待定系数法推荐（课堂PPT）

1、1 我们常用我们常用xy等一些字母来表示变量，等一些字母来表示变量，abck来来表示常量，但是一些情况下，常量的值未知，我表示常量，但是一些情况下，常量的值未知，我们需要根据条件求出们需要根据条件求出abck等常量的值来确定函数等常量的值来确定函数表达式。这就是我们今天要学习的内容：表达式。这就是我们今天要学习的内容：2Oyx3 1掌握常用函数的表达式掌握常用函数的表达式; 2. 能够根据题目中的条件选择合适的表达式；能够根据题目中的条件选择合适的表达式； 3.能够体会题目中在暗含的条件。能够体会题目中在暗含的条件。41能够从能够从i的条件中选择合适的表达式，并能的条件中选择合适的表达式，并能

2、代入条件解出确切的表达式。代入条件解出确切的表达式。 2.能够从实际问题中抽象弧已知条件，并根据能够从实际问题中抽象弧已知条件，并根据条件选择合适的表达式。条件选择合适的表达式。51经历和体验数学活动的过程以及数学在现经历和体验数学活动的过程以及数学在现实生活中的应用，树立学好数学的信心。实生活中的应用，树立学好数学的信心。 2. 从实际中出发，根据实际问题抽象成简单从实际中出发，根据实际问题抽象成简单的函数问题，并能选择合适的表达式，将事件描的函数问题，并能选择合适的表达式，将事件描述出来。述出来。61各种表达式的一般写法。各种表达式的一般写法。 2. 待定系数法的一半步骤。待定系数法的一半

3、步骤。 根据条件合理的选择表达式。根据条件合理的选择表达式。7 一般地，在求一个函数时，如果知道这一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可以先把所求函数写成个函数的一般形式，可以先把所求函数写成一般形式，其中系数待定，然后根据题设条一般形式，其中系数待定，然后根据题设条件求出这些待定系数。这种通求待定系数来件求出这些待定系数。这种通求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法。确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法。81. 1.正比例函数正比例函数正比例函数的函数表达式为：正比例函数的函数表达式为：y=kx。其中待定系数为其中待定系数为k。 正比例函数的待定系数只有一正比例

4、函数的待定系数只有一个，因此只需列一个方程便可将个，因此只需列一个方程便可将k求出，即只需要一个点就能确定函求出，即只需要一个点就能确定函数表达式。数表达式。Oyx9 已知，一个正比例函数的图象经过点（已知，一个正比例函数的图象经过点（3 3，- -7 7），求出函数的表达式。），求出函数的表达式。设：正比例函数的表达式为设：正比例函数的表达式为y=kx （3，-7）在函数的图像上，因此满足：）在函数的图像上，因此满足： -7=k3 解得解得k= ， 因此函数的表达式为因此函数的表达式为y= x。3737102. 2.反比例函数反比例函数 同正比例函数一样反比例函数同正比例函数一样反比例函数的

5、待定系数只有一个，因此只需列的待定系数只有一个，因此只需列一个方程便可将一个方程便可将k求出，即只需要求出，即只需要一个点就能确定函数表达式。一个点就能确定函数表达式。反比例函数的函数表达式为：反比例函数的函数表达式为： 。其中待定系数为其中待定系数为k。xky Oyx11 已知，一个反比例函数的图象经过点（已知，一个反比例函数的图象经过点（2 2，6 6），求出函数的表达式。），求出函数的表达式。设：正比例函数的表达式为设：正比例函数的表达式为 （2，6）在函数的图像上，因此满足：）在函数的图像上，因此满足： 解得解得k=3 ， 因此函数的表达式为因此函数的表达式为 。xky 26kxy31

6、23. 3. 一次函数一次函数一次函数的函数表达式为：一次函数的函数表达式为：y=kx+b (k0)，其中待定系数为其中待定系数为k、b。 一次函数的待定系数有两个：一次函数的待定系数有两个：k、b，因此需要列两个方程才能，因此需要列两个方程才能可将可将k、b的值求出，即需要两个的值求出，即需要两个点才能确定函数表达式。点才能确定函数表达式。xOy13 已知，一个正比例函数的图象经过点（已知，一个正比例函数的图象经过点（-1-1， 6 6）(3,-2)(3,-2)，求出函数的表达式。，求出函数的表达式。设：正比例函数的表达式为设：正比例函数的表达式为y=kx+b; （2，6）、（）、（-3，4

