第三章 3.2 第2课时

1、第2课时均值不等式的应用学习目标1.熟练掌握均值不等式及变形的应用.2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题.知识点一均值不等式及变形思考使用均值不等式证明：(a>0，b>0)，并说明什么时候等号成立.答案a>0，b>0，2>0，即(a>0，b>0)，当且仅当，即ab时，等号成立.梳理以下是均值不等式的常见变形，试用不等号连接，并说明等号成立的条件.当a>0，b>0时，有；当且仅当ab时，以上三个等号同时成立.知识点二用均值不等式求最值思考因为x212x，当且仅当x1时取等号.所以当x1时，(

2、x21)min2.以上说法对吗？为什么？答案错.显然(x21)min1.x212x，当且仅当x1时取等号.仅说明抛物线yx21恒在直线y2x上方，仅在x1时有公共点.使用均值不等式求最值，不等式两端必须有一端是定值.如果都不是定值，可能出错.梳理均值不等式求最值的条件：(1)x，y必须是正数；(2)求积xy的最大值时，应看和xy是否为定值；求和xy的最小值时，应看积xy是否为定值，即“和定积大，积定和小”.(3)等号成立的条件是否满足.1.函数yx的最小值是2.(×)2.函数ysin x，x的最小值为2.(×)3.若2，则必有x>0，y>0.(×)类型

3、一均值不等式与最值例1(1)若x>0，求函数yx的最小值，并求此时x的值；(2)设0<x<，求函数y4x(32x)的最大值；(3)已知x>2，求x的最小值；(4)已知x>0，y>0，且 1，求xy的最小值.解(1)当x>0时，x24，当且仅当x，即x24，x2时取等号.函数yx(x>0)在x2时取得最小值4.(2)0<x<，32x>0，y4x(32x)22x(32x)22.当且仅当2x32x，即x时，等号成立.函数y4x(32x)的最大值为.(3)x>2，x2>0，xx22226，当且仅当x2，即x4时，等号成立.x

4、的最小值为6.(4)方法一x>0，y>0，1，xy(xy)1061016，当且仅当，又1，即x4，y12时，不等式取等号.故当x4，y12时，(xy)min16.方法二由1，得(x1)(y9)9(定值).由1可知x>1，y>9，xy(x1)(y9)1021016，当且仅当x1y93，即x4，y12时不等式取等号，故当x4，y12时，(xy)min16.反思与感悟在利用均值不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备.跟踪训练

5、1(1)已知x>0，求f(x)3x的最小值；(2)已知x<3，求f(x)x的最大值；(3)设x>0，y>0，且2x8yxy，求xy的最小值.解(1)x>0，f(x)3x212，当且仅当3x，即x2时取等号，f(x)的最小值为12.(2)x<3，x3<0，f(x)xx333231，当且仅当3x，即x1时取等号.f(x)的最大值为1.(3)方法一由2x8yxy0，得y(x8)2x.x>0，y>0，x8>0，y，xyxx(x8)1021018.当且仅当x8，即x12时，等号成立.xy的最小值是18.方法二由2x8yxy0及x>0，y&

6、gt;0，得1.xy(xy)1021018.当且仅当，即x2y12时等号成立.xy的最小值是18.类型二均值不等式在实际问题中的应用例2(1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？(2)一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解(1)设矩形菜园的长为x m，宽为y m，则xy100，篱笆的长为2(xy) m.由，可得xy2，2(xy)40.当且仅当xy10时等号成立.所以这个矩形的长、宽都为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40 m.(2)设矩形菜园的长为x m，宽

7、为y m，则2(xy)36，xy18，矩形菜园的面积为xy m2.由9，可得xy81，当且仅当xy9时，等号成立.所以这个矩形的长、宽都为9 m时，菜园的面积最大，最大面积为81 m2.反思与感悟利用均值不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用均值不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件.跟踪训练2某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为3 m，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少？解设水池底面一边的长度为x m，则另一边的长度为 m.又设水池总造价为y元

8、，根据题意，得y150×120×240 000720×240 000720×2297 600(元)，当且仅当x，即x40时，y取得最小值297 600.所以水池底面为正方形且边长为40 m时总造价最低，最低总造价为297 600元.例3某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？解设该厂每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨.由题意可知，面粉的保管及其他费用为3×6x6(x1)6

9、(x2)6×19x(x1).设平均每天所支付的总费用为y元，则y9x(x1)9006×1 8009x10 809210 80910 989(元)，当且仅当9x，即x10时，等号成立.所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.引申探究若受车辆限制，该厂至少15天才能去购买一次面粉，则该厂应多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的费用最少？解设x1，x215，)，且x1x2.则9(x1x2)900(x1x2)(x1x2).15x1x2，x1x20，x1x2225，(x1x2)0，即y9x10 809在15，)上为增函数.当x15，即15天购买一次面粉，平

10、均每天支付的费用最少.反思与感悟应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答).使用均值不等式求最值，要注意验证等号是否成立，若等号不成立，可考虑利用函数单调性求解.跟踪训练3一批货物随17列货车从A市以v千米/小时匀速直达B市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于2千米，那么这批货物全部运到B市，最快需要 小时.答案8解析设这批货物从A市全部运到B市的时间为t，则t28(小时)，当且仅当，即v100时，等号成立，所以这批货物全部运到B市，最快需要8小时.1.设x>0，y>0，且xy18，

