第2章学案4函数及其表示

1、第2章函数学案4函数及其表示导学目标： 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法等)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用自主梳理1函数的基本概念(1)函数定义设A，B是两个非空的_，如果按某种对应法则f，对于集合A中的_，在集合B中_，称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，x的取值范围A叫做函数的_，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的_(2)函数的三要素_、_和_(3)函数的表示法表示函数的常用方法有：_、_、_.(4)函数相等如果两个函数的定义域和_完全一致，则这两个函数相

2、等，这是判定两函数相等的依据(5)分段函数：在函数的_内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的_，这样的函数通常叫做分段函数分段函数是一个函数，它的定义域是各段取值区间的_，值域是各段值域的_2映射的概念(1)映射的定义设A、B是两个非空的集合，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素，在集合B中_确定的元素与之对应，那么这样的单值对应f：AB叫集合A到集合B的_(2)由映射的定义可以看出，映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合，A、B必须是非空数集自我检测1设集合Mx|0x2，Ny|0y2，给出下列4个图形，其中能表示集合M到N的函数关系的有_(填序号)

3、2(2010·湖北改编)函数y的定义域为_3(2010·湖北改编)已知函数f(x)，则f(f()_.4下列函数中，与函数yx相同的函数是_(填序号)y；y()2；ylg10x；y2log2x.5函数ylg(ax2ax1)的定义域是R，求a的取值范围探究点一函数与映射的概念例1下列对应法则是集合P上的函数的是_(填序号)(1)PZ，QN*，对应法则f：对集合P中的元素取绝对值与集合Q中的元素相对应；(2)P1,1，2,2，Q1,4，对应法则：f：xyx2，xP，yQ；(3)P三角形，Qx|x>0，对应法则f：对P中三角形求面积与集合Q中元素对应变式迁移1已知映射f：AB

4、.其中ABR，对应法则f：xyx22x，对于实数kB，在集合A中不存在元素与之对应，则k的取值范围是_探究点二求函数的定义域例2求下列函数的定义域：(1)y；(2)已知函数f(2x1)的定义域为(0,1)，求f(x)的定义域变式迁移2已知函数yf(x)的定义域是0,2，那么g(x)的定义域是_探究点三求函数的解析式例3(1)已知f(1)lgx，求f(x)；(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x1)2f(x1)2x17，求f(x)；(3)已知f(x)满足2f(x)f()3x，求f(x)变式迁移3给出下列两个条件：(1)f(1)x2；(2)f(x)为二次函数且f(0)3，f(x2)f(x)4

5、x2.试分别求出f(x)的解析式探究点四分段函数的应用例4设函数f(x)若f(4)f(0)，f(2)2，则关于x的方程f(x)x的解的个数为_变式迁移4(2010·江苏)已知函数f(x)则满足不等式f(1x2)>f(2x)的x的范围为_1与定义域有关的几类问题第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义；第三类是不给出函数的解析式，而由f(x)的定义域确定函数fg(x)的定义域或由fg(x)的定义域确定函数f(x)的定义域第四类是已知函数的定义域，求参数范

6、围问题，常转化为恒成立问题来解决2解析式的求法求函数解析式的一般方法是待定系数法和换元法，除此还有代入法、拼凑法和方程组法(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1下列各组中的两个函数是同一函数的为_(填序号)y1，y2x5；y1，y2；f(x)x，g(x)；f(x)，F(x)x；f1(x)()2，f2(x)2x5.2函数yf(x)的图象与直线x1的公共点数目是_3(2011·南京模拟)已知f(x)若f(x)3，则x的值为_4(2009·江西改编)函数y的定义域为_5设f：xx2是从集合A到集合B的映射，如果B1,2，则AB为_6下列四个命题：(1)f(x)有意义

7、；(2)函数是其定义域到值域的映射；(3)函数y2x(xN)的图象是一条直线；(4)函数y的图象是抛物线其中正确的命题个数为_7设f(x)，g(x)，则fg(3)_，gf()_.8(2010·陕西)已知函数f(x)若f(f(0)4a，则实数a_.二、解答题(共42分)9(12分)(2011·苏州期末)(1)若f(x1)2x21，求f(x)的表达式；(2)若2f(x)f(x)x1，求f(x)的表达式；(3)若函数f(x)，f(2)1，又方程f(x)x有唯一解，求f(x)的表达式10(14分)某商场促销饮料，规定一次购买一箱在原价48元的基础上打9折，一次购买两箱可打8.5折，

8、一次购买三箱可打8折，一次购买三箱以上均可享受7.5折的优惠若此饮料只整箱销售且每人每次限购10箱，试用解析法写出顾客购买的箱数x与每箱所支付的费用y之间的函数关系，并画出其图象11(16分)某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x(百台)，其总成本为G(x)万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元(总成本固定成本生产成本)，销售收入R(x)(万元)满足R(x)假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律：(1)要使工厂有盈利，产品x应控制在什么范围？(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？此时每台产品的售价为多少？答案自主梳理1(1)数集每

