1671年,两个法国天文学家经过长时间的思考,提出了一种测

1、1671年，两个法国天文学家经过长时间的思考，提出了一种测量地月距离的方法，并首次测出了地月距离大约为385400km，大家想知道他们当时是怎样测出这个距离的吗？第一章 解三角形人教A版 数学 必修五 1.怎样在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离？ 2.怎样测量底部不可到达的建筑物的高度？ 3.怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度？ 4.怎样测出海上航行的轮船的航速和航向？第一章 解三角形1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理（第一课时）CBca(1)AAABBCCaacc(2)(3)AC, acA=C, a=cAC, ac在RtABC中，C=90, 设BC=a, AC=

2、b, AB=c,根据锐角三角函数中，正弦函数的定义:sin A sin B ABCabc,sinsinabccABcCcBbAasinsinsinsinsinabcABbcacBACDab过C作AB边上的高CD交AB于D,则 CD=bsinA, CD=asinB.bsinA=asinB.sinsinabAB（图一）sinccCBACDab过C作AB边上的高CD，交AB于D,则 CD=bsinA, CD=asinB. bsinA=asinB.CcBbAasinsinsinCcAasinsin（图二）在图二中，当ABC为锐角三角形时，BbAasinsin同理BACDab （图三）过C作AB边上的高

3、CD，交AB的延长线于D,则 CD=bsinA, CD=asin(-B)=asinB. bsinA=asinB.CcBbAasinsinsinCcAasinsin在图三中，当ABC为钝角三角形时，不妨设B为钝角，BbAasinsin同理综上所述，在任意三角形中，都有 .CcBbAasinsinsin 变式为 a：b：c=sinA：sinB：sinC实质：在任意三角形中，边长与它的对角的正弦成正比。这就是正弦定理正弦定理。ABCABCjjaabb.AABj 如图，过 作与垂直的单位向量22cos()cos()sinAC jbAbAbA 则(或jBCjBCjBCjABjBCABjAC0)(22co

4、s()cos()sinaBaBaB（或BaAbsinsinBbAasinsin即.sinsinsinCcBbAa由对称性有：ABCjab回到C为直角的直角三角形中，我们得到的结论是：cCcBbAasinsinsin 在一般的三角形中，我们猜想：?sinsinsinabcABC=2RBACABCABC(1)(2)(3)先证先证 ，RCc2sin（1）C为直角；为直角； 分三种情况讨论：分三种情况讨论：（3）C为钝角。为钝角。（2）C为锐角；为锐角；O2RABC.图（图（1 1）中，）中，sinC=sin90sinC=sin90=1.=1.1222RRRcRCc2sin(1)2sincRC图（图（

5、2)2)中，中，为同弧角）与CC(2sinsinRCcCcABCCO.2Rc(2)2sincRCc2RCO.BAC(3)图（图（3 3）中，）中，互补）与CC(2sin)sin(sinRCcCcCc2sincRCABC（1）C为直角；为直角；（3）C为钝角。为钝角。（2）C为锐角；为锐角；综上所述：综上所述：RCc2sin2sinsinsinabcRABC2 ,sinaRA2sinbRB同理同理故故ABCCO.2Rcc2RCO.BACO2R正弦定理指出了任意三角形中边正弦定理指出了任意三角形中边长与对应角的正弦之间的一个关长与对应角的正弦之间的一个关系式，描述了任意三角形中边系式，描述了任意三

6、角形中边与角的一种与角的一种确定的数量关系确定的数量关系，因，因此我们对三角形中的边角关系的此我们对三角形中的边角关系的认识，完成了从定性分析到定量认识，完成了从定性分析到定量分析的过程，是认识的一次飞跃。分析的过程，是认识的一次飞跃。 一般地，把三角形的三个角一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边长和它们的对边长a,b,c叫做三角形叫做三角形的的元素元素，已知三角形的几个元素求，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做其他元素的过程叫做解三角形解三角形。例：在三角形ABC中，求证：sinsinAB证明：sinsinABAB22abRRABab小结：一.知识小结(1)本节课我们从直角三角形入手，采取分类讨论的方法探究并证明了正弦定理正弦定理： (2)进一步用向量方法进行了证明. (3)进而从直角三角形出发，用三角形的外接圆证明了这个比值为常数2R.（R是三角形的外接圆的半径）.完成了对三角形边角关系从定性分析到定量分析的飞跃. (4)初步应用正弦定理解决三角形中