第三章 习题课

1、习题课导数的应用学习目标1.能利用导数研究函数的单调性.2.理解函数的极值、最值与导数的关系.3.掌握函数的单调性、极值与最值的综合应用知识点一函数的单调性与其导数的关系定义在区间(a，b)内的函数yf(x)f(x)的正负f(x)的单调性f(x)>0单调递增f(x)<0单调递减知识点二求函数yf(x)的极值的方法解方程f(x)0，当f(x0)0时，(1)如果在x0附近的左侧f(x)>0，右侧f(x)<0，那么f(x0)是极大值(2)如果在x0附近的左侧f(x)<0，右侧f(x)>0，那么f(x0)是极小值知识点三函数yf(x)在a，b上最大值与最小值的求法1

2、求函数yf(x)在(a，b)内的极值2将函数yf(x)的极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.类型一函数与其导函数之间的关系例1已知函数yxf(x)的图象如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，则yf(x)的图象大致是()考点函数变化快慢与导数的关系题点根据导函数的图象确定原函数的图象答案C解析当0<x<1时，xf(x)<0，f(x)<0，故yf(x)在(0,1)上为减函数，排除A，B.当1<x<2时，xf(x)>0，f(x)>0，故yf(x)在(1,2)上为增函数，因此排除D.反思与感悟

3、研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要重点考查其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应考察其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并考察这些区间与原函数的单调区间是否一致跟踪训练1设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数f(x)在x2处取得极小值，则函数yxf(x)的图象可能是()考点数形结合思想在导数中的应用题点数形结合思想在导数中的应用答案A解析函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数f(x)在x2处取得极小值，当x>2时，f(x)>0；当x2时，f(x)0；当x<2时

4、，f(x)<0.当2<x<0时，xf(x)<0；当x2时，xf(x)0；当x<2时，xf(x)>0.由此观察四个选项，故选A.类型二构造函数求解不等式问题命题角度1比较函数值的大小例2已知定义域为R的奇函数yf(x)的导函数为yf(x)，当x0时，f(x)<0，若af，bf()，cf，则a，b，c的大小关系正确的是()Aa<c<b Bb<c<aCa<b<c Dc<a<b考点利用导数研究函数的单调性题点比较函数值的大小答案B解析令g(x)xf(x)，则g(x)(x)f(x)xf(x)，g(x)是偶函数g(x

5、)f(x)xf(x)，f(x)<0，当x>0时，xf(x)f(x)<0，当x<0时，xf(x)f(x)>0.g(x)在(0，)上是减函数<ln 2<1<，g()<g(ln 2)<g.又g(x)是偶函数，g()g()，gg(ln 2)，g()<g<g.故选B.反思与感悟此类题目的关键是构造出恰当的函数通过求导确定函数的单调性，进而确定函数值的大小跟踪训练2已知函数f(x)在定义域0，)上恒有f(x)>f(x)若a，b，则a与b的大小关系为_(用“>”连接)考点利用导数研究函数的单调性题点比较函数值的大小答案a&g

6、t;b解析设g(x)，则当x0时，g(x)<0，所以g(x)在0，)上是减函数，所以g(2)>g(3)，即>，所以a>b.命题角度2求解不等式例3定义域为R的可导函数yf(x)的导函数f(x)满足f(x)<f(x)，且f(0)2，则不等式f(x)>2ex的解集为()A(，0) B(，2)C(0，) D(2，)考点利用导数研究函数的单调性题点求解不等式答案C解析设g(x)，则g(x).f(x)<f(x)，g(x)>0，即函数g(x)单调递增f(0)2，g(0)2，则不等式等价于g(x)>g(0)函数g(x)单调递增，x>0，不等式的解集

7、为(0，)，故选C.反思与感悟解决此类题目的关键是构造恰当的函数，通过其导函数的符号判断函数的单调性，利用单调性得到x的取值范围跟踪训练3函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR，f(x)>2，则f(x)>2x4的解集为()A(1,1) B(1，)C(，1) D(，)考点利用导数研究函数的单调性题点求解不等式答案B解析令g(x)f(x)2x4，f(x)>2，则g(x)f(x)2>0.g(x)在定义域内单调递增，又由g(1)f(1)2×(1)40，由g(x)>0，即g(x)>g(1)，得x>1，f(x)>2x4的解集为(1，)类型

8、三利用导数研究函数的极值与最值例4已知函数f(x)x3ax2b的图象上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3xy0平行(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间0，t(0<t<3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)c在区间1,3上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围考点利用导数研究函数的极值与最值题点利用导数研究函数的极值与最值解(1)因为f(x)3x22ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为f(1)32a，即32a3，a3.又函数过(1,0)点，即2b0，b2.所以a3，b2，f(x)x33x22.(2)由f(x)x33x22，得

