第9章 无穷级数

1、第九章无穷级数第一节 常数顶级数的概念和性质教学目的与要求1. 熟练掌握级数的概念2. 理解收敛级数的性质教学重点1. 用定义判断级数的敛散性2. 级数收敛的必要条件教学难点 级数收敛的性质3、性质4教学时数2课时教学过程一 常数项级数的概念1. 导入引例 计算圆的面积2. 常数项级数的概念若给定一个数列，由它构成的表达式 (1)称之为常数项无穷级数，简称级数，记作。为给出级数中无限多个数量相加的数学定义，我们引入部分和概念。作级数(1)的前项之和 (2)称为级数(1)的部分和。根据部分和数列(2)是否有极限，我们给出级数(1)收敛与发散的概念。定义当无限增大时，如果级数(1)的部分和数列(2

2、)有极限，即则称级数(1)收敛，这时极限叫做级数(1)的和，并记作；如果部分和数列(2)无极限，则称级数(1)发散。当级数(1)收敛时，其部分和是级数和的近似值，它们之间的差值叫做级数的余项。 3. 级数的敛散性举例【例1】判断级数的敛散性【例2】证明级数收敛，并求其和【例3】讨论等比级数的敛散性【例4】判断级数的敛散性【例5】判断级数的敛散性，若收敛,求其和二、级数的基本性质【性质一】设有级数分别收敛于与， 则级数也收敛，且和为。据性质二，我们可得到几个有用的结论:1、若收敛，而发散，则必发散。2、若、均发散，那么可能收敛，也可有发散。【性质二】如果级数收敛于和，则它的各项同乘以一个常数所得

3、的级数也收敛，且和为。【性质三】在级数的前面去掉或加上有限项，不会影响级数的敛散性，不过在收敛时，一般来说级数的和是要改变的。【性质四】将收敛级数的某些项加括号之后所成新级数仍收敛于原来的和。注意：1、如果级数加括号之后所形成的级数发散，则级数本身也一定发散。显然，这是性质四的逆否命题。2、收敛的级数去括号之后所成级数不一定收敛。【例6】证明调和级数是发散的三、级数收敛的必要条件【定理】级数收敛的必要条件是。注意：1. 必须指出，级数的一般项趋向于零并不是级数收敛的充分条件。 2. 如果级数的一般项不趋于零,则级数发散.(逆否命题)【例7】判断级数的敛散性作业：P365,4(3),5(1),(

4、5),(7)第二节 正项级数教学目的与要求：1.了解正项级数收敛的充要条件； 2.会用正项级数的比较审敛法和根值审敛法； 3.掌握正项级数的比值审敛法； 4.掌握p级数的收敛性。教学重点：比较审敛法的一般形式和极限形式，比值审敛法，根值审敛法教学难点：比较审敛法、比值审敛法定理的证明教学时数 4教学过程一正项级数1. 正项级数的定义若级数中的各项都是非负的( 即)，则称级数为正项级数。2、正项级数收敛的基本定理正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列有界。【例1】判断级数的敛散性二 比较审敛法1、基本审敛法【比较审敛法】给定两个正项级数、(1)、若，而收敛，则亦收敛；(2)、若，而发散，则亦发散

5、。这里，级数称作级数的比较级数。总结：大的收敛，则小的收敛小的发散，则大的发散由于级数的每一项同乘以一个非零常数，以及去掉其有限项不会影响它的敛散性，比较审敛法可改写成如下形式2. 【推论】设为正数，为正整数，、均为正项级数(1)、若，而收敛，则亦收敛；(2)、若，而发散，则亦发散。【例2】证明级数是发散的【例3】讨论级数的敛散性，其中。【例4】判断级数的敛散性【例5】判断级数的敛散性【例6】判断级数的敛散性【例7】判断级数的敛散性3. 【比较审敛法的极限形式】 设及为两个正项级数，如果极限则级数与同时收敛或同时发散。【极限审敛法】 设为正项级数，(1)、若，则发散；(2)、若，则收敛。注意：

6、当n时，可用无穷小un对vn的阶判别un敛散性.【例8】判断级数的敛散性【例9】判断级数的敛散性【例10】判断级数的敛散性【例11】判断级数的敛散性【例12】判断级数的敛散性三【比值审敛法】 若正项级数适合 则当时，级数收敛；当(也包括)时，级数发散；当时，级数的敛散性不详。注意：当时，级数可能收敛，也可能发散。【例13】判断级数的敛散性【例14】讨论级数的敛散性注意：比值审敛法使用于通项含的函数四、【根值审敛法】 若正项级数适合 则当时，级数收敛；当(也包括)时，级数发散；当时，级数的敛散性不详。注意：当时，级数可能收敛，也可能发散。【例15】判断级数的敛散性【例16】判断级数的敛散性五、判

7、别正项级数敛散性的方法与步骤 必要条件不满足发散 满足 比值审敛法比较审敛法，定义法，性质法 根值审敛法收敛，发散【例17】判断级数的敛散性【例18】判断级数的敛散性【例19】判断级数的敛散性【例20】判断级数的敛散性【例21】判断级数的敛散性五 极限审敛法(1)、当时，收敛，故收敛；(2)、当时，发散，故发散；(3)、(4)、【例22】判别级数的敛散性。【例23】判别级数的敛散性作业： P374： 1(1)(3)(4)(6)(7)，2(1)(2)(4),3(1)(2)第三节 任意项级数教学目的与要求1. 掌握交错级数及其莱布尼茨定理2. 理解并掌握绝对收敛与条件收敛教学重点难点莱布尼茨定理，

