导数难题(含答案)

1、、单项选择题1. 可导函数f x的导函数为f' x , f 02022，假设对任意的x R，都有f x f' x ,那么不等式f x 2022ex的解集为11A. 0,B. 2,C. ,D. ,0ee2. 定义在R上的偶函数f x的导函数为f x，且当x 0,xf x 2f x 0.那么丨f e f 2f e f 3f e f 2A.2B. 9f3 f 1C.2D.24e9e4e3.fx为定义在0,上的可导函数，且f xxf' x恒成立，2 1那么不等式x f -f x 0x的解集为【: A. 1,B.,1C. 2,D.,2、解答题4 .函数f xax2 Inx a R

2、1讨论f x的单调性;2假设存在x 1,f x a，求a的取值范围5 设函数 f xx2 ax 2 x2 x lnx 1当 a 2时，讨论函数 f x 的单调性；2假设x 0, 时，f x 0恒成立，求整数a的最小值.1 a6.函数 f x x alnx, g xa R .x假设a 1，求函数f x的极值；设函数h x f x g x，求函数h x的单调区间；假设在区间1,e e 2.71828 上不存在x°，使得f怡 g x0成立，求实数a的取值范围7函数 f x 1当 a 0时， 2假设函数 fx a lnx,a R .求函数 f x 的极小值；x在0, 上为增函数，求a的取值范

3、围8函数 f x2xx ax a e 1讨论f x的单调性;求m的取值2假设a 0,2 ,对于任意捲必 4,0 ,都有f X!f x24e 2 mea恒成立,范围参考答1. A【解析】令g x因此 f x2022ex0,g 020222022g x -,g 0x 0，选 A.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造构造f x辅助函数常根据导数法那么进行：如fx f x构造g x ， f x f x 0构造exf xg x e f x ， xf x f x 构造 g x， xf x f x 0 构造 g x xf x 等x2. D【解析】根据题意，设

4、g X=x2f X，其导数 g'x=x2 丨f x+x2?fx=2xf x+x2?fx=x2fx+xfx, 又由当 x > 0 时，有 2fx+xfx<0 成立，那么数 g'x=x2f x+xf x<0 ,那么函数g乂在0 , +上为减函数，假设 gx=x2fx，且 fx为偶函数，贝V g-x=-x2f-x=x2fx=gxf e f 2即g x为偶函数，所以g e g 2 即厂 因为f x为偶函数，所以f 2 f 24 ef e f 2所以4 e2应选D点睛：此题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及函数的奇偶性与单调性的应用，关键是构造函数gx并分析g x的

5、单调性与奇偶性.3. Af xxf x f x【解析】令g x，那么gx2xxf xxf xxfx f xxf xf x0，即 卩 g x0在0,上恒成立xg x在0,上单调递减2 1 x ff x0x上1fxf x刚1，即 g - gx1xx 1 x，即 x 1 x应选A点睛：此题首先需结合条件构造函数，然后考查利用导数判断函数的单调性，再由函数的单调性和 函数值的大小关系，判断自变量的大小关系1 14. 1f x在0-上递增，在， 上递减 ；2屆屆【解析】试题分析:对函数f x求导，再根据 a分类讨论，即可求出f x的单调性；2丨将f x a化简得Inx0 ,再根据定义域x 1,，对a分类

6、讨论，a 0时，满足题意,a 0时，构造gInx，求出g x的单调性，可得 g x的最大值，即可求出 a的取值范围试题解析：1f2a1 2ax20时,所以fx在0,上递增,0时，令f x_1_2a0，得x1°，亦；令f x10 ,得 x一:J2a所以102a1上递增，在亠辰'2得a x21 Inx 0 ,因为x1, ，所以 Inx 0,x21 0 ,0时,1 Inx0满足题意,1当a 时，设g x22a x 1 Inx(x 1), g x2 ax2 1x所以g x在1,上递增，所以g xg 10，不合题意,11当0 a 时，令g x 0,得x2V2a1，令 g x 0,得 1

7、,V2a所以gmaxg 10，那么 x 1,g x 0 ,综上，a的取值范围是点睛：此题考查函数的单调性及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题处理导数大题时，注意分层得分的原那么一般涉及求函数单调性时，比拟容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要别离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数 问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比拟多，需要多加体会5. (1) fX递增区间为0,1， 1 , +X，递减区间为丄，1；(2)1.2 2【解析】试题分析：1求出函数fx的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；

8、2问题转化为a>x-2 x-1lnx恒成立，令g x=x-2 x-1Inx，根据函数的单调性求出a的最小值即可.试题解析:1由题意可得f x的定义域为0，+8，当 a=2 时，f x= - x2+2x+2 x2 - xInx，丄所以 f 'x= - 2x+2+22x - 1Inx+2 x2 - x？> =4x - 2Inx，由 f x> 0 可得：4x - 2Inx > 0，r4x-2<0或lnx<0£解得 x> 1 或 0 vx< '由 f x< 0 可得：4x - 2Inx < 0，r 4x-2>0