9、一个元素x都有惟一的元素y和它对应定义域值域(2)定义域值域对应法则(3)解析法列表法图象法(4)对应法则(5)定义域对应法则并集并集2.(1)都有惟一映射自我检测1解析对于题图：M中属于(1,2的元素，在N中没有象，不符合定义；对于题图：M中属于(，2的元素的象，不属于集合N，因此它不表示M到N的函数关系；对于题图：符合M到N的函数关系；对于题图：其象不唯一，因此也不表示M到N的函数关系2(，1)3.45解函数ylg(ax2ax1)的定义域是R，即ax2ax1>0恒成立当a0时，1>0恒成立；当a0时，应有0<a<4.综上所述，a的取值范围为0a<4.课堂活动区

10、例1解题导引函数是一种特殊的对应，要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系，只需要检验：定义域和对应法则是否给出；根据给出的对应法则，自变量在其定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的函数值答案(2)解析由于(1)中集合P中元素0在集合Q中没有对应元素，并且(3)中集合P不是数集，所以(1)和(3)都不是集合P上的函数由题意知，(2)正确变式迁移1(1，)解析由题意知，方程x22xk无实数根，即x22xk0无实数根4(1k)<0，k>1时满足题意例2解题导引在(2)中函数f(2x1)的定义域为(0,1)是指x的取值范围还是2x1的取值范围？f(x)中的x与f(2x1)中的2x1的取值

11、范围有什么关系？解(1)要使函数有意义，应有即解得所以函数的定义域是x|1x<1或1<x<2(2)f(2x1)的定义域为(0,1)，1<2x1<3，所以f(x)的定义域是(1,3)变式迁移2(1，)(，解析由得1<x且x.即定义域为(1，)(，点评本题一定要注意答案的规范性，写成：1<x且x是错误的例3解题导引函数解析式的类型与求法(1)若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法(2)已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意变量的取值范围(3)已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其他未知量，如f(

12、x)、f()等，要根据已知等式再构造其他等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)解(1)令1t，则x，f(t)lg，f(x)lg，x(1，)(2)设f(x)axb，(a0)则3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2baxb5a2x17，a2，b7，故f(x)2x7.(3)2f(x)f()3x，把中的x换成，得2f()f(x)，×2，得3f(x)6x，f(x)2x(x0)变式迁移3解(1)令t1，t1，x(t1)2.则f(t)(t1)22(t1)t21，即f(x)x21，x1，)(2)设f(x)ax2bxc (a0)，f(x2)a(x2)2b(x2)c，则f(x2)f(x)4

13、ax4a2b4x2.又f(0)3，c3，f(x)x2x3.例4解题导引本题可以先确定解析式，然后通过解方程f(x)x来确定解的个数；也可利用数形结合，更为简洁对于分段函数，一定要明确自变量所属的范围，以便于选择与之相应的对应法则分段函数体现了数学的分类讨论思想，相应的问题处理应分段解决答案3解析方法一若x0，则f(x)x2bxc.f(4)f(0)，f(2)2，解得f(x)当x0，由f(x)x，得x24x2x，解得x2，或x1；当x>0时，由f(x)x，得x2.方程f(x)x有3个解方法二由f(4)f(0)且f(2)2，可得f(x)x2bxc的对称轴是x2，且顶点为(2，2)，于是可得到f

14、(x)的简图(如图所示)方程f(x)x的解的个数就是函数图象yf(x)与yx的图象的交点的个数，所以有3个解变式迁移4(1，1)解析函数f(x)的图象如图所示：f(1x2)>f(2x)，解得1<x<1.课后练习区1解析定义域不同；定义域不同；对应法则不同；定义域相同，且对应法则相同；定义域不同20或1解析有可能是没有交点的，如果有交点，那么对于x1仅有一个函数值3.解析该分段函数的三段各自的值域为(，1，0,4)，4，)，而30,4)，f(x)x23，x±，而1<x<2，x.4(1,1)5或1解析由已知x21或x22，解之得，x±1或x

15、7;，若1A，则AB1，若1A，则AB，故AB或161解析(1)x2且x1，不存在；(2)函数是特殊的映射；(3)该图象是由离散的点组成的；(4)该图象是两个不同的抛物线的两部分组成的，不是抛物线故只有(2)正确77829解(1)令tx1，则xt1，f(t)2(t1)212t24t3，f(x)2x24x3.(4分)(2)2f(x)f(x)x1，用x去替换式子中的x，得2f(x)f(x)x1，(6分)即有，解方程组消去f(x)，得f(x)1.(8分)(3)由f(2)1得1，即2ab2；由f(x)x得x，变形得x(1)0，解此方程得x0或x，(10分)又方程有唯一解，0，解得b1，代入2ab2得a，f(x).(12分)10解当x1时，y48×0.943.2；当x2时，y48×0.8540.8；当x3时，y48×0.838.4；当3<x10，xN时，y48×0.7536.即y(8分)图象如图所示(14分)11解依题意，G(x)x2，设利润函数为f(x)，则f(x)(4分)(1)要使工厂赢利，则有f(x)>0.当0x5时，有0.4x23.2x2.8>0，得1<x<7，所以