9、f(x)3x26x.由f(x)0，得x0或x2.当0<t2时，在区间0，t上，f(x)0，f(x)在0，t上是减函数，所以f(x)maxf(0)2，f(x)minf(t)t33t22.当2<t<3时，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x0(0,2)2(2，t)tf(x)00f(x)22t33t22f(x)minf(2)2，f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个因为f(t)f(0)t33t2t2(t3)<0，所以f(x)maxf(0)2.(3)令g(x)f(x)cx33x22c，则g(x)3x26x3x(x2)当x1,2)时，g(x)<0；当x

10、(2,3时，g(x)>0.要使g(x)0在1,3上恰有两个相异的实根，则即解得2<c0.即实数c的取值范围为(2,0反思与感悟(1)求极值时一般需确定f(x)0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得跟踪训练4已知函数f(x)ax3(a1)x248(a2)xb的图象关于原点成中心对称(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间及极值；(3)当x1,5时，求函数的最值考点利用导数研究函数的极值与最

11、值题点利用导数研究函数的极值与最值解(1)函数f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)是奇函数，f(x)f(x)，即ax3(a1)x248(a2)xbax3(a1)x248(a2)xb，于是2(a1)x22b0恒成立，解得a1，b0.(2)由(1)得f(x)x348x，f(x)3x2483(x4)(x4)，令f(x)0，得x14，x24，令f(x)<0，得4<x<4；令f(x)>0，得x<4或x>4.f(x)的单调递减区间为(4,4)，单调递增区间为(，4)和(4，)，f(x)极大值f(4)128，f(x)极小值f(4)128.(3)由(2)知，函数在1

12、,4上单调递减，在4,5上单调递增，对f(4)128，f(1)47，f(5)115，当x1,5时，函数的最大值为47，最小值为128.1已知函数f(x)x3bx2cx的图象如图所示，则xx等于()A. B. C. D.考点函数极值的应用题点函数极值在图象上的应用答案C解析由题意可知f(0)0，f(1)0，f(2)0，可得1bc0,84b2c0，解得b3，c2，所以函数的解析式为f(x)x33x22x，所以f(x)3x26x2.令3x26x20，可得x1x22，x1x2，所以xx(x1x2)22x1x242×.2设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f(x)g(x)f

13、(x)g(x)<0，则当a<x<b时有()Af(x)g(x)>f(b)g(b)Bf(x)g(a)>f(a)g(x)Cf(x)g(b)>f(b)g(x)Df(x)g(x)>f(a)g(a)考点利用导数研究函数的单调性题点比较函数值的大小答案C解析由条件，得<0.在(a，b)上是减函数，<<，f(x)g(b)>f(b)g(x)3若函数f(x)(x2)(x2c)在x2处有极值，则函数f(x)的图象在x1处的切线的斜率为_考点导数的综合应用题点导数的综合应用答案5解析函数f(x)(x2)(x2c)在x2处有极值，f(x)(x2c)(x2

14、)×2x.f(2)0，c40，c4，f(x)(x24)(x2)×2x，函数f(x)的图象在x1处的切线的斜率为f(1)(14)(12)×25.4函数f(x)x33x1，若对于区间3,2上的任意x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|t，则实数t的最小值是_考点函数最值的应用题点恒成立中参数的取值范围答案20解析由f(x)3x230，得x±1，则f(x)minf(3)19，f(x)maxf(1)1，由题意知，|f(x1)f(x2)|max|191|20，t20，故tmin20.导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值

15、等问题，都可以通过导数得以解决不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法.一、选择题1函数yxsin xcos x，x(，)的单调递增区间是()A.和B.和C.和D.和考点利用导数研究函数的单调性题点不含参数的函数求单调区间答案A解析yxcos x，当<x<时，cos x<0，yxcos x>0；当<x<0时，cos x>0，yxcos x<0；当0<x<时，cos x>0，yxcos x>0；当<x<时，cos x<

16、0，yxcos x<0，故选A.2已知函数f(x)ln x，则有()Af(2)<f(e)<f(3) Bf(e)<f(2)<f(3)Cf(3)<f(e)<f(2) Df(e)<f(3)<f(2)考点利用导数研究函数的单调性题点比较函数值的大小答案A解析f(x)的定义域为(0，)，又f(x)>0在(0，)上恒成立，f(x)在(0，)上单调递增又2<e<3，f(2)<f(e)<f(3)3函数f(x)x3mx21在2，1上的最大值就是f(x)的极大值，则m的取值范围是()A(6，3) B6，3C. D.考点函数最值的应

