBDCD；(3)OAODADuuuruuruuuuuuur(4)NQQPMNMP,结果为零向量的个数是()3.两个向量的和与差仍是A1B2C3uuu2.已知ABuiur8,ACuur5,则BC的取值范围是uuuuuuuuur3.在如图所示的四边形ABCD,设ABa,ADb,则DC等于4.设a、b是非零向量，则Aa、b方向相同

7、Ba、Ca=bb忖lbb方向相反b”成立的充要条件是5.在矩形UUTABCD43,ABuurBCUUTULUT1,则向量(ABADuurAC)6.如图UUUU1OM-2M是线段ABUUTUUU(OAOB)成立。,求证：对于任意一点O,7.在平行四边形ABCD43,若uuuABULUTTAD0ABCD是矩形BDABCD三.强化训练1.在四边形ABCD43,uurACuuuABUUUTADuuruilTABulutAB0或AD0是正方形iuurAD,则必有(TuujrAD，试判断四边形的形状UUUuurUUITuuuLUITAABDCBADABuuuACUULTUULTuurUUTTCABADBD

8、DADCB0ABCD43,卜列结论中错误的是(2.如图，在四边形3.在YABC中,uuuu点，则MNuurABa,UULTADb,uurANUULT3NC,M为BC的中(用a,b表不)。4.如图所示，D是uuriuiuABC-BAABC的边AB上的中点,则向量UUUCD等于(2uuurCBCuuriuiuBC-BA1um-BA2uurBC21uur-BA25.给出下列命题：(2)ABC中,四边形的充要条件(1)若向LUU必有ABluut是ABa与b平行,uuuBCuuirDC;uuuCA则a与b方向相反或者相同；T0;(3)四边形ABC皿平行b之一方向相同。其中正确的是(A(1)(2)B(3)

9、(4)的长度等于)(4)若非零向量a与b的方向相同或相反，则a+a-b与a、)C(1)(4)D(2)(3)实数与向量的积一.知识清单1 .实数与向量的积的定义实数与向量a的积是一个向量，记作,它的长度与方向规定如下：(1) ；(2)当0时，a的方向与a的方向;当0时，a的方向与a的方向;0时，a=。2 .实数与向量的积的运算律：设R,则r(1) (a);(2) ()a=;(3) (a+b)=;3 .两个向量共线的充要条件向量b与非零向量a共线的充要条件是,使得b=a4 .平面向量基本定理如果e,是同一平面内两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a,，使得a但2牝5 .基底用来表示某一平面

10、内任一向量的一对不共线的向量，叫做。6 .三点共线的充要条件uuuuuuuuuuuuOA,OB不共线，三点A日P共线的充要条件是APtAB(tR)二.基础训练1已知a=6|e2,b=2e(e2,则向量a+2b与2a-b()A一定共线B一定不共线C仅当e与e2共线时共线D以上均不成立2.在YABCD,AC与BD交于点M,uur若设ABuuurADb,则下列选项中与相等的向量是(uuurAMA)uuuMBuuurMCuuuuMD3.设四边形ABCD43,uuurDC1uur1AB,且uuurADA平行四边形2矩形CuuirBC,则这个四边形是(等腰梯形D菱形4.已知向量e,e2不共线,值等于()实

11、数x,y满足(3x4y)e(2x3y)为6e3e2,则x-y的A3B-3C05.若M是ABC的重心，则下列各向量中与uuuAB共线的是（uuruuruurAABBCACBuuuuuuiruuinAMMBBCuuruuuuuuurCAMBMCMDmuur3AMAC6.若a3,b与a的方向相反，且b5,则a=b7.已知向量Q,e2不共线uuruuruur(1)若ABee2,BC2e8e2,CD3e3e2,求证A、B、D三点共线;（2）向量ee2与e共线，求实数的值三.强化训练uur1.已知向量a、b且ABuura+2b,BCuur5a+6b,CD7a2b,则一定共线的三点是（、B、DBA、B、CC

12、C、B、DDA、CDuur2.如图D是ABC的边AB上的中点，则向量CD（uuirABCuurCBC3.如图，在1uuuBAB21uur-BAD2uuuABC中，OAuuriuiuBCBA2uuriuuuBCBA2uuua,OBb,M为OB的中点，N为A2121a-bB-ab3333C1212-abD-ab3333uurAB的中点，P为ONAM的交点，则AP等（uur4.如图所示），已知AP4uuu-AB,3uuuOAOuu表示Ouu,则OuuA1uuuOA34uurOB3B1uuuOA34uuuOB3C1uuuOA4uuuOBD1uuuOA4uurOB3333用.知识清单1.向量a与b的夹角

13、平面向量的数量积及运算率uuu两个非零向量a和b,作OAuurOBb,则AOB(0°180°)叫做0°时,a与b180°时，a与ba与b垂直如果a与b的夹角是90°,叫做a与b的数量积两个非零向量a和b,它们的夹角为rbc°so规定：零向量与任一向量的数量积为0。两个向量的数量积是一个量，这个量的大小与两个向量的长度及其夹角有关。4.向量b在a方向上的投影若向量a与b的夹角是叫做向量b在a方向上的投影。当为角时，它是正值；当为角时，它是负值；当时,时，它是二.基础训练r1.已知brr3,a在b方向上的投影是2.在边长为2的等边三角形A

