第2章 2.1.3 第2课时

1、第2课时两条直线的垂直学习目标1.理解并掌握两条直线垂直的条件.2.能根据已知条件判断两条直线垂直.3.会利用两直线垂直求参数及直线方程知识点两条直线垂直的判断图示对应关系l1l2(两直线斜率都存在)k1k21l1的斜率不存在，l2的斜率为0l1l21若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直2如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定为1.(×)类型一两条直线垂直关系的判定例1判断下列各组中的直线l1与l2是否垂直：(1)l1经过点A(1，2)，B(1,2)，l2经过点M(2，1)，N(2,1)；(2)l1的斜率为10，l2经过点A(10,2)

2、，B(20,3)；(3)l1经过点A(3,4)，B(3,100)，l2经过点M(10,40)，N(10,40)解(1)直线l1的斜率k12，直线l2的斜率k2，k1k21，故l1与l2不垂直(2)直线l1的斜率k110，直线l2的斜率k2，k1k21，故l1l2.(3)l1的倾斜角为90°，则l1x轴直线l2的斜率k20，则l2x轴故l1l2.反思与感悟判断两直线垂直的步骤方法一方法二若两条直线的方程均为一般式：l1：A1xB1yC10(A1，B1不全为0)，l2：A2xB2yC20(A2，B2不全为0)则l1l2A1A2B1B20.跟踪训练1下列各组中直线l1与l2垂直是_(填序号

3、)l1：2x3y40和l2：3x2y40；l1：2x3y40和l2：3y2x40；l1：2x3y40和l2：4x6y80；l1：(a1)xy5和l2：2x(2a2)y40.答案解析由题知，l1与l2不平行又2×3(3)×20，l1l2.由题知，l1l2.由题知，l1与l2重合由题知，当a1时，l1：y5，l2：x20，l1l2.当a1时，不成立，故l1与 l2不平行又(a1)×2(2a2)×10，l1l2.综上，l1l2.类型二由两直线垂直求参数或直线方程例2三条直线3x2y60,2x3m2y180和2mx3y120围成直角三角形，求实数m的值解当直线3

4、x2y60与直线2x3m2y180垂直时，有66m20，m1或m1.当m1时，直线2mx3y120也与直线3x2y60垂直，因而不能构成三角形，故m1应舍去m1.当直线3x2y60与直线2mx3y120垂直时，有6m60，得m1(舍)当直线2x3m2y180与直线2mx3y120垂直时，有4m9m20，m0或m.经检验，这两种情形均满足题意综上所述，所求的结果为m1或0或.反思与感悟此类问题常依据两直线垂直的条件列关于参数的方程或方程组求解跟踪训练2已知直线l1经过点A(3，a)，B(a2，3)，直线l2经过点C(2,3)，D(1，a2)，如果l1l2，则a的值为_答案5或6解析设直线l1，l

5、2的斜率分别为k1，k2.直线l2经过点C(2,3)，D(1，a2)，且21，l2的斜率存在当k20时，a23，则a5，此时k1不存在，符合题意当k20时，即a5，由k1k21，得·1，解得a6.综上可知，a的值为5或6.例3求与直线4x3y50垂直，且与两坐标轴围成的三角形AOB周长为10的直线方程解设所求直线方程为3x4yb0.令x0，得y，即A；令y0，得x，即B.又三角形周长为10，即OAOBAB10， 10，解得b±10，故所求直线方程为3x4y100或3x4y100.反思与感悟(1)若直线l的斜率存在且不为0，与已知直线ykxb垂直，则可设直线l的方程为yxm(

6、k0)，然后利用待定系数法求参数m的值，从而求出直线l的方程(2)若直线l与已知直线AxByC0(A，B不全为0)垂直，则可设l的方程为BxAym0，然后利用待定系数法求参数m的值，从而求出直线l的方程跟踪训练3已知点A(2,2)和直线l：3x4y200，求过点A且与直线l垂直的直线l1的方程解方法一因为klk11，所以k1，故直线l1的方程为y2(x2)，即4x3y20.方法二设所求直线l1的方程为4x3ym0.因为l1经过点A(2,2)，所以4×23×2m0，解得m2.故l1的方程为4x3y20.类型三垂直与平行的综合应用例4已知四边形ABCD的顶点B(6，1)，C(5

7、,2)，D(1,2)若四边形ABCD为直角梯形，求A点坐标解若AD90°，如图(1)，由已知ABDC，ADAB，而kCD0，故A(1，1)若AB90°，如图(2)设A(a，b)，则kBC3，kAD，kAB.由ADBCkADkBC，即3；由ABBCkAB·kBC1，即·(3)1.解得故A.综上，A点坐标为(1，1)或.反思与感悟有关两条直线垂直与平行的综合问题，一般是根据已知条件列方程(组)求解如果涉及到有关四边形已知三个顶点求另外一个顶点，注意判断图形是否唯一，以防漏解跟踪训练4已知矩形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(3,2