9、4x-2<0所以lLnx<0 或Lnx>0£解得: x V 1 .综上可知：fX递增区间为0 , 2， 1 , +8，递减区间为2,1.2丨假设x 0 , +8时，fx 0恒成立，即 a > x - 2 x - 1lnx 恒成立,令 g x=x - 2 x - 1lnx，贝U a > g xmax因为 g'x=1 - 2Inx+ 瓦=-2lnx - 1+ x ,所以 g'x在0 , +8上是减函数，且 g' 1 0 , g' 2 0 , 故存在x0 1 , 2丨使得gx在0 , X0丨上为增函数，在X0 , + 8上是减函

10、数,二 x=x 0 时，g xmax =g X00, a 0 ,又因为 a Z，所以 amin =1 .点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：1根据参变别离，转化为不含参数的函数的最值问题；2假设f x0就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为f x假设f x0恒成立，转化为f x 0；max3假设f X g X恒成立，可转化为fxming x max6. 1极小值为1 ; 2见解析3e2 1e 1【解析】试题分析：1先求导数，再求导函数零点，列表分析导数符号，确定极值2先求导数,导函数零点，讨论1a与零大小，最后根据导数符号确定函数单调性3正难那么反，先求存在一点求X0

11、,使得f xog xo成立时实数a的取值范围，由存在性问题转化为对应函数最值问题，结合性可得实数a的取值范围，最后取补集得结果2单调试题解析：解：I丨当a 1时,x x InxII当当 hIIIx在0,1上递减，在1h x x alnx1时,1时,在0,1先解区间由IIh' xh' x0,a上递减，在当a1时,当a1时,0时,hminhnin上递增， f x的极小值为f 1x 1，列极值分布表1;h' x在0,上递增;1 a,上递增;1,e上存在一点x0,使得f X。g X。成立g x 0在1,e上有解 当x 1,e时，h xh x在1,e上递增，hminh x在0,1

12、a上递减，在 1h x在1,e上递增,hminmina,1时，h1时,上递增02 a 22 a无解x在1,e上递减h x 在 1,12 a aln 1a：e2a上递减,在1 a,e上递增综上：存在一点Xo,使得f Xog Xo成立，实数a的取值范围为:e2 1e 12 aal n 1 a221令Fa1In 1 a，那么 F ' a20aaa1 aF a在0,e 1递减，F aF e 120 ,Fa 0无解,e 1即 hmin2 a al n 1 a0无解；所以不存在一点Xo，使得f x0g x0成立，实数a的取值范围为点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即

13、转化为方程或不等式解的 问题有解，恒成立，无解等，而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量别离转化为对应函数 最值问题.7. 112ef ' x 0，解出x的值，利用导【解析】试题分析：1当a 0时，得出函数的解析式，求导数，令数值的正负来求其单调区间进而求得极小值;2求出f' X，由于函数f x在0, 是增函数，转化为 f ' x 0对任意x 0,恒成立,分类参数，利用导数 g x xlnx x的最小值，即可求实数 a的取值范围.试题解析：1定义域为 0,当a0 时，f xxlnx , f' x Inx 1 .令f'x 0 ,得 x1 e当x0,1

14、 时，ef' x 0 , f x为减函数；当x，时，f ' x 0, f x为增函数1所以函数f x的极小值是f -e2由得f' x因为函数f x在0,是增函数，所以f' x 0对任意x 0,恒成立,0 得 Inx 0，即xlnx x a对任意的x0,恒成立.xlnx x，要使"xlnxx a对任意x0,恒成立，只要ag x min1因为g' x Inx 2,令g' x 0，得x冷. e1当x 0,y时，g' x 0 , g x为减函数； e1当x , 时，g' x 0, g x为增函数.e1所以g x的最小值是g -1

15、e故函数f x在0,是增函数时，实数 a的取值范围是点睛：此题主要考查了导数在函数中的综合应用，解答中涉及到利用导数求解函数的单调区间，禾U用导 数求解函数的极值与最值等知识点的综合应用，这属于教学的重点和难点，应熟练掌握，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中把函数f x在0,是增函数，所以f' x 0对任意x 0, 恒成立是解答的关键.& 1见解析；2me3【解析】试题分析：1求出f ' X ,分三种情况讨论，分别令f' x0求得x的范围，可得函数f x增区间，f' x0求得x的范围，可得函数 f x的减区间；2由1知,所以f Xmaxf2a 4 e2,f 43a+16 e4a f 0f x1 f x24e 2 mea恒成立，即a e 222a1 4e 4e me恒成立，即m立，利用导数研究函数的单调性，求出1的最大值，即可得结果试题解析: