第三章一阶线性微分方程组第三讲一阶线性非齐次方程组的一般理论

1、第三讲 一阶线性非齐次微分方程组的一般理论（2课时）一、 目的与要求:理解一阶线性非齐次方程组的一般理论, 掌握一阶线性非齐次方程组的通解结构, 理解常数变易法.二、重点：一阶线性非齐次方程组的通解结构, 常数变易法.三、难点：常数变易法.四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法.五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合.六、教学过程： 1. 课题引入本节研究一阶线性非齐次方程组 (3.7)的通解结构与常数变易法.2. 通解结构定理3.8如果是线性非齐次方程组(3.7)的解，而是其对应齐次方程组(3.8)的解，则是非齐次方程组(3.7)的解. 

2、证明 这只要直接代入验证即可.定理3.9线性非齐次方程组(3.7)的任意两个解之差是其对应齐次方程组(3.8)的解.证明设和是非齐方程组(3.7)的任意两个解，即有等式                ， 于是有                   上

3、式说明是齐次方程组(3.8)的解. 定理3.10 线性非齐次方程组(3.7)的通解等于其对应的齐次方程组(3.8)的通解与方程组(3.7)的一个特解之和.即若是非齐次方程组(3.7)的一个特解，是对应齐次方程组(3.8)的一个基本解组，则方程组(3.7)的通解为                   这里是任意常数.证明 首先由定理3.8，不论是什么常数，(3.16)都是(3.7)的解. 其次对于方

4、程组(3.7)的任何一个解，由定理3.9知，是对应齐次方程组的解. 于是由基本定理3.6，存在常数使得即所以(3.16)是(3.7)的通解.定理证毕.    3.拉格朗日常数变易法在第一章我们介绍了对于一阶线性非齐次方程，可用常数变易法求其通解.现在，对于线性非齐次方程组，自然要问，是否也有常数变易法求其通解呢?事实上，定理3.10告诉我们，为了求解非齐次方程组(3.7)，只需求出它的一个特解和对应齐次方程组(3.8)的一个基本解组.而当(3.8)的基本解组已知时，类似于一阶方程式，有下面的常数变易法可以求得(3.7)的一个特解.为了计算简洁，我们定义(

5、3.8)的基本解矩阵如下：其中每一列均为(3.8)的解，且是(3.8)的一个基本解组.因此.由定理3.6知，齐次方程组(3.8)的通解可表为 ,其中C为列向量它的各个分量为任意常数. 现在求(3.7)的形如                                 

6、;           (3.17)的解，其中为待定向量函数. 将(3.17)代入(3.7)有其中因为是(3.8)的基本解矩阵，所以有.从而，上式变为                            &#

7、160;                (3.18)由于是非奇异矩阵，故存在，于是 积分得                   为中任一点代入(3.17)得到显然是(3.7)的一个特解，于是得到非齐次方程组(3.7)的通解公式   

8、;          (3.19)例1 求解方程组解由3.3节例4知，向量函数组                    是对应齐次方程组的基本解组.现在求非齐次方程组形如                    的特解，此时(3.18)的纯量形式为解之得 从而      &#