17、用题点最值存在性问题答案D解析由f(x)3x22mx0，得x1，x20，由题意知， 2，1，即m.4设f(x)是函数f(x)的导函数，将yf(x)和yf(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是()考点函数变化快慢与导数的关系题点根据原函数的图象确定导函数的图象答案D解析若函数在给定区间上是增函数，则yf(x)>0，若函数在给定区间上是减函数，则yf(x)<0.5已知函数f(x)x3px2qx的图象与x轴相切于点(1,0)，则函数f(x)的()A极大值为，极小值为0B极大值为0，极小值为C极大值为0，极小值为D极大值为，极小值为0考点函数的极值与导数的关系题点含参数的函数求

18、极值答案A解析f(x)3x22pxq，f(1)32pq0.又f(1)1pq0，由解得p2，q1，f(x)x32x2x，f(x)3x24x1.令3x24x10，解得x1，x21.当x<时，f(x)>0；当<x<1时，f(x)<0；当x>1时，f(x)>0，当x时，f(x)有极大值为；当x1时，f(x)有极小值为0.6设函数f(x)x29ln x在区间a1，a1上单调递减，则实数a的取值范围是()A1<a2 Ba4Ca2 D0<a3考点利用函数的单调性求变量题点已知函数的单调性求参数答案A解析f(x)x29ln x，f(x)x(x>0)，

19、当x0时，有0<x3，即在区间(0,3上原函数是减函数，a1>0且a13，解得1<a2.7某厂生产某种产品x件的总成本(单位：元)为C(x)1 200x3，且产品单价的平方与产品件数x成反比，若当生产100件这样的产品时，单价为50元，则要使总利润最大，产量应定为()A15件 B25件C30件 D35件考点函数类型的优化问题题点利用导数求解最大利润问题答案B解析设产品单价为a元，因为产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2xk(k为比例系数)由题意知，k250 000，则a2x250 000，所以a.设总利润为y元，则y500x31 200(x>0)，则yx2，由y0，

20、得x25，当x(0,25)时，y>0，当x(25，)时，y<0，所以当x25时，y取得最大值故要使总利润最大，产量定为25件8方程2x36x270在(0,2)内根的个数为()A0 B1C2 D3考点函数极值的应用题点函数的零点与方程的根答案B解析令f(x)2x36x27，f(x)6x212x6x(x2)，由f(x)0，得x2或x0；由f(x)0，得0x2.又f(0)70，f(2)10，方程在(0,2)内只有一个实根二、填空题9函数yx3x25x5的单调递增区间是_考点利用导数研究函数的单调性题点不含参数的函数求单调区间答案，(1，)解析令y3x22x5>0，得x<或x&

21、gt;1.10函数y在定义域内的最大值、最小值分别是_考点题点答案2，2解析函数的定义域为R.令y0，得x±1.当x变化时，y，y随x的变化情况如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)y00y极小值极大值当x趋近于负无穷大时，y趋近于0；当x趋近于正无穷大时，y趋近于0.由上表可知，当x1时，y取极小值也是最小值2；当x1时，y取极大值也是最大值2.11已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，且ax(a>0且a1)，f(x)g(x)<f(x)g(x)，则a_.考点利用函数的单调性求变量题点已知函数的单调性求参数答案解析令h(x)，f(x)g(x)<f(x)g(x

22、)，h(x)<0，函数h(x)ax在R上单调递减，0<a<1.，a1a1，化为2a25a20，解得a2或.0<a<1，a.三、解答题12设函数f(x)ax33x1(xR)，若对于任意的x(0,1都有f(x)0成立，求实数a的取值范围考点函数最值的应用题点恒成立中参数的取值范围解x(0,1，f(x)0可化为a.令g(x)，则g(x)，令g(x)0，得x.当0<x<时，g(x)>0；当<x1时，g(x)<0，g(x)在(0,1上有极大值g4，也是最大值a4.即a的取值范围是4，)13设函数f(x)2x33(a1)x21，其中a1.(1)求f(x)的单调区间；(2)讨论f(x)的极值考点函数的极值与导数的关系题点含参数的函数求极值解由已知得f(x)6x26(a1)x6xx(a1)令f(x)0，解得x0或xa1.(1)当a1时，f(x)6x2，令f(x)0，得x0，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0，)f(x)0f(x)1因为f(x)是连续函数，所以f(x)在R上单调递增当a1时，f(x)6