8、绝对收敛与条件收敛教学时数 2教学内容一、交错级数及其审敛法所谓交错级数是这样的级数，它的各项是正、负交错的，其形式如下 (1)或其中均为正数。【交错级数审敛法】(又称莱布尼兹定理)如果交错级数(1)满足条件1. 2.则交错级数(1)收敛，且收敛和，余项的绝对值。【例4】试证明交错级数是收敛的。二、绝对收敛与条件收敛设有级数 (2)其中为任意实数，该级数称为任意项级数。【定义】如果级数(3)收敛，则称级数(2)绝对收敛；如果级数(3)发散，而级数(2)收敛，则称级数(2)条件收敛。【定理一】如果级数(3)收敛，则级数(2)亦收敛。定理一将任意项级数的敛散性判定转化成正项级数的收敛性判定。【例5

9、】判定任意项级数的收敛性。【例6】讨论级数的收敛性。【定理二】如果级数 绝对收敛，其和为，那么任意颠倒级数各项的顺序所得到的新级数 仍绝对收敛，且其和仍为。【典型例子】交错级数条件收敛，设它的收敛和为。作业：练习册第43.44次第四节 幂级数教学目的与要求1. 理解函数项级数的概念2. 熟练掌握幂级数的收敛域收敛半径的求法3. 掌握和函数的求法教学重点与难点幂级数收敛半径收敛域的求解、和函数的求法教学时数 4教学内容一、函数项级数的一般概念设有定义在区间上的函数列由此函数列构成的表达式 (1)称作函数项级数。对于确定的值，函数项级数(1)成为常数项级数 (2)若(2)收敛，则称点是函数项级数(

10、1)的收敛点；若(2)发散，则称点是函数项级数(1)的发散点；函数项级数的所有收敛点的全体称为它的收敛域,所有发散点的全体称为它的发散域。对于函数项级数收敛域内任意一点，(1)收敛， 其收敛和自然应依赖于的取值，故其收敛和应为的函数，即为。通常称为函数项级数的和函数。它的定义域就是级数的收敛域，并记若将函数项级数(1)的前项之和(即部分和)记作，则在收敛域上有若把叫做函数项级数的余项(这里在收敛域上)，则 。二、幂级数及其收敛域函数项级数中最常见的一类级数是所谓幂级数，它的形式是 (3)或 (4)其中常数称作幂级数系数。(4)式是幂级数的一般形式，作变量代换可以把它化为(3)的形式。因此，在下

11、述讨论中，如不作特殊说明，我们用幂级数(3)式作为讨论的对象。【定理一】(阿贝尔定理)若时，幂级数收敛，则适合不等式的一切均使幂级数绝对收敛；若时，幂级数发散，则适合不等式的一切均使幂级数发散。阿贝尔定理揭示了幂级数的收敛域与发散域的结构对于幂级数若在处收敛，则在开区间之内，它亦收敛；若在处发散，则在开区间之外，它亦发散；这表明，幂级数的发散点不可能位于原点与收敛点之间。【推论】如果幂级数不是仅在一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的正数存在，它具有下列性质当时，幂级数绝对收敛；当时，幂级数发散；当时，幂级数可能收敛，也可能发散。正数通常称作幂级数的收敛半径。2、幂级数的收敛半径

12、的求法【定理二】设有幂级数，且 (，是幂级数的相邻两项的系数)如果 ，则；，则；，则。【例1】求下列幂级数的收敛半径与收敛区间1、2、【例2】求函数项级数的收敛域三幂级数的运算性质对下述性质，我们均不予以证明1加，减运算设幂级数及的收敛区间分别为与，记，当时，有2幂级数和函数的性质幂级数的和函数在收敛区间内连续。3逐项求导幂级数的和函数在收敛区间内可导，且有4逐项求积分幂级数的和函数在收敛区间内可积，且有【例3】求数项级数之和。【例4】求的和函数。【例5】求的和。作业：练习册第45.46次第五节 函数的幂级数展开教学目的与要求1. 理解泰勒公式2. 会应用泰勒公式将简单的函数展为幂级数教学重点

13、与难点泰勒公式及其应用教学时数4教学内容一、泰勒级数如果在处具有任意阶的导数，我们把级数 (1)称之为函数在处的泰勒级数。它的前项部分和用记之，且这里：由上册中介绍的泰勒中值定理，有当然，这里是拉格朗日余项，且。由有。因此，当时，函数的泰勒级数就是它的另一种精确的表达式。即这时，我们称函数在处可展开成泰勒级数。特别地，当时，这时，我们称函数可展开成麦克劳林级数。将函数在处展开成泰勒级数，可通过变量替换，化归为函数 在 处的麦克劳林展开。因此，我们着重讨论函数的麦克劳林展开。【命题】函数的麦克劳林展开式是唯一的。二、函数展开成幂级数1、直接展开法将函数展开成麦克劳林级数可按如下几步进行求出函数的各阶导数及函数值若函数的某阶导数不存在，则函数不能展开；写出麦克劳林级数并求其收敛半径。考察当时，拉格朗日余项当时，是否趋向于零。若，则第二步写出的级数就是函数的麦克劳林展开式；若，则函