第二章 极限与连续

1、第二章 极限与连续主要内容：1数列极限 （1）数列概念 （2）数列极限的定义 （3）收敛数列的基本性质2数项级数 （1）数项级数的基本概念：无穷级数，通项，部分和，级数的收敛，级数的和，发散。 （2）举例3函数极限 （1）函数在有限点的极限 （2）单侧极限 （3）自变量趋于无穷大时函数的极限 （4）函数极限的基本呢性质4极限的运算法则 （1）函数极限的运算法则 （2）举例5无穷小量与无穷大量 （1）无穷小量及其性质 （2）无穷大量及其性质 （3）无穷小与无穷大的关系 （4）无穷小的比较6两个重要极限 （1）重要极限（2）重要极限7函数的连续性与连续函数 （1）函数在一点连续 （2）连续函数 （

2、3）连续函数的性质与初等函数的连续性 （4）闭区间上的连续函数8函数的间断点一、极限问题1 -型极限的计算方法：求该类型的极限有以下几种方法：（1）因式分解法：分子分母都为多项式，因式分解后消去零因子。（2）分子或分母有理化：（3）利用重要极限：（4）等价无穷小代换法：例1求下列极限： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）问题2 -型极限的计算方法：分子分母同除以最高幂例2 求下列极限： （1）； （2）； （3）； （4）问题3 -型极限的计算方法：通分化为-型或-型；若函数含有根式，则考虑将根式有理化。例3求下列极限：（1）； （2）问题4 -型极限的计算方法：利用重要

3、极限： 或 来求。例4求下列极限：（1）； （2）； （3）； （4）问题5 -型极限的计算方法：转化为-型或-型来求。例5求下列极限： （1）； （2）； 问题6 无穷小与有界函数乘积的极限方法：利用无穷小与有界函数乘积仍为无穷小来求。例6求下列极限： （1）； （2）； （3）问题7 分段函数在分段点处极限的计算方法：一般利用左右极限来求例7求下列函数在分段点处的极限： （1）； （2）； （3）； （4）二、函数的连续性问题8 讨论函数的连续性方法：利用函数在一点连续的定义。例8讨论函数在各点处的连续性。例9 函数在处的连续性。例10 函数在处的连续性。例11要使函数在内连续，应怎样选取

4、常数。例12 设函数在处连续，问常数应取何值？问题9 确定函数的间断点并判断其类型方法：确定函数的间断点的步骤：（1）考察函数在点处有无定义；（2）若有定义，考察是否存在；（3）若和都存在，则考察是否有。间断点分两类：第一类间断点（由可去间断点和跳跃间断点组成）和第二类间断点（含有无穷间断点）。例13判断下列函数在指定点处的连续性，若间断，判断间断点的类型： （1），在点处；（2），在点处；例14 求函数的间断点，并判定其类型。问题10 利用函数的连续性求极限方法：利用函数的连续性求极限一般要用到以下结论：（1）若是初等函数，是其定义域内的一点，则；（2）设，而函数在点处连续，则（3）若，则例15求下列极限：（1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）问题11闭区间上连续函数性质的应用 方法：关于方程根的存在性主要利用闭区间上连续函数的介值定理。例16证明方程在区间内至少有一个实根。例17 证明方程至少有一正根，并且它不超过。例18 已知方程在区间内至少有一个实根，求的取值范围。三、数项级数问题12数项级数的敛散性的判别方法：利用数项级数的收敛发散的定义。例19 若级数收敛，且，则数列（ ） A. 单调增加； B. 单调减少； C. 收敛； D. 发散例20 若级数，发散，则（ ） A. 发散； B.发散； C. 发散； D. 发散例