8、)，求第四个顶点D的坐标解设第四个顶点D的坐标为(x，y)，因为ADCD，ADBC，所以kAD·kCD1，且kADkBC.所以解得所以第四个顶点D的坐标为(2,3).1下列直线中，与直线l：y3x1垂直的是_(填序号)y3x1; y3x1；yx1; yx1.答案2已知A(1,2)，B(m,1)，直线AB与直线y0垂直，则m的值为_答案1解析直线AB与x轴垂直，则点A，B横坐标相同，即m1.3直线l1，l2的斜率分别是方程x23x10的两个根，则l1与l2的位置关系是_答案垂直解析设l1，l2的斜率分别为k1，k2由根与系数的关系可得k1k21，所以l1l2.4直线xy0和直线xay0

9、互相垂直，则a_.答案1解析由题意知1×11×(a)0，得a1.5过点(3，1)与直线3x4y120垂直的直线方程为_答案4x3y150解析直线3x4y120的斜率为，则与该直线垂直的直线的斜率为.所求直线方程为y1(x3)即4x3y150.1两条直线垂直与斜率的关系图形表示对应关系l1，l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1l2k1k21l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1l22.l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，l1l2A1A2B1B20.3与l：AxByC0垂直的直线可设为BxAyC10.一、填空题1已知平面

10、内有A(5，1)，B(1,1)，C(2,3)三点，则下列说法正确的是_(填序号)ABC是直角三角形，且BAC90°；ABC是直角三角形，且ABC90°；ABC是直角三角形，且ACB90°；ABC不是直角三角形答案解析kAB，kBC2，kAB·kBC1，ABBC，ABC90°.2已知两条直线yax2和y(a2)x1互相垂直，则a_.答案1解析由题意得a(a2)1，解得a1.3已知点A(0,1)，B(a,0)，C(3,2)，直线l经过B，C两点，且l垂直于AB，则a的值为_答案1或2解析由题意知ABBC，则×1，解得a1或2.4已知直线l

11、1：yx，若直线l2l1，则直线l2的倾斜角为_答案135°解析因为直线yx的斜率k11，所以若直线l2l1，则直线l2的斜率k1.所以直线l2的倾斜角为135°.5已知直线l1的斜率k13，若直线l2过点(0,5)，且l1l2，则直线l2的方程是_答案x3y150解析k13，l1l2，l2的斜率为.又直线l2过点(0,5)，l2的方程是yx5，即x3y150.6过原点作直线l的垂线，若垂足为(2,3)，则直线l的方程是_答案2x3y130解析设垂足为A，则kOA，由题意可知kl，所以直线l的方程是y3(x2)整理得2x3y130.7已知直线l上两点A，B的坐标分别为(3,

12、5)，(a,2)，且直线l与直线3x4y50垂直，则a的值为_答案解析因为直线3x4y50的斜率为，故直线l的斜率为.由直线的斜率计算公式，可得，解得a.8顺次连结A(4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(3,0)四点所组成的图形是_答案直角梯形解析kAB，kBC，kCD，kAD3，kABkCD，kADkBC，kAD·kAB1，kAD·kCD1.四边形ABCD为直角梯形9与直线3x4y70垂直，并且在x轴上的截距为2的直线方程是_答案4x3y80解析设所求直线方程为4x3yC0，将(2,0)代入得C8，故方程为4x3y80.10将直线l：xy10绕点A(2,3)逆时针旋

13、转90°，得到的直线l1的方程是_答案xy50解析根据题意知，直线l1与直线l垂直，而直线l：xy10的斜率为1，所以直线l1的斜率为1.又直线l1也过点A(2,3)，故直线l1的方程是y31×(x2)，即xy50.11已知直线l的倾斜角为135°，直线l1经过点A(3,2)和B(a，1)，且直线l1与直线l垂直，直线l2的方程为2xby10，且直线l2与直线l1平行，则ab_.答案2解析由直线l的倾斜角得l的斜率为1，直线l与l1垂直，l1的斜率为1.由直线l1经过点A(3,2)和B(a，1)，得l1的斜率为.故1，解得a0.又直线l2的斜率为，l1l2，1，解

14、得b2.ab2.二、解答题12已知在ABC中，A(0,0)，B(3,1)，C(1,3)(1)求AB边上的高所在直线的方程；(2)求BC边上的高所在直线的方程；(3)求过A与BC平行的直线方程解(1)因为直线AB的斜率k1，所以AB边上的高所在直线的斜率为3且过点C，所以AB边上的高所在直线的方程为y33(x1)，即3xy60.(2)因为直线BC的斜率k21，所以BC边上的高所在直线的斜率为1且过点A，所以BC边上的高所在直线的方程为yx0.(3)由(2)知，过点A与BC平行的直线的斜率为1，其方程为yx0.13已知A(1，1)，B(2,2)，C(3,0)三点，求点D，使直线CDAB，且CBAD.解设D(x，y)，则kCD，kAB3，kCB2，kAD.因为kCD·kAB1，kCBkAD，所以×31，2，所以x0，y1，即D(0,1)三、探究与拓展14垂直于直线3x4y70，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x轴