11、则xy的最大值为()A.80 B.77 C.81 D.82答案C解析x>0，y>0，即xy281，当且仅当xy9时，(xy)max81.2.已知a(x1，2)，b(4，y)(x，y为正数)，若ab，则xy的最大值是()A. B. C.1 D.1答案A解析ab，a·b0，4(x1)2y0，2xy2，xy(2x)·y·2×2，当且仅当2xy1时，等号成立.3.设x，y为正数，则(xy)的最小值为()A.16 B.9 C.12 D.15答案A解析因为x，y为正数，所以(xy)1916，当且仅当y3x时，等号成立.4.已知x，则f(x)的最小值为 .

12、答案1解析f(x)1.当且仅当x2，即x3时等号成立.1.用均值不等式求最值(1)利用均值不等式，通过恒等变形，以及配凑，造就“和”或“积”为定值，从而求得函数最大值或最小值.这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：“一正”各项为正数；“二定”“和”或“积”为定值；“三相等”等号一定能取到.这三个条件缺一不可.(2)利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用均值不等式的条件.(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用均值不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用均值不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以

13、借助函数yx(p>0)的单调性求得函数的最值.2.求解应用题的方法与步骤：(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答.一、选择题1.已知x>1，y>1且lg xlg y4，则lg xlg y的最大值是()A.4 B.2 C.1 D.答案A解析x>1，y>1，lg x>0，lg y>0，lg xlg y24，当且仅当lg xlg y2，即xy100时取等号.2.已知点P(x，y)在经过A(3，0)，B(1，1)两点的直线上，则2x4y的最小值为()A.2 B.4 C.16 D.不存在答案B解析点P(x，y)在直线AB上，x2y3.2x4y22

14、4.当且仅当2x4y，即x，y时，等号成立.3.函数ylog2(x>1)的最小值为()A.3 B.3 C.4 D.4答案B解析x>1，x1>0，x5(x1)6268，当且仅当x1，即x2时，等号成立.log23，ymin3.4.已知a>0，b>0，ab2，则y的最小值是()A. B.4 C. D.5答案C解析ab2，1.2，故y的最小值为.5.设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0，则当取得最大值时，的最大值为()A.0 B.1 C. D.3答案B解析由x23xy4y2z0且z0得1，24·，3·14·.1，当且仅当即x2y时取等

15、号.max1，此时x2y，zxy2y2.211.当1即y1时取等号.max1.6.已知x1，y1，且ln x，ln y成等比数列，则xy的最小值为()A. B.2 C.e D.e2答案C解析由题意得2ln x·ln y，ln x·ln y，x1，y1，ln x·ln y0，又ln(xy)ln xln y21，当且仅当ln xln y时，等号成立，xye.即xy的最小值为e.7.已知直线axbyc10(b，c>0)经过圆C：x2y22y50的圆心，则的最小值是()A.9 B.8 C.4 D.2答案A解析圆C：x2y22y50化成标准方程，得x2(y1)26，所

16、以圆心为C(0，1).因为直线axbyc10经过圆心C，所以a×0b×1c10，即bc1.因此(bc)5.因为b，c>0，所以24，当且仅当时等号成立.由此可得b2c且bc1，即b，c时，取得最小值9.二、填空题8.若xy是正数，则22的最小值是 答案4解析22x2y21124，当且仅当xy或xy时取等号.9.若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 m2.答案25解析设矩形的一边为x m，则另一边为×(202x)(10x)m，yx(10x)225，当且仅当x10x，即x5时，ymax25.10.设0<x<2，则函数y的最

17、大值为 .答案4解析0<x<2，0<3x<6，83x>2>0，y4，当且仅当3x83x，即x时，取等号.当x时，y有最大值4.11.设x>1，则函数y的最小值是 .答案9解析x>1，x1>0，设x1t>0，则xt1，于是有yt5259，当且仅当t，即t2时取等号，此时x1.当x1时，函数y取得最小值9.12.已知x>0，y>0，且3x4y12，则lg xlg y的最大值为 .答案lg 3解析由x>0，y>0，且3x4y12，得xy·(3x)·(4y)23.所以lg xlg ylg(xy)lg

18、 3，当且仅当3x4y6，即x2，y时，等号成立.故当x2，y时，lg xlg y的最大值是lg 3.三、解答题13.某建筑公司用8 000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层，每层4 000平方米的楼房.经初步估计得知，如果将楼房建为x(x12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q(x)3 00050x(单位：元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用最小值是多少？(注：平均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用)解设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元，依题意得f(x)Q(x)50x3 000(x12，xN)，f(x)50x3 00023 0005 000(元).当且仅当50x，即x20时，上式取等号，所以当x20时，f(x)取得最小值5 000(元).所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用最小值为5 000元.四、探究与拓展14.已知a>0，b>0，若不等式2ab9m恒成立，则m的最大值为 .答案6解析由已知，可得61，所以2ab6·(2ab)66×(54)54，当且仅当，即ab时等号成立，所以9m54，即m6.15.如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，现有可围3