7、）在函数的图像上，因此）在函数的图像上，因此 满足：满足： 6=-k+b; -2=3k+b;解得解得:k=-2,b=4， 因此函数的表达式为因此函数的表达式为y= -2x+4.144. 4. 二次函数二次函数二次函数的函数表达式为：二次函数的函数表达式为：y=ax2+bx+c (k0)，其中待定系数为其中待定系数为a、b、c。 二次函数的待定系数有三个：二次函数的待定系数有三个：a、b、c，因此需要列三个方程才，因此需要列三个方程才能可将能可将a、b、c的值求出，即需要的值求出，即需要三个点才能确定函数表达式。三个点才能确定函数表达式。Oyx15一般式：一般式：y=axy=ax2 2+bx+c

8、+bx+c 主要是给定任意毫无联系的三个点；主要是给定任意毫无联系的三个点；交点式：交点式：y=a(x-xy=a(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2) ) 主要是给定与下周的交点，及另外一点；主要是给定与下周的交点，及另外一点；顶点式：顶点式：y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k+k 主要是给定顶点的坐标，或对称轴及另外主要是给定顶点的坐标，或对称轴及另外一点，或者给定对称两点求出对称轴；一点，或者给定对称两点求出对称轴； 二次函数可以写成不同的形式，在应用二次函数可以写成不同的形式，在应用时根据不同形式选取简单的方法。时根据不同形式选取简单的方法。16解：解：设所求的二次函数为设所

9、求的二次函数为y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c将已知点代入将已知点代入函数式得：函数式得：a-b+c=10a-b+c=10a+b+c=4a+b+c=44a+2b+c=74a+2b+c=7解方程得：解方程得： a=2, b=-3, c=5因此：所求二次函数是：因此：所求二次函数是： y=2x2-3x+5 已知一个二次函数的图象过点（已知一个二次函数的图象过点（1,10）、）、（1,4）、（）、（2,7）三点，求这个函数的解析式？）三点，求这个函数的解析式？oxy17解：题目中给出了函数与解：题目中给出了函数与x x轴的两个焦点，因此轴的两个焦点，因此 解题时采用两点式：解题时采用两点式

10、：y=a(xy=a(x1)(x1)(x1 1），），点点M( 0,1 )M( 0,1 )在抛物线上，代入上式，在抛物线上，代入上式，得：得： a=-1a=-1故所求的抛物线解析式为故所求的抛物线解析式为y=-(xy=-(x1)(x-1)1)(x-1)化简为：化简为：y=y=x x2 2+1+1 已知抛物线与已知抛物线与X轴交于轴交于A（1，0），），B（1,0）并经过点并经过点M（0,1），求抛物线的解析式？），求抛物线的解析式？xyo18 已知抛物线的顶点为（已知抛物线的顶点为（1，3），与轴），与轴交点为（交点为（0，5）求抛物线的解析式？）求抛物线的解析式？yox分析分析 函数给出了顶点

11、，函数给出了顶点，h h、k k都可都可以确定，在定点给出的同时，也以确定，在定点给出的同时，也给出了函数的对称轴，因此我们给出了函数的对称轴，因此我们只需再知道另外一点就能确定函只需再知道另外一点就能确定函数的表达式。数的表达式。19解：解： 设所求的二次函数给定了二次函数的顶点，设所求的二次函数给定了二次函数的顶点，将顶点代入函数式内，则将顶点代入函数式内，则y=a(xy=a(x1)1)2 2-3-3，点点( 0,-5 )( 0,-5 )在抛物线上，代入，在抛物线上，代入，解得：解得：a=-2a=-2，所求的抛物线解析式为：所求的抛物线解析式为：y=y=2(x2(x1)1)2 2-3 -3

12、 化简为：化简为：y=y=2x2x2 2-4x-4x5 520 有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为最大高度为16m16m，跨度为，跨度为40m40m现把它的图形放现把它的图形放在坐标系里在坐标系里( (如图所示如图所示) )，求抛物线的解析式，求抛物线的解析式 利用二次函数解决实际问利用二次函数解决实际问题时，一般要根据实际情况选题时，一般要根据实际情况选取坐标，确定点的位置，坐标取坐标，确定点的位置，坐标的选取应使计算简便为好。的选取应使计算简便为好。21解：设抛物线的解析式为解：设抛物线的解析式为y=axy=ax2 2bxbxc c，根据题意