14、BC中,uuuABuuuBC的值是LU3.已知a6,a与b的夹角为一，372,ra、rb是夹角为60°的单位向量,rb的夹角为uuuABuuuruuu2BCAB0,则三角形为三角形。LUrr7.若向量a、b、rrrruuc满足a+b+c=0,且a3三.强化训练r rur已知向量a与b的夹角为120°, arr_.r3,abJ13,则b等于rrur已知向量a、b满足a3.若：与bC都是非零向量，则(bC)”的(A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件uuuuuruuurab4.已知非零向量AB与AC满足-Au-ABuuuruuuuuurACuu

15、r0且ABAC1ruutrrBC-uuu-Tuttrr一,则三角形lACIABlACI2直角三角形等边三角形ABC为（）A三边不相等的三角形BC等腰非等边三角形D5.如图所示，已知正六边形umrumuAPP2PP3umruuldBPP2PP4umrututCPP2PP5umrututDPP2PP6PP2P3区已己，下列向量的数量积最大的是（）PlP2平面向量的坐标运算.知识清单1 .向量的坐标运算在直角坐标系内，分别取与x轴、y轴i、j作为基底，对于任一向量a,有且只有一对实数x、y,使得a=xi+yj,我们把x,y叫做向量a的(直角)坐标，记作a=x,y,其中x叫做,y叫做。2 .平面向量的

16、坐标运算设a=为，必，b=%,y2，则(1)a+b=;(2)ab=;(3)a=;3 .向量平行的坐标表示设向量a=x1,y1,b=x2,y2，且b。，则ab的充要条件是4 .向量的坐标与点的坐标间的关系uuruuu(1)若点A的坐标为Ax,y,则向量OA的坐标为OA=x,y。其中o为原点，也就是说，点A的坐标等于。因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用唯一表示。uuu(2)若点Ax1,y1,bx2,y2,则AB=,既一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的的坐标减去的坐标。二.基础训练1. a=2,3,b=1,5，贝U3a+b=2 .已知A、B、C三点共线，且A3,6,B5,2,若C

17、点的横坐标为6,则C点的纵坐标是3 .设向量a=1,3,b=2,4,c=1,2,若表示向量4a、4b2c、2(ac)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d的坐标为4.已知a=1,1,b=2,y，且2a+2b与a2b平行，则y等于5 .设 a= ，sin , b= cos 26 .已知YABCD勺对角线交于O,且7 .设A、B、C、D四点坐标依次为()A正方形B矩形三.强化训练uuuuuiruuur1 .已知OA (k,12), OB(4,5),OCuur uuuAD 3,7 ,ABuuu2,1，求OB的坐标1,0、 0,2、 4,3、 3,1 ,则四边形 ABCMC 菱形D平行四边形(k

18、,10),且A、B、C三点共线，则 k且 a b 贝U tan2.（已知向量a=3,4,b=sin,cos3.设向量a=1,3,b=2,4。若表示向量4a、3b2a、c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为uuuu4 .已知点A1,5和向量a=2,3,若AB3a,则点B的坐标为5 .已知向量a=1,2,b=2,3,c=3,4，且c=1a+2b,则1、2的值分别为。平面向量数量积的坐标运算1 .两个向量数量积的坐标表不rrrr设a(Xi,y),b(X2,yj,则ab=2 .向量的长度rur设a(x,y),则a3 .平面上两点距离公式uuu设A(x,yi),B(X2,y2),则AB=4 .两个

19、非零向量垂直的条件rr设a(xq),b(X2,y2)，则r注意：若i是x轴上的单位向量,rj是y轴上的单位向量,rrrr,ji=,jj=二.基础训练rrrr1 .若a(4,3),向量b是垂直于a的单位向量，则b等于rrrr2 .若a(2,3),b(4,7),则a在b的方向上的投影为r(3,4), b(2, 1),如果向量a + x b与rb垂直，则x的值为4.已知 A(3,1), B(6,1),C(4,3) , D为线段BC的中点，则向量ULUTuurAC与DA的夹角为5.已知 A(1,2), B(4,0), C(8,6),D(5,8)四点，则四边形 ABCD是r(1,sin ) ， br r

20、(1,cos )，则a b的最大值为 r _7.已知A,B,C是三角形ABC三内角，向量a （ 1,J3）r r(cosA,sin A),且 a b =三.强化训练(73,1),rb是不平行于x轴的单位向量，且(1,2)(2, 4), C 非，若（a+ b）1¥，7）的夹角相等，且模为1的向量是ABC 中,uuu90°, ABuuur(k,1),AC(2,3),则k的值是(sin,1)，rb (1,cos )(1)若(2)求rb的最大值6.在直角坐标系xOy中，已知点P(2cosx1,2cos2x2)和点Q(cosx,1),其中uuruuuux0,若向量OP与OQ垂直，求x的值平移一.基础知识1 .图形的平移设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有点按照同一方向，移动同样长度，得到图形F的过程叫做。2 .点的平移设P(x,y)是图形F上的任意一点，它在平移后图形F'上的对应点为P'(x',yj,且设uuuPP'的坐标为(h