第一章函数与极限(四)

1、第一章 函数与极限授课题目：§1.7无穷小的比较§1.8函数的连续性与间断点教学目的与要求：1.会进行无穷小量阶的比较，会用等价无穷小量简化极限运算2.理解连续性的定义；知道连续性的三个要素3.了解间断点的定义；会判别间断点的类型教学重点与难点：重点：用等价无穷小简化极限的运算，连续性的概念难点：间断点的类型的判断，分段函数分界点是否连续的判断方法教学内容：§1.7无穷小的比较复习上次课内容，做下面求极限的练习题：、（） （） （）、（） （） （）两个无穷小的和、差、乘积仍是无穷小。但关于两个无穷小的商，却会出现不同的情况。例如：都是无穷小，但两个无穷小之比的极

2、限的各种不同情况，反映了不同的无穷小趋向零的“快慢”程度。定义：如果，就说是比高阶的无穷小，记作；如果，就是说是比低的无穷小如果，就说与是同阶无穷小如果，就说是关于的阶无穷小如果，就说与是等价无穷小，记作因为所以当是比高阶无穷小，即因为所以当是比低阶无穷小。 因为所以当与是等价无穷小，即例1 证明：当证 因为 ,所以关于等价无穷小的重要性质：定理1是等阶无穷小的充分必要条件为定理2 设且存在，则注：根据定理2，可利用等阶无穷小简化极限运算，即求两个无穷小之比的极限时分 子和分母都可用等价无穷小来代替。例3 求解 当，所以例4 求解 当，无穷小与自身等价，所以例5 求解 当所以给出一个错误利用等

3、价无穷小的例子。*补充例题 求 解：原式=×原式因为，所以所以原式注：常见的等价无穷小量：§1.8 函数的连续性与间断点自然界有许多现象，如气温的变化，河水的流动，植物的生长等，都是连续地变化着的。这种现象在函数关系上的反映就是函数的连续性。例如就气温的变化来看，当时间变化很微小时，气温的变化也很微小，这种特点就是所谓连续性。一、增量、函数的连续性1、自变量的增量：设变量有初值，终值，则称的增量，记：，即：注 时，；时，。2、函数的增量：，称为的函数的增量。注：是由引起的。3、连续函数的概念：定义：设函数在点的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量趋向零时，对应的函数的增量也

4、趋向于零，即那么就称函数在点连续。等价定义：4、左、右连续概念：若()则称在左(右)连续。5、区间上连续：若在内任一点连续，则在内连续，又在右连续、左连续，则称在闭区 上连续。注：连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线。 从书上例题可以看出，下列函数连续：（1）有理整函数在上连续。（2）有理分式函数在定义域上连续。（3）在内连续。（4）在上连续。*证明见P62（）在上连续。二、函数的间断点1、概念：若在不满足连续的条件，则称在是不连续的或称是间断的，称的间断点。不连续点（间断点）的情形：（1） 在没有定义（2） 虽在有定义，但不存在（3） 虽在有定义，且存在，但间断点类型： 第一类间断点 左右

5、极限相等（可去间断点）间断点 （左右极限都存在） 左右极限不相等（跳跃间断点） 第二类间断点 （左右极限至少有一个不存在）2、判断：若在满足以下条件之一；，则为的间断点。例1 研究在处的连续性。解 为间断点，此时称为无穷间断点。例2 函数的图形如下，其在点没有定义；当时，函数值在-1与+1间变动无数次，所以称点称为函数的振荡间断点。例3 研究在的连续性。解 ， 为间断点， 又：，可补充定义：于是：在 时连续，称 为可去间断点。例4 设 考察在处的连续性。解 为间断点，此时，可改变函数定义使其在连续，如：，在 连续，称可去间断点。例5 设：，考察在的连续性。解为间断点(跳跃间断点，不可去)。注 跳跃间断点与可去间断点统称第类间断点，特点：在的左右极限存在。间断点：类：可去、跳跃；类：无穷、振荡。*补充例题 设：，问：是否存在？当在连续时，解 1，又：，。*补充例题函数，在处连续，则？解：分析：因为，又，根据在连续的定义可知，即*补