13、可知抛物线经过根据题意可知抛物线经过(0(0，0)0)，(20(20，16)16)和和(40(40，0)0)三点三点 可得方程组：可得方程组： c=0400a+20b+c=161600+40b+c=0解得：解得：a= b= c=025185二次函数的解析式为二次函数的解析式为:xxy85251222解：根据图示可以知道抛物线的一个顶点解：根据图示可以知道抛物线的一个顶点是（是（2020，1616）利用顶点式比较简单：设抛）利用顶点式比较简单：设抛物线为物线为y=a(x-20)y=a(x-20)2 21616 抛物线上另外一点抛物线上另外一点(0(0，0)0)在抛物线上，代入在抛物线上，代入公式

14、得：公式得：0=400a+160=400a+16， 可以算出可以算出a=a=所求抛物线解析式为所求抛物线解析式为25116)20(2512xy23 在这道题中我们给定了函数的坐标，但是在这道题中我们给定了函数的坐标，但是选取了不同的方程式来解答，通过这两种方法选取了不同的方程式来解答，通过这两种方法的比较，来说明选取合适函数式的重要性。的比较，来说明选取合适函数式的重要性。 解法一中是利用一般式通过利用给定的条解法一中是利用一般式通过利用给定的条件列出件列出a a、b b、c c的三元一次方程组，求出的三元一次方程组，求出a a、b b、c c的值，从而确定函数的解析式过程较繁杂。的值，从而确

15、定函数的解析式过程较繁杂。 解法二中通过利用条件中的顶点和过原点解法二中通过利用条件中的顶点和过原点选用顶点式求解，方法比较灵活。选用顶点式求解，方法比较灵活。点评点评24 待定系数法的一般步骤待定系数法的一般步骤 1. 1.明确各函数的基本表达式及待定系数：明确各函数的基本表达式及待定系数： 正比例函数：正比例函数：y=kx 待定系数待定系数k； 反比例函数：反比例函数： 待定系数待定系数k； 一次函数：一次函数：y=kx+b 待定系数待定系数k、b； 二次函数：二次函数：y=ax2+bx+c 待定系数待定系数a、b、c； 二次函数：二次函数：y=a(x-x1)(x-x2) 待定系数待定系数

16、a、x1、x2 二次函数：二次函数：y=a(x-h）+k 待定系数待定系数a、h、k。xky 25 2. 2.根据题目所给的信息选择合适的表达根据题目所给的信息选择合适的表达式，将题目中所给出的已知条件代入表达式，式，将题目中所给出的已知条件代入表达式，列出方程或方程组，求出待定系数。列出方程或方程组，求出待定系数。 正比例函数与反比例函数中只有一个待定正比例函数与反比例函数中只有一个待定系数，直接求解即可但是一次函数和二次函数系数，直接求解即可但是一次函数和二次函数的待定系数较多，应根据题目中的条件合理的的待定系数较多，应根据题目中的条件合理的选择表达式。选择表达式。26一次函数函数式的选取

17、已知图象上两点或两对的对应值，已知图象上两点或两对的对应值， 通常选择一般式通常选择一般式y=kx+b y=kx+b 已知图象的任意一点和一截距，已知图象的任意一点和一截距， 通常选择两点式通常选择两点式已知图象与已知图象与x x轴轴y y轴的交点的坐标，轴的交点的坐标， 通常选择截距式通常选择截距式1byax212111xxyyxxyy27已知图象上三点或三对的对应值，已知图象上三点或三对的对应值， 通常选择一般式通常选择一般式y=axy=ax2 2+bx+c +bx+c 已知图象的顶点坐标（对称轴和最值）已知图象的顶点坐标（对称轴和最值） 通常选择顶点式通常选择顶点式y=a(x-h)y=a

18、(x-h)2 2+k +k 已知图象与已知图象与x x轴的两个交点的横轴的两个交点的横x x1 1、x x2 2， 通常选择两根式通常选择两根式y=a(x-xy=a(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2) ) 二次函数函数式的选取28 一般地，在求一个函数时，如果知道这一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可以先把所求函数写成个函数的一般形式，可以先把所求函数写成一般形式，其中系数待定，然后根据题设条一般形式，其中系数待定，然后根据题设条件求出这些待定系数。这种通求待定系数来件求出这些待定系数。这种通求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法。确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法。29 正比例函数：正比例函数：y=kx 待定系