第十五讲：数列的应用

1、数列综合应用一、知识梳理：1. 数列求通项与和（1）数列前n项和Sn与通项an的关系式：an  （2）求通项常用方法作新数列法作等差数列与等比数列累差叠加法最基本的形式是：an（anan1）（an1an2）（a2a1）a1归纳、猜想法（3）数列前n项和重要公式：等差和等比数列的求和公式12nn（n1）；1222n2n（n1）（2n1）；1323n3（12n）2n2（n1）2；裂项相消法将数列的通项分成两个式子的代数和，即anf（n1）f（n），然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，如：、等错位相减法（可用于推导等比

2、数列前n项和公式）对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和，常用错位相减法， 其中是等差数列， 是等比数列，记，则，分组转化求和把数列的某些项放在一起先求和，然后再求Sn倒序相加法（可用于推导等差数列前n项和公式）2. 递归数列数列的连续若干项满足的等量关系ankf（ank1，ank2，an）称为数列的递归关系由递归关系及k个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列如由an12an1，及a11，确定的数列即为递归数列递归数列的通项的求法一般说来有以下几种：（1）归纳、猜想（2）迭代法（3）代换法包括代数代换，对数代数，三角代数（4）作新数列法最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问

3、题例1.设等差数列的前n项和为，求数列的前n项和。（2010陕西文）16.（本小题满分12分）已知an是公差不为零的等差数列，a11，且a1，a3，a9成等比数列.（）求数列an的通项;（）求数列2an的前n项和Sn.常用公式：1+2+3+n=;2. 错位相减法例2. 求和：练习：设数列满足（1） 求数列的通项公式；（2） 设，求的前n项和。（2009全国卷理）（本小题满分12分）在数列中， （I）设，求数列的通项公式 （II）求数列的前项和3.倒序向加法：例3.设，类比推导等差数列前n项和公式的方法，求f(2011)+f(2010)+f(0)+f(1)+f(2011)+f(2012)练习：设

4、函数，则。4裂项相消法例4.等差数列中，公差d=2,为前n项和。求变式1：数列的通项公式为，若前n项和为10，则项数为（ ）变式2： 求下列各数列的和：（建议多写几项）。常见拆项：（1） （ 2） （3） （4）分组求和。例5.（1）求数列的前n项和。（3） 求和：提高练习：1.（福建卷理3）设an是公比为正数的等比数列，若n1=7,a5=16,则数列an前7项的和为（）A.63B.64C.127D.128解：由及an是公比为正数得公比，所以2.（海南宁夏卷理4文8）设等比数列的公比，前n项和为，则（）A. 2B. 4C. D. 解：3、（四川卷理7）已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是( )（）（）（）（）【解1】：等比数列中当公比为1时，；当公比为时，从而淘汰（）（）（）故选D；4.设是等差数列为且，则可化简为( )A、 B、 C、 D、5.若的通项公式为，则它的前项和为( )A、 B、 C、D、6.设，则数列，的前项和为( )A、 B、C、 D、7.数列满足：，且，则首项等于( )A、 B、 C、D、8.设函